期末总复习-集合与函数概念知识点及习题（备课组用）

第一章 集合与函数概念

知识网络

列 举 法 集合与函数概念 集合 映射 函数 集 合 表 示 法 集 合 的 关 系 集 合 的 运 算 映射的概念 函数 及其表示 函数基本性质 描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 交 集 并 集 补 集 子集与真子集 函数的概念 函数的表示法 单调性与最值 函数 的 奇偶性 第一讲 集合

★知识梳理

一：集合的含义及其关系

1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系：

文字语言 属于 不属于 符号语言 ? ? 正整数集 整数集 有理数集 实数集 4.常见集合的符号表示

数集 符号 自然数集

用心 爱心 专心

二： 集合间的基本关系 表示 关系 相等 都相同 子集 真子集 A中任意一元素均为B中的元素 A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素 符号语言 三：集合的基本运算

①两个集合的交集:A?B= xx?A且x?B; ②两个集合的并集: A?B=xx?A或x?B; ③设全集是U,集合A?U,则CUA?xx?U且x?A

交 并 补 ??????? A?B?{x|x?A,且x?B} ? A?B?{x|x?A,或x?B} CUA??xx?U且x?A? 方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.

★重、难点突破

重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的

交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念

掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；

用心 爱心 专心

2．集合的表示法

（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如xy?f(x)、yy?f(x)、(x,y)y?f(x)等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。

3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即??A （2）任何集合都是它本身的子集，即A?A

（3）子集、真子集都有传递性，即若A?B，B?C，则A?C 4．集合的运算性质

（1）交集：①A?B?B?A；②A?A?A；③A????；④A?B?A，A?B?B⑤

??????A?B?A?A?B；

（2）并集：①A?B?B?A；②A?A?A；③A???A；④A?B?A，A?B?B⑤A?B?A?B?A； （3）交、并、补集的关系 ①A?CUA??；A?CUA?U

②CU(A?B)?(CUA)?(CUB)；CU(A?B)?(CUA)?(CUB)

★热点考点题型探析

考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征

[例1]（2008年江西理）定义集合运算：A?B??z|z?xy,x?A,y?B?．设

A??1,2?,B??0,2?，则集合A?B的所有元素之和为（ ）

A．0；B．2；C．3；D．6 【题型2：集合间的基本关系

[例2]．数集X??(2n?1)?,n?Z?与Y??(4k?1)?,k?Z?之的关系是（ ） A．XY；B．Y[新题导练]

X； C．X?Y；D．X?Y

用心 爱心 专心

1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）

A．A?B B.B?C C.A?B?C D. B?C?A

2．(2006?山东改编）定义集合运算:A?B?z?xy?xy,x?A,y?B,设集合

?22?A??1,?0,B??2,3?,则集合A?B的所有元素之和为 3．(2007·湖北改编）设P和Q是两个集合，定义集合P?Q??x|x?P,且x?Q?，如果

P??xlog3x?1?，Q??xx?1?,那么P?Q等于

4．研究集合A?xy?x?4，B?yy?x?4，C?(x,y)y?x?4之间的关系 考点二：集合的基本运算

[例3] 设集合A?xx?3x?2?0，B?xx?2(a?1)x?(a?5)?0 （1） 若A?B??2?，求实数a的值；

（2）若A?B?A，求实数a的取值范围若A?B??2?，

5．若集合S?yy?3,x?R，T?yy?x?1,x?R，则S?T是（ ）

A. S；B. T；C.?；D. 有限集

7．已知集合M?(x,y)x?y?2，N?(x,y)x?y?4，那么集合M?N为（ ）A.x?3,y??1；B.(3,?1)；C.?3,?1?；D.?(3,?1)?

28．集合A?{x|ax?1?0},B?x|x?3x?2?0,且A?B?B,求实数a的值.

?2??2??2??2??22??x??2???????22备选例题1：已知M?yy?x?1，N?(x,y)x?y?1，则M?N中的元素个数是

????（ ）

A. 0；B. 1；C.2；D.无穷多个

★抢分频道

基础巩固训练：

1． （09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集

U A B U?R,A??xx(x?3)?0?,B??xx??1?, 则右图中阴

影部分表示的集合为 ( )

A．xx?0；B．x?3?x?0；C．x?3?x??1；D．xx??1

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????????2. （韶关09届高三摸底考）已知A?xx(1?x)?0,B?xlog2x?0 则A?B= A．(0,1)；B．(0,2)；C．(??,0)；D．(??,0)?(0,???

