大学物理2-1第二章习题答案

习 题 二

2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与

速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv

(1) 由牛顿第二定律 t v m

ma f d d == 即 t v m

kv d d ==- 所以 t m

k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0

d d 0 得 t m

k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0

(2) 由牛顿第二定律 x

v mv t x x v m t v m

ma f d d d d d d d d ==== 即 x

v mv kv d d =- 所以 v x m

k d d =- 对上式两边积分 ??=-00

0d d v s v x m k 得到 0v s m

k -=- 即 k

mv s 0=

2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 ???? ??--=-m kt e k F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正

方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得

t v m ma f F mg d d ==--

即 t v m

ma kv F mg d d ==-- 整理得 m

t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ??=--t v m

t kv F mg v 00d d 得 m

kt F mg kv F mg -=---ln 即 ???? ??--=-m kt e k

F mg v 1

2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。

[解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

此时 2T kv mg =

即 k

mg v =T 有牛顿第二定律 t v m

kv mg d d 2=- 整理得 m

t kv mg v d d 2=- 对上式两边积分 mgk

m t kv mg v t v

21d d 002??=- 得 m

t v k mg v k mg =+-ln

整理得 T 22221111v e e k mg e e

v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-=

2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。

[解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力

()

2e h R m

M G f +=地 2e R M G

g 地

= 由上面两式得()()()N 1082.71085.11063781063788.913273263232e 2

e ?=?+????=+=h R R mg f

(2) 由牛顿第二定律 h

R v m f +=e 2

()()

s m 1096.613271085.11063781082.736

33e ?=?+???=+=m h R f v (3) 卫星的运转周期

()()

2h3min50s s 1043.710

96.61085.110637822336

3e =?=??+?=+=ππv h R T 2-5 试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。

[解] 设同步卫距地面高度为h ，距地心为R +h ，则

22ωmr r

Mm G = mg R

Mm G =2 所以 2gR GM = 代入第一式中 3

122

???? ??=ωgR r s rad 1027.73600

2425-?=?=

πω 解得 m r 71022.4?= m 1058.31037.61022.4467?=?-?=-=R r h

2-6 两个质量都是m 的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。

[解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。

所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同

(1)每个星球所受的合力

()2

222142R m G R mm G

F F === (2) 设运动周期为T R v m F 21= v

R T π2= 联立上述三式得 Gm

R R

T π4= 所以，每个星球的运行周期 Gm

R R

T T T π421===

2-7

2-8

2-9 一根线密度为λ的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s 时对桌面的瞬时作用力。

[解] 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s 段对桌面的压力1N ，另一部

分是正在下落的x d 段对桌面的冲力2N ，桌面对x d 段的作用力为2

N '。显然 sg N λ=1

t 时刻，下落桌面部分长s 。设再经过t d ，有x d 落在桌面上。取下落的x d 段链条为研究对象，它在t d 时间之内速度由gs v 2=变为零，根据动量定理

p t N d d 2

=' (1) x v p d 0d λ-= (2)

t v x d d = (3)

由(2)、(3)式得 λsg N 22

-=' λsg N N 22

2='-= 故链条对桌面的作用力为

sg N N N λ321=+=

2-10 一半径为R 的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为m 的小球正以角速度ω沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗底的高度。

[分析] 小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始终与该点内壁相垂直，显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承力。

[解] 设小球的运动水平面距碗底的高度为h ，小球受力如图所示，则

mg N =θsin

r m N 2cos ωθ=

R

h R -=θsin R

r =θcos 由以上四式得 ??? ??-=R g R h 21ω 2-11 自动步枪连发时每分钟射出120发子弹，每颗子弹的质量为m ＝，出口速率为735m ，求射击时(以分钟计)抢托对肩的平均压力。

[解] 取t ?时间之内射出的子弹为研究对象，作用在子弹上的平均力为N '，根据动量定理得

p t N ?=?'

所以 N 6.117351090.7220601203=???==?-?=??='-mv t

tv m t p N 故枪托对肩部的平均压力为

N 6.11='=N N

2-12 水力采煤是利用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。设水柱直径为D =30mm ，水速v =56s m ，水柱垂直射到煤层表面上，冲击煤层后速度变为零。求水柱对煤层的平均冲力。

[解] 取长为dx 的一段水柱为研究对象，设它受到的煤层的作用力为N '，根据动量定理 p t N d d ='

所以 ()22

2

4d 2d 0d d v D t v D x t p N ρπρπ-=??-==' ()N 1022.2561014

103032323?-=?????-=-π 故水柱对煤层的平均冲力

N 1022.23?='-=N N

2-13 F ＝30+4t 的力作用在质量为10kg 的物体上，求： (1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于 300s N ?，此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为10 s m ，方向与F 相同，在t =时，此物体的速度是多少?

