导数及其应用测试卷

导数及其应用测试卷

导数及其应用测试卷答案（2011.11）

一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)

BDBDC DCBDA CA

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)

13、2; 14、(7, ) 15、 1 16、2n 1 2

三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)

17、(14分)已知函数f(x) x3 ax2 bx c在x 2

3与x 1时都取得极值.

(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间.

(2)若对x [ 1,2],不等式f(x) c2恒成立,求c的取值范围

解:(1)f(x) x3 ax2 bx c,f'(x) 3x2 2ax b 由f'( 2) 12

9 4

3a b 0,f'(1) 3 2a b 0得a 1

32,b 2

f'(x) 3x2 x 2 (3x 2)(x 1), 函数f(x)的单调区间如下表:

所以函数f(x)的递增区间是( , )与(1, ),递减区间是( 2

33,1);

(2)f(x) x3 1

2x2 2x c,x [ 1,2],当x 2222

3时,f( 3) 27 c

为极大值,而f(2) 2 c,则f(2) 2 c为最大值,要使f(x) c2,x [ 1,2]恒成立,

则只需要c2 f(2) 2 c,得c 1,或c 2 ∴c的取值范围是( , 1) (2, ).

18、(14分)设a R,函数f(x) ax3 3x2.

(1)若x 2是函数y f(x)的极值点,求a的值;

(2)若函数g(x) f(x) f (x)，x [0，2],在x 0处取得最大值,求a的取值范围.

解:(1)f (x) 3ax2 6x 3x(ax 2).

导数及其应用测试卷

因为x 2是函数y f(x)的极值点,所以f (2) 0,即6(2a 2) 0,因此a 1.

经验证,当a 1时,x 2是函数y f(x)的极值点.

(2)由题设,g(x) ax 3(a 1)x 6x.g(0) 0

当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)时,ax 3(a 1)x 6x 0对一切x 0,2 都成立, 3232

即a 3x 63x 6 对一切都成立.令,x 0,2 ,则a (x) min x 0,2 (x) x2 3xx2 3x

3(x 2)2 63x 6 0由 (x) ,可知在x 0,2 上单调递减, (x) 222(x 3x)x 3x

所以 (x) min (2) 66 , 故a的取值范围是 5 5

a(a R). x19、(14分)已知函数f(x) lnx

(1)判断f(x)在定义域上的单调性;

(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为2,求a的值.

解:(1)由题意得f(x)的定义域为(0, ),f (x) 1ax a 2. xx2x

①当a 0时,f'(x) 0,故f(x)在(0, )上为增函数;

②当a 0时,由f'(x) 0得x a;由f'(x) 0得x a;由f'(x) 0得x a;

∴f(x)在(0, a]上为减函数;在( a, )上为增函数.

故当a 0时,f(x)在(0, )上是增函数;当a 0时,f(x)在(0, a]上是减函数,在( a, )上增函数.

(2)∵f (x) x a,x 0.由(1)可知: 2x

①当a 0时,f(x)在(0, )上为增函数,f(x)min f(1) a 2,得a 2,矛盾!

②当0 a 1时,即a 1时,f(x)在(0, )上也是增函数,

f(x)min f 1 a 2,∴a 2(舍去).

③当1 a e时,即 e a 1时,f(x)在[1, a]上是减函数,在( a,e]上是增函数,

∴f(x)min f a ln( a) 1 2,得a e(舍去).

④当 a e时,即a e时,f(x)在[1,e]上是减函数,有f(x)min f e 1

a 2,∴a e. e

导数及其应用测试卷

综上可知:a e

20.设函数f x x ln x 1 .证明：对任意的正整数n，不等式2 f 1 n 1 1

3 11成立. 33k 1 k 23n

（参考《数学通讯》（学生版），2011年11-12期，P97） 证明：f 1 1 1 k 1

k =k2 ln k 1 1

k2 lnk

n

f 1 1 ;l2

1 21 1 ;3

12n2 1n 1

k 1 k n 2 n， 下面只需证明：1k 111

k2 lnk k3,即证：k2 lnk 1k 1

k3 0即可.

构造函数g x x2 ln x 1 x3,则g' x 2x 1

x 1 3x2 3x2 x 1 2

x 1，

当x>1时，g' x 0 g x 在 0, 上单调递减.且g x g 0 0， 从而对 k N ,g 1

k 0.不等式得证.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4r64.html