3. （苏州09届高三调研考）集合{?1,0,1}的所有子集个数为

4.（09年无锡市高三第一次月考）集合A中的代表元素设为x，集合B中的代表元素设为y，若?x?B且?y?A，则A与B的关系是

5．(2008年天津)设集合S?x|x?2?3,T??x|a?x?a?8?,S?T?R，则a的取值范围是（ ）

A．?3?a??1；B．?3?a??1

C．a??3或a??1；D．a??3或a??1

综合提高训练：

??????6．P?m?1?m?0,Q?m?Rmx?4mx?4?0对于任意实数x恒成立 则下列关系中立的是( )

A．PQ; B．QP;C．P?Q;D．P?Q??

???2?1,2,3,4,5?，Q??3,4,5,6,7?，记 7.设f(n)?2n?1(n?N)，P????n?N?f(n)?Q，则(P????CQ????n?Nf(n)?P?，QPN)?(Q?CNP)＝( )

??1,2?; C. ?3,4,5?; D. ?1,2,6,7? A. ?0,3?; B.?8．（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义

A?B?{xx?A?B且x?A?B}，已知A={x|y?2x?x2}，B={y|y?2x,x?0}，

则A×B等于（ ）

A．?0,???；B．?0,1???2,???；C．?0,1???2,???；D．?0,1??(2,??)

第2讲 函数与映射的概念

★知识梳理1．函数的概念(1)函数的定义：

设A、B是两个非空的 ，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的 x，在集合B中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y?f(x),x?A (2)函数的定义域、值域

用心 爱心 专心

在函数y?f(x),x?A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y?f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)x?A称为函数y?f(x)的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为

??f:A?B

★重、难点突破

重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域

求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数y?f(x)的定义域为[a，b]，求y?f(x?2)的定义域 问题2：已知y?f(x?2)的定义域是[a，b]，求函数y?f(x)的定义域

2． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数

y??sin2x?2cosx?4，可变为y??sin2x?2cosx?4?(cosx?1)2?2解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数

y?log1(?x2?2x?3)就是利用函数y?log1u和u??x2?2x?3的值域来求。

222x?1的值域 2x?2x?22x?112由y?2得yx?2(y?1)x?2y?1?0，若y?0，则得x??，所以y?0是函

2x?2x?2（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y?数值域中的一个值；若y?0，则由??[?2(y?1)]?4y(2y?1)?0得

23?133?133?133?13?y?且y?0，故所求值域是[,] 2222（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y?用心 爱心 专心

2cosx?3的值域，因为

cosx?1552cosx?35?(??,?]，故 ?2?，而cosx?1?(0,2]，所以?cosx?12cosx?1cosx?11y?(??,?]

23x（5）利用基本不等式求值域：如求函数y?2的值域

x?4y?当x?0时，y?0；当x?0时，y?3x?4x，若x?0，则x?44?2x??4 xx若x?0，则x?44433??(?x?)?2(?x)?()?4，从而得所求值域是[?,]

44x?x?x（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y?2x4?x2?2(x?[?1,2])的值域

因y?8x3?2x?2x(4x2?1)，故函数y?2x4?x2?2(x?[?1,2])在(?1,?)上递减、在

1211115(?,0)上递增、在(0,)上递减、在(,2)上递增，从而可得所求值域为[,30] 2228（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。

★热点考点题型探析

考点一：判断两函数是否为同一个函数

[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

x?0,?1（1）f(x)?x，g(x)?x； （2）f(x)?，g(x)??

x?1x?0;?233x（3）f(x)?2n?1x2n?1，g(x)?(2n?1x)2n?1（n∈N*）；（4）f(x)?（5）f(x)?x?2x?1，g(t)?t?2t?1.

