2018届高三数学一轮复习第二章函数第四节二次函数与幂函数夯基提

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第四节 二次函数与幂函数

A组 基础题组

1.(2016西安模拟)函数y=的图象大致是( )

2.函数y=x+ax+6在A.a≤-5 是( )

2

上是增函数,则a的范围为( )

D.a≥5

2

B.a≤5 C.a≥-5

3.(2017安阳实验中学月考)已知f(x)=ax-x-c,若f(x)>0的解集为(-2,1),则函数y=f(-x)的大致图象

2

4.(2016聊城模拟)已知函数y=ax+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的大致图象是( )

5.若a<0,则下列不等式成立的是( )

A.2>

a

>0.2

a

B.0.2>

a

>2

a

C.>0.2>2

aa

D.2>0.2>

aa

6.已知点(,2)在幂函数y=f(x)的图象上,点在幂函数y=g(x)的图象上,若f(x)=g(x),则

x= .

7.若二次函数f(x)=mx-mx-1,且f(x)<0的解集为R,则实数m的取值范围是 . 8.已知二次函数y=x+2kx+3-2k,则其图象的顶点位置最高时对应的解析式为 .

1

2

2

9.已知函数f(x)=ax+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R).

(1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且仅有一个实根,求f(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.

10. (2017四川资阳中学期末)已知幂函数f(x)=

(m∈N).

*

2

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数的图象经过点(2,

B组 提升题组

11.设函数f(x)=x+x+a(a>0),已知 f(m)<0,则( ) A.f(m+1)≥0

B.f(m+1)≤0

C.f(m+1)>0

2

2

),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.

D.f(m+1)<0

12.(2016四川资阳模拟)已知函数f(x)=x-2x+4在区间[0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3,则实数m的取值范围是 ( ) A.[1,2]

B.(0,1]

C.(0,2]

D.[1,+∞)

13.已知函数f(x)=-x+x在区间[m,n](n>m)上的值域是[3m,3n],则m= ,n= .

2

14.已知函数f(x)=mx+(2-m)x+n(m>0),当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1恒成立,则f

2

2

= .

15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.

(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间; (2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式;

(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,求函数g(x)在[1,2]上的最小值.

2

16.(2015雅安模拟)已知函数f(x)=3ax2

+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.(1)求证:-2<<-1;

(2)若x1、x2是方程f(x)=0的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.

3

答案全解全析 A组 基础题组

1.C y==,其定义域为R,排除A,B,又0<<1,图象在第一象限为上凸的,排除D,故选C.

2.C y=x+ax+6在

2

上是增函数,由题意得-≤,∴a≥-5,故选C.

3.C 由f(x)>0的解集为(-2,1),可知函数y=f(x)的大致图象为选项D中的图象,又函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,故选C.

4.D 因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,且c<0,所以f(0)=c<0,函数y=ax+bx+c的图象开口向上,与y轴的交点在y轴的负半轴上.

2

5.B 因为a<0,所以y=x在(0,+∞)上是减函数,所以0.2>6.答案 ±1

aa

>2.

a

解析 由题意,设f(x)=x,则2=(x=x,解得x=±1. 7.答案 (-4,0)

2

-2

α

),得α=2;设g(x)=x,则=(-

αβ

),得β=-2.由f(x)=g(x),得

β

解析 由题意知8.答案 y=x-2x+5

2

解之得-4

解析 y=x+2kx+3-2k=(x+k)-k-2k+3,所以图象的顶点坐标为(-k,-k-2k+3).

因为-k-2k+3=-(k+1)+4,所以当k=-1时,顶点位置最高.此时抛物线的解析式为y=x-2x+5. 9.解析 (1)因为f(-2)=1,即4a-2b+1=1,所以b=2a.因为方程f(x)=0有且仅有一个实根,所以Δ=b-4a=0.所以4a-4a=0,所以a=1,所以b=2.所以f(x)=(x+1).

2

2

2

2

2

2

2222

(2)g(x)=f(x)-kx=x+2x+1-kx=x-(k-2)x+1=

22

+1-.

由g(x)的图象知:要满足题意,则(-∞,0]∪[6,+∞).

≥2或≤-1,即k≥6或k≤0,∴所求实数k的取值范围为

10.解析 (1)m+m=m(m+1),m∈N,m与m+1中必有一个为偶数,∴m(m+1)为偶数. ∴函数f(x)=

(m∈N)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.

