华中师范大学分析力学4(共4)

华中师范大学分析力学答案,刘连寿,仅本校用。

分析力学习题讲解(四、五、六)

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由质量为 m1和 m2的两个原子结合成分子，振动频率为ω;由他们的质量为 m01和 m02的同位素结合成的分子，振动频率为ω 0。证明： m1 m2 (m0+m0 )ω0 2 (ω )= m0 m0 (m1+m2 ) 1 21 2

解：两个原子组成的系统的拉格朗日为

L= 1 m1 r1+ 1 m2 r2 U (r12 )˙2 2˙2 2在质心系中有L= 1 mr12 U (r12 )˙2 2

r0

其中m为约化质量.由分子内部原子之间的作用力曲线可知只有当分子中的原子在平衡位置附近运动时才可能发生振动，此时可以将 U (r12 )在平衡位置附近展开，取一级近似有：¨ U (r12 )= U0+ U (r0 )(r12 r0 )2

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带入拉格朗日函数，并且取 x= r12 r0可得：¨ L= 1 m x 2 U 0 x 2 U0˙2

代入拉格朗日方程d L dt x˙

=

L x

得到¨ m¨+ 2U0 x= 0 x (1)

¨其中 U0为分子势能在平衡位置的二阶导数,它只与分子中原子的种类以及带电量有关，与原子的质量无关。方程(1)的解为一种简谐振动，振动频率为

ω2=所以ω0 2 (ω)

2U0 m

=

m1 m2 (m0+m0 ) 1 2 0 m0 (m+m ) m1 2 1 2

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质量为 m的穿孔小球可以自由的在一根光滑直杆上滑动，如图所示。将一根弹簧系在此球上，弹簧的另一端固定在离杆 l的钉子上。平衡时弹簧的拉力为 F。求此球在平衡位置附近做微小振动的频率。解：这个球只有一个自由度，取为小球离开平衡位置的距离 x。那么小球的拉格朗日可以写成：L== 1 mx2 ˙ 2 1 mx2 ˙ 2

其中为弹簧的原长。小球在平衡位置附近作振动，<< l, x可以将弹簧的势能在平衡位置附近展开。因为1 d2 2 (l+ x2 ) 2 dx2

1 p2 k( l+ x2 l0 )2 2 p 1 2 2 2 k(l+ x+ l0 2l0 l2+ x2 ) 21 d[x(l2+ x2 ) 2] dx 3 2 2 1 2 x2 (l 2+ x2 ) 2 (l+ x )

==

所以L=

1 1 l0 2 mx2 k(l2+ x2+ l0 2(l0 l+ x2 ))˙ 2 2 2l

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去掉上式中的常数项，那么1 1 l0 2 2 L= mx k(1 )x˙ 2 2 l

代入拉格朗日方程，可得m¨+ k(1 xr

l0 )x= 0 l

这个方程的解为简谐振动。频率为w= k l l0 m lF ml

注意到 F= k(l l0 )w=

r

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频率为 w的振子受到外力 F的作用。在 t< 0时没有振动，求 t> T时的振幅。假定当 t< 0和t> T时 F= 0。而在 0< t< T时，(a) F= F0

(b) F= F0 sinwt解：在 0< t< T时系统的运动方程为

(a)参看课本1.4.1的例1: (b)运动方程为

x+ w2 x= F/m¨

p A= F0 (1 coswT )2+ sinwT/mw2

F0 x+ w x= sinwt¨ m2

这个方程的通解为x= Asinwt+ Bcoswt

假设初始条件为 x(0)= 0, A(t)= A0

1 F0t coswt 2 mw

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1 F0t x= A0sinwt coswt 2 mwt所以，> T式的振幅为

F0t 2 A= A2+ 0 2mw

v u u u u u t

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质量为 m的两个原子位于质量为 M的原子两侧，三者在

一条直线上，平衡时两个原子到中心原子的距离都为b。求三者沿连线振动的简正频率和简正坐标。解：设左、中、右三个原子偏离平衡位置的位移 x1, x2, x3为广义坐标。L= 1 1 1 mx 2+ M x 2+ mx2˙1˙2˙3 2 2 2 1 1 1 2 2 k1 (x2 x1 ) k2 (x3 x2 ) k3 (x3 x1 )2 2 2 2