[新题导练]

1．(2009·佛山) 下列函数中与函数y?x相同的是( ) A .y = (x); B. y =

2

xx?1，g(x)? x2?x；

223t; C. y =x32

x2; D. y=

xlg(2x?1)2．(09年重庆南开中学)与函数y?0.1的图象相同的函数是 （ ）

用心 爱心 专心

A.y?2x?1(x?11111(x?)； D.y?|)；B.y?| ；C.y?2x?1222x?12x?1考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数f(x)?1ln(x2?3x?2??x2?3x?4)的定义域为( ) xA.(??,?4)?[2,??);B.(?4,0)?(0,1)；C. [,?4,0)?(0,1];D. [,?4,0)?(0,1) 题型2：求抽象函数的定义域

2?xx??2?，则f????f??的定义域为（ ） 2?x?2??x?A. ??4,0???0,4?；B. ??4,?1???1,4?；C. ??2,?1???1,2?；D. ??4,?2???2,4?

x??2?[解题思路]要求复合函数f????f??的定义域，应先求f(x)的定义域。 ?2??x?[例3]（2006·湖北）设f?x??lg题型3；求函数的值域

[例4]已知函数y?x2?4ax?2a?6(a?R)，若y?0恒成立，求f(a)?2?aa?3的值域 [新题导练]

3.（2008安徽文、理）函数f(x)?x?2?1log2(x?1)的定义域为 ．

4．定义在R上的函数y?f(x)的值域为[a,b]，则函数y?f(x?1)的值域为( )

A．[a?1,b?1]；B．[a,b]；C．[a?1,b?1]；D．无法确定

5．(2008江西改) 若函数y?f(x)的定义域是[1,3]，则函数g(x)?

f(2x)的定义域是 x?16．(2008江西理改)若函数y?f(x)的值域是[,3]，则函数F?x??f?x??是

231的值域 f(x)考点三：映射的概念

[例5] （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文?密文（加密），接收方由密文?明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a?2b,2b?c,2c?3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）

A．7,6,1,4；B．6,4,1,7；C．4,6,1,7；D．1,6,4,7 [新题导练]

用心 爱心 专心

7．集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.

8．若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.

备选例题：（03年上海）已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x?R，有f(x?T)?Tf(x)成立。

（1）函数f(x)?x是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f(x)?ax(a?0,a?1)的图象与y?x的图象有公共点，证明：

f(x)?ax?M

★抢分频道

基础巩固训练：

1．(2007·广东改编) 已知函数f(x)?则M?N? 2．函数y?11?x的定义域为N，g(x)?ln(1?x)的定义域为M，

log1(3x?2)的定义域是 32x?13．函数y?x的值域是 2?14．（广东从化中学09届月考）从集合A到B的映射中,下列说法正确的是( ) A．B中某一元素b的原象可能不只一个；B．A中某一元素a的象可能不只一个 C．A中两个不同元素的象必不相同； D．B中两个不同元素的原象可能相同

5．（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射是（ ）

A．A?{x|x?0},B?R,f:x?|y|?x B．A?{?2,0,2},B?{4},f:x?y?x

221xA?{0,2},B?{0,1},f:x?y?D．

2x2

252，?4]，则m的取值范6．（09年执信中学）若函数y?x?3x?4的定义域为[0,m],值域为[?4C．A?R,B?{y|y?0},f:x?y?围是（ ）

3]； C．[，4]；D．[，??）A．?0,4?；B．[，

用心 爱心 专心

323232综合提高训练：

8．（05天津改）设函数f(x)?ln29．设函数f(x)?x?x?2?xx1，则函数g(x)?f()?f()的定义域是 2?x2x1的定义域是[n,n?1](n正整数)，f(x)的值域中共有个 整数 2第3讲 函数的表示方法

★知识梳理

一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破

重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式

重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 问题1．已知二次函数f(x)满足f(2x?1)?4x2?6x?5，求f(x) 问题2：已知函数f(x)满足f(x)?2f()?3x，求f(x)

1x★热点考点题型探析

考点1：用图像法表示函数[新题导练]

1．(2005·湖北)函数y?e|lnx|?|x?1|的图象大致是( )