[解] 根据冲量定义

()200230d 430d t t t t t F I t

t +=+==?? (1)开始两秒钟此力的冲量

s N 6822230230222?=?+?=+=t t I

(2) 当s N 300?=I 时

3002302=+t t

解得 s 86.6=t

(3) 当s 86.6=t 时，s N 300?=I ，根据动量定理

0mv mv p I -=?=

因此 s m 4010

10103000=?+=+=m mv I v

2-14 质量为m 的质点，以不变速率v 沿图示三角形ABC 的水平光滑轨道运动。求质点越过角A 时，轨道作用于质点冲量的大小。

[解] 如图所示，质点越过A 角时动量的改变为

()12v v p -=?m

由图知p ?的大小 mv mv p 360sin 20==?

根据动量定理 mv p I 3=?=

2-15 质量为m 的质点在xOy 平面内运动，其运动方程j i r t b t a ωωsin cos +=，试求：

(1)质点的动量；(2)从t ＝0到ωπ2=

t 这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时间

内，质点的动量是否守恒?为什么?

[解] 质点的速度 j i r v t b t a t

ωωωωcos sin d d +-==

(1) (1) 质点的动量 ()j i v p t b t a m m ωωωcos sin +-==

(2) 由(1)式得0=t 时，质点的速度

j v ωb =0

ωπ

2=t 时，质点的速度为

j j i v ωπωπωb b a =+-=2cos 2sin t

根据动量定理

00t =-=?=mv mv p I

解法二：

j i a F j i v a j i r v t mbw t ma m t bw t a t

t b t a t

ωωωωωωωωωωsin cos sin cos d d cos sin d d 2222--==--==+-== ()0d sin cos d 202220=--==??ωπωπ

ωωωt t mbw t ma t j i F I

(3) 质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间t 变化。

2-16 将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底h 处将石子以每秒n 个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为m 。假定石子与盒子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后t 秒时，台秤的读数。

[解] t 秒钟后台秤的读数包括下面两部分，一部分是已落入盒中的石子对称盘的压力1N ，另一部分是正下落的石子对秤的冲力2N ，显然

nmgt N =1

取t ?时间下落的石子为研究对象，设它们所受到的平均冲力为N '，根据动量定理

gh t nm tv nm p t N 2002

?-=?-=?=?' 所以 gh nm N 22

-=' 故t ?时间下落的石子对称的冲力

gh nm N N 22

2='-= 因此秤的读数为

gh nm nmgt N N N 221+=+=

2-17 一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为20g ，在A 、B 两位置处的速率都是20s m ，A v 与x 轴成045角，B v 与y 轴垂直，求质点由 A 点运动到B 点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。

[解] 由题意知，质点由A 点到B 点动量的改变为

s m kg 683.02

220102*********cos 330A B x ?-=???-??-=--=?--mv mv p m kg 283.02

220102045sin 030A y ?-=?

??-=-=?-mv p 根据动量定理，作用在质点上的外力的冲量 x x p I ?= y y p I ?=

所以 ()()()()s N 739.0283.0683.0222y 2x 2y 2x ?=-+-=?+?=+=p p I I I

冲量与x 轴之间的夹角

0x g

5.202683

.0283.0arctan arctan =--==I I θ

2-18 若直升飞机上升的螺旋浆由两个对称的叶片组成，每一叶片的质量m ＝136kg ，长l =。当它的转速n =320min r 时，求两个叶片根部的张力(设叶片是均匀薄片)。

[解一] 设叶片的根部为原点O ，作径向Or 轴，在叶片上距O 点为r 处取一线元r d ，则r m d d λ=，其两边所受的张力如图所示。根据圆周运动沿径向的动力学方程，有

()r r l

m m r T T T d d d 22ωω==-+ 即 r r l

m T d d 2ω=

对上式积分，并考虑到叶片的外端r 趋近于l 时，张力0=T ，则

??=l r T r r l m T d d 20ω

因此距O 点为r 处叶片中的张力为 ()()

222222222r l l

mn r l l m T --=--=πω 式中负号表明T 指向O 点。取r =0，代入题中所给数据，得叶片根部张力 N 1079.225220?-=-=l mn T π

[解二] 任意时刻t 叶片的动量

ml n l m n r l m r n r l m r m v p l l 602602d 602d d 00t πππω=====???