由拉格朗日方程可得m¨1+ k1 (x1 x2 )+ k3 (x1 x3 )= 0 x M x2+ k1 (x2 x1 )+ k2 (x2 x3 )= 0¨ m¨3+ k2 (x3 x2 )+ k3 (x3 x1 )= 0 x

也即有m¨1+ (k1+ k3 )x1 k1 x2 k3 x3= 0 x M x2+ (k1+ k2 )x2 k1 x1 k2 x3= 0¨ m¨3+ (k2+ k3 )x3 k2 x2 k3 x1= 0 x

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设 xi= ui eiwt则 k1+ k3 mw k1 k32

k1 k1+ k2 M w2 k2

上式有非零解得条件是¯¯ k1+ k3 mw 2¯¯ k1¯¯ k3 k1 k1+ k2 M w2 k2

u1 k3 u2 = 0 k2 k2+ k3 mw2 u3¯¯ k3¯¯=0 k2¯ 2¯ k2+ k3 mw

w此时有三解： 1, w2, w3分别将它们带回方程，并令 u1= 0即可得简正坐标。

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求第1章第8题中平面双摆的简正频率。θ解：取如图所示的坐标系，, 为广义坐标。那么θxl1

x1 y1 x2 y2

====

l1 sinθ l1 cosθ l1 sinθ+ l2 sin l1 cosθ+ l2 cos y

(x1, y1 ) l2(x2, y2 )

当系统作微小振动时，系统的动能近似为：T==≈ 1 1 m1 (x2+ y1 )+ m2 (x2+ y2 )˙ 1˙2˙ 2˙2 2 2 1 1 2˙ 2˙˙ (m1+ m2 )l1θ 2+ m2 l2 2+ m2 l1 l2θ cos( θ)˙ 2 2 1 1 2˙2 2˙˙ (m1+ m2 )l1θ+ m2 l2 2+ m2 l1 l2θ ˙ 2 2

系统的势能近似为：V==≈ m1 gy1 m2 gy2 (m1+ m2 )gl1 cosθ m2 gl2 cos 1 1 2 V0+ (m1+ m2 )gl1θ+ m2 gl2 2 2 2

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其中的 V0为势能常量。设系统的简正频率为θ= u1 eiwt, = u2 eiwt

带入拉格朗日方程可得µ (m1+ m2 )l1 (g l1 w2 ) m2 l1 l2 w2 m2 l1 l2 w2 m2 l2 (g l2 w2 )

¶µ

u1 u2

¶

=0

上式有非零解的条件是¯¯ (m1+ m2 )l1 (g l1 w2 )¯¯ m2 l1 l2 w2¯ m2 l1 l2 w2¯¯ 2¯= 0 m2 l2 (g l2 w )

那么解之可得w1, w2=½

m1 l1 l2 w4 (m1+ m2 )(l1+ l2 )gw2+ (m1+ m2 )g 2= 0h i¾ 1 2 p g 2+ m (l l )2] (m1+ m2 )(l1+ l2 )± (m1+ m2 )[m2 (l1+ l2 ) 1 1 2 2m1 l1 l2

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决定下列物体相对于质心的惯量主轴及绕主轴转动的转动惯量。设物体总质量为 m,且分布均匀。 (a)长为 l的细棒; (b)半径为R的球; (c)底半径为R高为h的圆柱; (d)边长为 a, b, c的长方形。用计算机分别画出这四个物体及他们的惯量椭球。解：(a)I= ml 122

0ml2 12

0 0mR2 4

0

(c)

0 0 0

(b)

(d)

I=

+ 0 0+ 0 0

mh2 12

I= 2

2ma2 5

02ma 52

0 0

0 02ma2 5

0

mR 4

2

0+ 0

mh 12

0 0mR2 2

I=

mb2 12

mc2 12

ma 12

2

0+ 0

mc 12

2

ma2 12

0 0+

mb2 12

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将正交归一矢

量组 ei (i= 1, 2, 3)变换到另一正交归一矢量组 eα (α= 1, 2, 3)的矩阵 A,eα=3 X i=1

aαi ei

(α= 1, 2, 3)

称为正交矩阵。试证明正交矩阵元满足3 X i=1

aαi aβi=δαβ

证明：由矢量组的正交归一性，可知那么eα eβ=eα eβ=δαβ ! 3Ã 3 3 3 X X XX aαi ei aβj ej = aαi aβj ei eji=1 j=1 i=1 j=1 3 3 XX i=1 j=1