*

2*

4

(2)∵函数f(x)的图象经过点(2,),∴=,∴m+m=2.解得m=1或m=-2.又m∈N,∴m=1.由

2*

f(2-a)>f(a-1)得

解得1≤a<.∴实数a的取值范围为.

B组 提升题组

11.C f(x)图象的对称轴为x=-, f(0)=a>0, f(x)的大致图象如图所示.

由f(m)<0,得-10,∴f(m+1)>f(0)>0.

12.A f(x)=(x-1)+3,∴f(1)=3, f(0)=f(2)=4.作出函数的图象如图所示,由图可以看出当1≤m≤2时,函数f(x)=x-2x+4在区间[0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3.故选A.

2

2

13.答案 -4;0

解析 f(x)=-x+x图象的对称轴为x=1,则f(x)的最大值为f(1)=,于是3n≤,即n≤,所以对称轴x=1

2

在区间[m,n]的右侧,所以函数f(x)=-x+x在区间[m,n]上单调递增,故

2

解得

(舍去)或

14.答案 - 解析 由题意得:

5

|f(0)|≤1?|n|≤1?-1≤n≤1; |f(1)|≤1?|2+n|≤1?-3≤n≤-1, 因此 n=-1,∴f(0)=-1, f(1)=1.

由f(x)的图象可知:要满足题意,则图象的对称轴为直线x=0,∴2-m=0,m=2,

∴f(x)=2x-1,∴f

2

=-.

15.解析 (1)f(x)的增区间为(-1,0),(1,+∞).

(2)若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,

f(x)=x+2x,∴f(x)=f(-x)=(-x)+2×(-x)=x-2x(x>0),∴f(x)=

2

222

(3)由(2)知g(x)在[1,2]上的解析式为g(x)=x-2x-2ax+2,该二次函数图象的对称轴方程为x=a+1,当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为g(x)在[1,2]上的最小值;当12,即a>1时,g(2)=2-4a为g(x)在[1,2]上的最小值.综上,在x∈[1,2]

2

上,g(x)min=

2

16.解析 (1)证明:当a=0时, f(0)=c, f(1)=2b+c,b+c=0,则f(0)·f(1)=c(2b+c)=bc=-b≤0,与已知矛盾,因而a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0,

即<0,从而-2<<-1.

(2)由于x1、x2是方程f(x)=0的两个实根,

则x1+x2=-,x1x2=-,

那么(x1-x2)=(x1+x2)-4x1x2=

22

+4×=·++=+,∵-2<<-1,∴≤(x1-x2)<,

2

∴≤|x1-x2|<,即|x1-x2|的取值范围是.

6

|f(0)|≤1?|n|≤1?-1≤n≤1; |f(1)|≤1?|2+n|≤1?-3≤n≤-1, 因此 n=-1,∴f(0)=-1, f(1)=1.

由f(x)的图象可知:要满足题意,则图象的对称轴为直线x=0,∴2-m=0,m=2,

∴f(x)=2x-1,∴f

2

=-.

15.解析 (1)f(x)的增区间为(-1,0),(1,+∞).

(2)若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,

f(x)=x+2x,∴f(x)=f(-x)=(-x)+2×(-x)=x-2x(x>0),∴f(x)=

2

222

(3)由(2)知g(x)在[1,2]上的解析式为g(x)=x-2x-2ax+2,该二次函数图象的对称轴方程为x=a+1,当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为g(x)在[1,2]上的最小值;当12,即a>1时,g(2)=2-4a为g(x)在[1,2]上的最小值.综上,在x∈[1,2]

2

上,g(x)min=

2

16.解析 (1)证明:当a=0时, f(0)=c, f(1)=2b+c,b+c=0,则f(0)·f(1)=c(2b+c)=bc=-b≤0,与已知矛盾,因而a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0,

即<0,从而-2<<-1.

(2)由于x1、x2是方程f(x)=0的两个实根,

则x1+x2=-,x1x2=-,

那么(x1-x2)=(x1+x2)-4x1x2=

22

+4×=·++=+,∵-2<<-1,∴≤(x1-x2)<,

2

∴≤|x1-x2|<,即|x1-x2|的取值范围是.

6

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