用心 爱心 专心

考点2：用列表法表示函数

[例2] （07年北京）已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x f(x) 1 1 2 3 3 1

x g(x) 1 3 2 2 3 1 则f[g(1)]的值为

；满足f[g(x)]?g[f(x)]的x的值是

[新题导练] 3．（09年山东梁山）设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 映射f的对应法则是表1 原象 象 映射g的对应法则是表2

原象

象

则与f[g(1)]相同的是（ ）

A．g[f(1)]；B．g[f(2)]；C．g[f(3)]；D．g[f(4)]

4．（04年江苏改编）二次函数y?ax?bx?c（x∈R）的部分对应值如下表：

21 3 2 4 3 2 4 1 1 4 2 3 3 1 4 2 x －3 －2 －1 y 6 0 0 1 2 3 0 4 6 －4 －6 －6 －4 2则不等式ax?bx?c?0的解集是 考点3：用解析法表示函数

题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

1?x1?x2

)=[例3] （04湖北改编）已知f(，则f(x)的解析式可取为 1?x1?x2

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题型2：求二次函数的解析式

[例4] （普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数f(x)满足f(x?1)?f(x)?2x，且f(0)?1。 ⑴求f(x)的解析式；

⑵在区间[?1,1]上，y?f(x)的图象恒在y?2x?m的图象上方，试确定实数m的范围。 5．（06全国卷二改编）若f(sinx)?3?cos2x，则f[sin(?2?x)]?

6．（09年潮州金山中学）设y?f(x)是一次函数，若f?0??1且f?1?,f?4?,f?13?成 等比数列，则f?2??f?4????f?2n?? ； 7．（华侨中学09届第3次月考（09年中山））设 f?x??1?x，又记 1?xf1?x??f?x?,fk?1?x??f?fk?x??,k?1,2,?,则f2008?x?? （ ）

A．

1?xx?11；B．；C．x；D．?； 1?xx?1x8．设二次函数f(x)满足f(x?2)?f(?x?2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式。

考点4：分段函数

题型1：由分段函数的解析式画出它的图象

2例6] (2006·上海)设函数f(x)?x?4x?5，在区间[?2,6]上画出函数f(x)的图像。

[新题导练]

?2x?3(x?0)9．（09年潮州金山中学）已知函数f(x)??2 ，

?x?1 (x?0)则f??f?1????

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x?1??2?,x?2.10．（06山东改编）设f(x)??则不等式f(x)?2?0的解集为 2??log2(x?1),x?2,x2备选例题1： (2005·江西)已知函数f(x)?（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个

ax?b实根为x1=3, x2=4.

备选例题2：（06重庆）已知定义域为R的函数f(x)满足

f?f(x)?x2?x??f(x)?x2?x.

（I）若f(2)?3，求f(1);又若f(0)?a，求f(a);

（II）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)?x0，求函数f(x)的解析表达式

★抢分频道

基础巩固训练：

1．（09年广州高三年级第一学期中段考）函数y?f?x?的图象如图2所示.观察图象可知 函数y?f?x?的定义域、值域分别是（ ） A.??5,0???2,6?,?0,5?；B.??5,6?,?0,??? C.??5,0???2,6?,?0,???；D.??5,???,?2,5?

5 2 y O -5 2 6 2．（09年惠州第一次调研考）某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是： 前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的 图2 产量y与时间t的函数图像可能是（ ）

yyyy

tttt

o o o o 44848488

CABD

x 2x?bx?c,x?0,若f(?3)?f(0),f(?1)??2,则关于x3．（2004·湖南改编）设函数f(x)?2,x?0.的方程f(x)?x的解的个数为

?4．（05江苏）已知a,b为常数，若f(x)?x?4x?3，

用心 爱心 专心

2f(ax?b)?x2?10x?24，则5a?b= 5．对a、b?R，记max?a，b???的最小值是（ ） A.?1；B.

?a，a?b，函数f(x)?max?sinx,cosx?(x?R)

?b，a?b22；C.?；D.1 221x?[0,)?f1(x)26．（中山市09届高三统测）已知函数f(x)?? 其中

1f(x)?2x?[,1]21f1(x)??2(x?)2?1， f2(x)??2x?2。作出函数f(x)的图象；

2综合提高训练：

7（06重庆）如图所示，单位圆中AB的长为x，f(x)表示弧AB 与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y?f(x)的图像是（ ）

??