=

aαi aβjδij=

3 X i=1

aαi aβi=δαβ

证毕。

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2a)半径为 a的均匀圆柱沿半径为 R的圆柱形的内表面滚动 (R>,如图，求其动能。

解：圆柱的动能为T=== 1˙ ma2θ 2+ 2 1˙ ma2θ 2+ 2 1˙ ma2θ 2+ 2

ZZZ 1˙ρ(rθ)2 rdrdθdz 2 ZZZ 1˙ρ(rθ)2 rdrdθdz 2 1 5˙˙ ma2θ 2= ma2θ 2 8 8

a

R

由约束关系，可得˙ (R a) = aθ˙

即有˙= R a θ˙ a

所以5 T= m(R a)2 2˙ 8

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两根长为 a和 b的匀质棒AB,BC在B点形成直角刚性连接，A点用绳悬挂，如图，求证在平衡时，AB棒和竖直线的夹角θ满足tanθ= b2/(a2+ 2ab)A

解：把 a, b看成一个刚体，则他们相对于A的转动平衡方程为a b ma g sinθ mb g( cosθ asinθ)= 0 2 2因为 a, b为匀质棒，所以 ma/mb= a/b,带入化简即得 Ctanθ= b2/(a2+ 2ab)

θ aB

b

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两个相同的匀质光滑球用轻杆悬在定点O上，此两球又支持一个等重的均匀球，如图，求α和β的关系。解：设悬挂球和支撑球之间的作用力为 F,绳对悬挂球的作用力为 T,那么α对于悬挂球： T sinα= F sinβ T cosα= F cosβ+ Gβ对于支撑球： 2F cosβ= G联立可得： tanα 1= tanβ 3即为所求。TF

GF F

G

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分别写出单个质点在笛卡尔坐标，柱坐标和球坐标中的哈密顿函数。解：在柱坐标中x= r cos , y= r sin x= r cos r sin ˙˙˙ y= r sin + r cos ˙˙˙¢ 1¡ 2¢ 1¡ 2 2 2 2 2 2˙˙ T= m x+y+z= m r+r +z˙˙˙˙ 2 2¢ 1¡ 2 2 2 2˙ L= m r+ r + z V (r, , z)˙˙ 2 L L pr=˙˙= mr, p =˙= mr 2 , pz= mz r˙ ˙= p r r+ p + pz z L˙˙˙ !#"Ã 2 2 2 2 2 2 p p pr pz pz 1 pr V (r, , z)=+++ + m mr 2 m 2 m mr 2 m= p2 p2 p2 r+ z V (r, , z)+ 2m 2mr 2 2m

H

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同理在球坐标中可求得p2 p2 p2 θ V (r,θ, ) H= r++ 2 2 sin2θ 2m 2mr 2mr

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对于有心力场中的质点，建立其哈密度方程，并消去其循环坐标。解：有心力场中运动的质点L=T U= 1˙˙ m(r 2+ r 2θ2+ r 2 sin2θ 2 ) V (r)˙ 2

那么pr= L L˙= mr˙ pθ== mr 2θ˙ r˙ θ L= mr 2 sin2θ p =˙ ˙

(1)

则可得

p2 p2 p2 θ V (r) H= pi qi L= r+˙+ 2 2 sin2θ 2m 2mr 2mr i=1

其哈密顿方程

3 X

dqα H= dt pα

dpα H= dt qα

α= 1, 2, 3

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即 H pr r=˙= pr mpθ H˙=θ= pθ mr 2

p2 V H p2 + pr

= ˙=θ3+ r mr r mr 3 sin2θp2 cosθ H = pθ= ˙ θ mr 2 sin3θ

H p =˙= p mr2 sinθ 是循环坐标，那么 p = c,则

H p = ˙=0

c =˙ (2) mr 2 sinθ c2 cosθ d³ 2˙´ mrθ= (3) pθ=˙ 2 sin3θ dt mr³´2˙ mr 2θ 2 2 V V pθ c c2= (4)++ pr= m¨=˙ r++ 3 3 3 sin2θ 3 sin2θ mr r mr r mr mr c2 V˙2++= mrθ 3 sin2θ r mr

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