经过d t 时间，叶片动量的改变

t

n p t p p p d 602d d d t t t πωθ=== 叶片根部所受的作用力 ml n n p t p F 222t 60

2602d d ππ==='N 1079.266.3136603202522

2?=???=π 2-19 如图所示，砂子从h ＝处下落到以=0v 3s m 的速率沿水平向右运动的传输带上，

若每秒钟落下100kg 的砂子，求传输带对砂子作用力的大小

和方向。

[解] 如图所示，设t ?时间内落下的砂子的质量为m ?，

则m ?的动量改变

()10v v p -?=?m

显然有 gh v 21=

由图可知

()()20212021v v m mv mv p +?=?+?=

? 根据动量定理 p F ?=?t

所以 2020212v gh t

m v v t m t p F +??=+??=??= N 49738.08.921002=+???=

2-20 矿砂从传输带A 落到另一传输带B ，其速度大小为1v ＝4s m ，2v ＝2s m 方向如图所示。设传输带的运送量t m ??＝2000h kg ，求矿砂作用在传输带B 上的力的大小和方向。

[解] 取t ?时间内落下的矿砂m ?为研究对象，建立如图所示的坐标系，其动量的改变为 ()22111122x cos sin sin cos θθθθv v m mv mv p -?=?+?-=? ?mv 1?p

?mv 00

y x

()22111122y sin cos cos sin θθθθv v m mv mv p +?=?+?=?

根据动量定理 p F ?=?t

x x p t F ?=? y y p t F ?=?

所以 ()()N 1079.315cos 230sin 43600

2000cos sin 2002211x x -?=-=-??=??=θθv v t m t p F ()()

N 21.230cos 415sin 236002000cos sin 001122y y =+=+??=??=θθv v t m t p F 故矿砂作用在传输带B 上的力 ()N 22.21079.311.223

22y 2x =?+=+=-F F F

与竖直方向的夹角 03

y x 111

.21079.3arctg arctg =?==-F F θ

2-21 质量为m 的质点，当它处在r =-2i +4j +6k 的位置时的速度v =5i +4j +6k ，试求其对原点的角动量。

[解] 质点对原点的角动量为

v r p r L ?=?=m

)2842(6

45642k j k

j i -=-=m m

2-22 一质量为m ＝2200kg 的汽车v =60h km 的速率沿一平直公路行驶。求汽车对公路一侧距公路为d ＝50m 的一点的角动量是多大?对公路上任一点的角动量又是多大?

[解] 根据角动量的定义式v r L m ?=

(1) s m kg 1083.150360*********sin 263??=???===mvd rmv L θ

(2) 对公路上任一点r ∥v ，所以

0=L

2-23 某人造地球卫星的质量为m ＝l802kg ，在离地面2100km 的高空沿圆形轨道运行。试求卫星对地心的角动量(地球半径61040.6?=地R m)。

[解] 设卫星的速度为v ，地球的质量为M ，则

()h

R v m h R Mm

G +=+地地22 (1) 又 g R M G =地 (2)

联立两式得 地地R h

R g v += 卫星对地的角动量 ()()

地地地?+=?+=h R g m v h R m L ()

6661040.61010.21040.68.91802???+??=

s m kg 1005.1214??=

2-24 若将月球轨道视为圆周，其转动周期为，求月球对地球中心的角动量及面积速度(221035.7?=月m kg ，轨道半径R =81084.3?m)。

[解] 设月球的速度为v ，月球对地球中心的角动量为L ，则

T R v /2π= T

R m Rv m L π2月月== 3600

243.2714.32)1084.3(1035.72822???????= /s m kg 1089.2234??=

月球的面积速度为

/s m 1096.1/2112?==T R v π面

2-25 氢原子中的电子以角速度rad 1013.46?=ω在半径10103.5-?=r m 的圆形轨道上绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数h 表示之(s J 1063.634??=-h )。

[解] 电子的轨道角动量

()s J 106.11006.11013.4103.5101.99426210

312??=?=?????==----ωmr L

2-26 海王星的轨道运动可看成是匀速率圆周运动，轨道半径约为km 1059?=R ，绕太阳运行的周期为T =165年。海王星的质量约为kg 100.126?=m ，试计算海王星对大阳中心的角动量的大小。

[解] 海王星对太阳中心的角动量

mRv L =

T

R v π2= 联立两式得到

()s m kg 1002.336002436516510100.52100.12242239262??=????????==ππT R m L

2-27 质量为m 的质点开始处于静止状态，在外力F 的作用下沿直线运动。已知T

t F F π2sin 0=，方向与直线平行。求：(1)在0到T 的时间内，力F 的冲量的大小；(2)在0到2T 时间内，力F 冲量的大小；(3)在0到2T 时间内，力F 所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。