第4讲 函数的单调性与最值

★知识梳理

函数的单调性定义：

设函数y?f(x)的定义域为A，区间I?A

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说

y?f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y?f(x)的单调增区间 用心 爱心 专心

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说

y?f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y?f(x)的单调减区间 1． 函数的最大（小）值

设函数y?f(x)的定义域为A

如果存在定值x0?A，使得对于任意x?A，有f(x)?f(x0)恒成立，那么称f(x0)为

y?f(x)的最大值；

如果存在定值x0?A，使得对于任意x?A，有f(x)?f(x0)恒成立，那么称f(x0)为

y?f(x)的最小值。

★重、难点突破

重点：掌握求函数的单调性与最值的方法

难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值 重难点：1.对函数单调性的理解

（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定

义域； （2）函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是大小，即

x1?x2(x1?x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

（3）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明y?f(x)在某区间I上的单

调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，不能用区间I上的两个特殊值来代替。而要证明y?f(x)在某区间I上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I上两个特殊的x1，x2，若x1?x2，有f(x1)?f(x2)即可。 （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y?1分别在(??,0)和x(0,??)内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(??,0)?(0,??)内是单调递减的，

只能说函数y?1的单调递减区间为(??,0)和(0,??) x用心 爱心 专心

（5）一些单调性的判断规则：①若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数（减函数），那么。②复合函数的单调性规则是“异减同增” f(x)?g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）

2．函数的最值的求法

（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。

（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。 （3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。 （4）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。

★热点考点题型探析

考点1 函数的单调性

题型1：讨论函数的单调性

?1,x?1,? [例1] (2008广东)设k?R,函数f(x)??1?xF(x)?f(x)?kx,x?R.

??x?1,x?1?试讨论函数F(x)的单调性. 题型2：研究抽象函数的单调性

[例2] 定义在R上的函数y?f(x)，f(0)?0，当x＞0时，f(x)?1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）. （1）求证：f（0）=1；

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0； （3）求证：f（x）是R上的增函数； （4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围. [新题导练]

21．（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数f?x??log24x?x的单调递减区间是（ ）

??A．(0,4); B．(0,2); C．(2,4); D． (2,??)

2．（东皖高级中学09届高三月考）函数y?log1(x2?5x?6)的单调增区间为（ ）

2??)；C．???，?；D．(??，2) A．?，???；B．(3，考点2 函数的值域（最值）的求法 题型1：求分式函数的最值

?5?2????5?2?用心 爱心 专心

x2?2x?a[例3] （2000年上海）已知函数f(x)?,x?[1,??).

x当a?1时，求函数f(x)的最小值； 2题型2：利用函数的最值求参数的取值范围

x2?2x?a[例4] （2000年上海）已知函数f(x)?,x?[1,??).

x若对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,试求实数a的取值范围。 [新题导练]

4.（09年广东南海）若函数y?3?x2ln(=

1?x?11?的最大值与最小值分别为M,m，则M+m

)x??,?22?1?x??x2?ax?4(x?0)。 5.（高州中学09届模拟）已知函数f(x)?x （Ⅰ）若f(x)为奇函数，求a的值；

（Ⅱ）若f(x)在[3,??)上恒大于0，求a的取值范围。

?2x?b备选例题：（06年重庆）已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。

2?a（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）若对任意的t?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范围；

★抢分频道基础巩固训练：

1．（华师附中09高三数学训练题）若函数f(x)?x?|x?a|?b在区间(??,0]上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）

A.a?0；B.a?1；C.a?0；D.a?1 2．（普宁市城东中学09）若函数h(x)?2x?围是（ ）

A．[?2,??)；B．[2,??)； C．(??,?2]；D．(??,2]

用心 爱心 专心

2kk?在(1,??)上是增函数，则实数k的取值范x33．（09汕头金中）下列四个函数中，在区间(0,)上为减函数的是（ ）

x1x1??A．y?x??；B．y??()；C．y?xlog2x；D．y?x3 2?2?1144．（09潮州金山中学）已知函数f(x)?x2?2x?1，若存在实数t，当x??1,m?时，f(x?t)?x恒成立，则实数m的最大值是（ ） A．1；B．2；C．3；D．4 5．（06北京改编）已知f(x)??范围是

26．（2008浙江理）已知t为常数，函数y?x?2x?t在区间[0，3]上的最大值为2，

?(3a?1)x?4a,x?1 是(??,??)上的减函数，那么a的取值

?logax,x?1则t?

综合提高训练：

7.（06陕西改编）已知函数f(x)?ax2?2ax?4(0?a?3),若x1?x2,x1?x2?a?1?0 则f1(x)与f2(x)的大小关系为 8．已知函数f(x)?3x?21122009(x?)，求f()?f()???f()的值 2x?122010201020109．（09年汕头金中）对于函数f(x)?x2?2x,在使f(x)?M成立的所有常数M中，我

0, 们把M的最大值－1叫做f(x)?x2?2x的下确界，则对于a,b?R且a,b不全为a2?b2的下确界为（ ） 2(a?b) A．

11；B．2；C．；D．4 24第5讲 函数的奇偶性和周期性

★知识梳理

1．函数的奇偶性的定义：

①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)??f(x)〔或f(?x)?f(x)?0〕，则称

f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

用心 爱心 专心

②对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)?f(x)〔或f(?x)?f(x)?0〕，则称

f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 3． 函数的周期性命定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

★重、难点突破

重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用

难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用 重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式

f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)??1(f(x)?0),也可以利用函数图象的对称f(x)性去判断函数的奇偶性.注意①若f(x)?0,则f(x)既是奇函数又是偶函数,若

f(x)?m(m?0),则f(x)是偶函数；②若f(x)是奇函数且在x?0处有定义，则f(0)?0③

若在函数f(x)的定义域内有f(?m)?f(m)，则可以断定f(x)不是偶函数，同样，若在函数

f(x)的定义域内有f(?m)??f(m)，则可以断定f(x)不是奇函数。

2．奇偶函数图象的对称性

（1） 若y?f(a?x)是偶函数，则f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)?f(x)的图

象关于直线x?a对称；

（2） 若y?f(b?x)是偶函数，则f(b?x)??f(b?x)?f(2b?x)??f(x)?

f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；

3．函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：

（1）函数值之和等于零型，即函数f(a?x)?f(b?x)?0(a?b)

用心 爱心 专心

对于定义域中任意x满足f(a?x)?f(b?x)?0(a?b)，则有f[x?(2b?2a)]?f(x)，故函数f(x)的周期是T?2(b?a)

（2）函数图象有x?a，x?b(a?b)两条对称轴型

函数图象有x?a，x?b(a?b)两条对称轴，即f(a?x)?f(a?x)，

f(b?x)?f(b?x)，从而得f[x?(2b?2a)]?f(x)，

故函数f(x)的周期是T?2(b?a)

（3） 两个函数值之积等于?1，即函数值互为倒数或负倒数型

若f(x?a)?f(x?b)?1(a?b)，则得f(x?2a)?f[(x?2a)?(2b?2a)]，所以函数f(x)的周期是T?2b?2a；同理若f(x?a)?f(x?b)??1(a?b)，则f(x)的周期是

T?2(b?a)

（4） 分式递推型，即函数f(x)满足f(x?a)?1?f(x?b)(a?b)

1?f(x?b)由f(x?a)?1?f(x?b)?1(a?b)得f(x?2a)?，进而得

1?f(x?b)f(x?2b)f(x?2a)?f(x?2b)??1，由前面的结论得f(x)的周期是T?4(b?a)

★热点考点题型探析

考点1 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性

[例1] 判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·1?x； 1?x?x(1?x)1?x2（3）f(x)?；（4）f(x)??|x?2|?2?x(1?x)题型2：证明抽象函数的奇偶性

用心 爱心 专心

(x?0),

(x?0).