[解]由冲量的定义?=

12d t t t F I ，在直线情况下，求冲量I 的大小可用代数量的积分，即 ?=12d t t t F I

(1) 从t ＝0到 t=T ，冲量的大小为： ?==T t F I 01d ?-=T T T t T F t T t F 00

00]2cos [2d 2sin

πππ=0 (2) 从t =0到 t =T /2，冲量的大小为

ππππ0000002222]2cos [2d 2sin d TF T t T F t T t F t F I T T T =-===?? (3) 初速度00=v ，由冲量定理 0mv mv I -=

当 t =T /2时，质点的速度m TF m I v π0==

又由动能定理，力F 所作的功 m F T m F mT mv mv mv A 220222202220222212121ππ===-=

(4) 质点的加速度)/2sin()/(0T t m F a π=，在t =0到t =T /2时间内，a >0，质点作初速度为零的加速运动，t =T /2时，a =0，速度达到最大；在t =T /2到t =T 时间内，a <0，但v >0，故质点作减速运动，t =T 时 a =0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。

2-28 角动量为L ，质量为m 的人造地球卫星，在半径为r 的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。

[解] 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以v r ⊥，由()v r L m ?=知，

rmv L = rm

L v = 所以卫星的动能 m

r L rm L m mv E 2222k 212121=??? ??== 选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得：

22n r GMm r v m F ==

所以 r

GMm

mv E 2212k =

=

又 r

GMm

E -=p

所以 2

2

k p 2mr L E E -=-= 所以 2

2

p k 2mr L E E E -=+=

2-29 一质量为1m 与另一质量为2m 的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由1x 增加到d x x +=1时所需要作的功。

[解] 万有引力 02

21r F r

m m G

-=

两质点间的距离由x 增加到d x x +=1时，万有引力所作的功为

????

??-+=-=?=?

?

++11

212

2111d d 11

11

x d x m Gm r m m G

A d

x x d

x x r r F

故外力所作的功

()d x x d

m Gm d x x m Gm A A d

x x +=???

? ??+-=?=-='?

+1121112111d 11

r F 此题也可用功能原理求： Λ＝外p E E A ?=?=

2-30 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为2r k f =，k 为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r 时的势能。

[解]由势能的定义知r 处的势能p E 为:

?

??∞

∞∞==?=r

r

r

r r k r f E d d d 3p r f 22

221r

k

r k r

=

-=∞

2-31 设地球的质量为M ，万有引力恒量为0G ，一质量为m 的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心1R 下降到2R 处时所增加的动能。

[解] 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即：

2

12101020p k )()]([R R R R Mm G R Mm G R Mm G E E -=----=?-=?

2-32 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成()6

12p x b x a x E -=，式中a 、b 为常数，x 为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x 为何值时()0p =x E ?x 为何值时()x E p 为极小值?(2)试确定两原子间的作用力；(3)假设两原子中

有一个保持静止，另一个沿x 轴运动，试述可能发生的运动情况。

[解] (1) 当()x E p =0时，有：

0612=-x

b x a 即 b a x =6 或 016=x

故 0)(p 161=∞→=）（时，或x E x b

a x p E (x )为极小值时，有 0d )

(d p =x

x E 即 0612713=+-x b x a 所以 ∞=??? ??=26121x b a x 或

(2)设两原子之间作用力为()x f ，则

)(grad )(p

x E x -=f 在一维情况下，有

7

13p 612d )

(d )(x b x a x x E x f -=-= (3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当x 0，它们互相排斥，另一原子将远离；当x >x 时f (x )<0，它们又互相吸引，另一原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当x

2-33 两核子之间的相互作用势能，在某种准确程度上可以用汤川势

()000p r r e r r E r E -??

? ??-=来表示，式中0E 约为50MeV ，0r 约为m 105.115-?。(1)试求两个柱子之间的相互作用力F 与它们之间距离r 之间的函数关系；(2)求0r r =时相互作用力的值； (3)求02r r =，05r r =，010r r =时作用力的值，并通过比较解释什么是短程力。

[解] (1) ()()

000000p 11d d

d r r r r

e r r r r E e r r E r r r dE r

f --???? ??+??? ??-=????????? ??--=-= ()r f <0为引力

(2) 当0r r =时，N 1092.322230

01000?===-r E e r E F (3) 当02r r =时，N 1054.0834312123002020000

2?===???? ??+=-F e r e E e r r r r E F 当05r r =时，04050500

00

052532561515F e r e E e r r r r E F ==???? ??+=- 当010r r =时，0701********

52001110011110110F e r e E e r r r r E F ==???? ??+=- 由以上的计算结果知，当r 增大时，F 值迅速减小，即F 只在r 比较小的范围内(数量级均为m 1014-)有明显作用，这种力就叫做短程力。

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