[例2] （09年山东梁山）定义在区间(?1,1)上的函数f (x)满足：对任意的x,y?(?1,1)， 都有f(x)?f(y)?f(求证f (x)为奇函数； [新题导练]

1．（09广东电白一中）设函数f?x??x2?1?x?a?为奇函数，则a?___________。 2．（高州中学09届训练题）已知函数f(x)?ax2?bx?3a?b是定义域为[a?1,2a]的偶函数，则a?b的值是（ ）

x?y). 1?xy??1A．0；B．；C．1；D．?1

33．定义两种运算：a?b?a2?b2，a?b?(a?b)2，则f(x)?2?x

(x?2)?2是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）

ax2?14．已知函数f(x)?（a、b、c∈Z）是奇函数,又f(1)?2，f(2)?3，求a、b、c的

bx?c值.

考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用

[例3] （普宁市城东中学09）已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数，若

f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。

[例4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)

1a2?3a?1)的单调递减区间. 25．（普宁市城东中学09届高三模拟）若f(x)是奇函数，且在?0,???内是增函数，又

f(3)?0，则xf(x)?0的解集是（ ）

A.{x?3?x?0或x?3}；B.{xx??3或0?x?3}

C.{xx??3或x?3}； D.{x?3?x?0或0?x?3}

6．（2007·天津改编）在R上定义的函数f?x?是奇函数，且f?x??f?2?x?，若f?x?在区间?1,2?用心 爱心 专心

是减函数，则函数f?x?（ ）

A.在区间??3,?2?上是增函数，区间?3,4?上是增函数 B.在区间??3,?2?上是增函数，区间?3,4?上是减函数 C.在区间??3,?2?上是减函数，区间?0,1?上是增函数 D.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是减函数

7．（普宁市城东中学09届高三模拟）定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且

3x。求f(x)在??2,2?上的解析式 x??0,2?时，f(x)?x9?1考点3 函数奇偶性、周期性的综合应用

[例5] （09年惠州第三次调研考）已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x)?1对 于x?R恒成立，且f(x)?0，则f(119)? ________ [新题导练]

8．（执信中学09届训练题）设f?x?是定义在R上的正值函数,且满足

f?x?1?f?x?1??f?x?.若f?x?是周期函数,则它的一个周期是（ ）

A.3；B.2；C.6；D.4

9．（06年安徽改编）函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2?f(x)?1，若f?1???5,则

f??5??__________

备选例题：（05年广东）设函数

f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间[0,7]上，只有

f(1)?f(3)?0.

（Ⅰ）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

,2005]上的根的个数，并证明你的结论. （Ⅱ）试求方程f(x)?0在闭区间[?2005★抢分频道

用心 爱心 专心

基础巩固训练：

1．（汕头市金山中学09年模拟）若偶函数f(x)在(??,?1)上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

3233 C．f(2)?f(?1)?f(?)；D．f(2)?f(?)?f(?1)

22 A．f(?)?f(?1)?f(2)；B．f(?1)?f(?)?f(2)；

322．（09年深圳翠园、宝安中学）设函数f(x) (x∈R)为奇函数，f(1)?1， 2f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(5)?（ ）

A．0；B．1； C．

5；D．5 23x?3?x3．（湛江市09年高三调研）函数f(x)?在其定义域内是( )

2A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数 C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数

4．（中山市09年高三统考）偶函数f(x)(x?R)满足：f(?4)?f(1)?0，且在区间[0,3]与

[3,??)上分别递减和递增，则不等式xf(x)?0的解集为（ ）

A．(??,?4)?(4,??)；B．(?4,?1)?(1,4) C．(??,?4)?(?1,0)；D．(??,?4)?(?1,0)?(1,4)

5．（09年深圳九校联考）已知f(x)是定义域为R的奇函数，若当x?(0,??)时，

f(x)?lgx，则满足f(x)?0的x的取值范围是 ．

综合提高训练：

6．设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)?f(x)?0，当0?x?1时，f(x)?x，则f(7.5)为

7．（四会中学高三09年月考）符号[x]表示不超过x的最大整数，如[?]?3，[?1.08]??2，定义函数{x}?x?[x]．给出下列四个命题：①函数{x}的定义域是R，值域为[0,1]；②方程

用心 爱心 专心

{x}?1有无数个解;③函数{x}是周期函数；④函数{x}是增函数．其中正确命题的序号有2（ ）

A．①④；B．③④；C．②③；D．②④

8.（08年辽宁改编）设f(x)是连续的偶函数,且当x?0时f(x)是单调函数, 求满足f(x)?f(x?4)?0的所有x之和 x?5 第一章综合检测

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.集合M?{0，2}，P?{x|x?M}，则下列关系中，正确的是( ) A.M；B.PP

M；C. P?M；D. P?M

22.（09年山东梁山二中）若?是xx?a,a?R的真子集，则实数a的取值范围是（ ）

??A. ?0,???；B. ?0,???；C. ???,0?；D. ???,0?

3．（09年重庆南开中学）已知集合M?{?1,0,1},N?{y|y?cosx,x?M}，则集合N的真子集个数为（ ）

A．3；B．4；C．7；D．8 4. 下列判断正确的是（ ）

1?xx2?2xA．函数f(x)?是奇函数；B．函数f(x)?(1?x)是偶函数

x?21?xC．函数f(x)?x?x2?1是非奇非偶函数 D．函数f(x)?1既是奇函数又是偶函数 5. （恩城中学09届高三上中段考）已知定义在正整数集上的函数f(x)满足条件：f(1)?2，

f(2)??2,f(n?2)?f(n?1)?f(n),则f(2009)的值为（ ）

A．－2；B．2；C．4；D．－4

6．（08年陕西）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据

1，2）组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，，传输信息为h0a0a1a2h1，其中1}（i?0，ai?{0，h0?a0?a1，h1?h0?a2，?运算规则为：0?0?0，0?1?1，1?0?1，1?1?0，例

如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）

用心 爱心 专心

A．11010；B．01100；C．10111；D．00011

7．（07年安徽）定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)?0在闭区间??T,T?上的根的个数记为n，则n可能为（ ）

A．0；B．1；C．3；D．5

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分. 8．（韶关市田家炳中学09届测试）在实数集R上定义运算?:a?b?a?b?4 ，并定义：若R存在元素e使得对?a?R，有e?a?a，则e称为R上的零元，那么，实数集上的零元e之值是

9.设P?3，4，5，Q?4，5，6，7，定义P※Q＝?(a,b)|a?P，b?Q?，则

????P※Q中元素的个数为 .

10．（金山中学09届）已知函数y?f(x)是以2为周期的偶函数，且当x?(0,1)时，

7f(x)?x2?1,则f()的值_______.

211．设a,b?R,集合?1,a?b,a???0,?b?b,b?,则的值是

aa??▲选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分。

12．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)?0，则方程f(x)?0在区间（0，6）内解的个数的最小值是

13．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y?f(x)的图象关于直线x?1对称，则2f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)? 14. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那

2

么函数解析式为y=x，值域为{0,4}的“同族函数”共有_________个.

三、解答题：(本大题共6小题,共80分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分13分)（高州中学09届模拟）设全集U?R，集合A?{x|6?x?x2?0}，

集合B?{x|2x?1?1} x?3(Ⅰ)求集合A与B； (Ⅱ)求A?B、(CUA)?B.

16.（13分）已知集合A＝{x| x2－3x－10≤0}，B＝{x| m＋1≤x≤2m－1}，若A?B且B≠??，求实数m的取值范围。

用心 爱心 专心

ax2?117.(14分) 已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，

bx?c5其中b∈N且f(1)<.试求函数f(x)的解析式

218. (12分)若函数y=f(x)是周期为2的偶函数,当x∈［2,3］时,f(x)=x－1.在y=f(x)的图象上有两点A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间［1,3］上,定点C的坐标为(0,a)(其中2

(1) 求当x∈［1,2］时,f(x)的解析式;

(2) 定点C的坐标为(0,a)(其中2

ax2?117.(14分) 已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，

bx?c5其中b∈N且f(1)<.试求函数f(x)的解析式

218. (12分)若函数y=f(x)是周期为2的偶函数,当x∈［2,3］时,f(x)=x－1.在y=f(x)的图象上有两点A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间［1,3］上,定点C的坐标为(0,a)(其中2

(1) 求当x∈［1,2］时,f(x)的解析式;

(2) 定点C的坐标为(0,a)(其中2

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