武汉科技大学 - 信号与系统习题精解第1章

第1章 信号及信号的时域分析

1.1本章要点

本章在时域范围内讨论信号的分类和信号的基本运算，通过本章的学习，读者应该了解信号的各种分类、定义及相关波形；了解各类常用信号及其性质，掌握几种奇异信号的特性及运算方法；了解和掌握信号的基本运算方法，深刻理解卷积与输入、输出信号和系统之间的物理关系及其性质，为后续课程打下牢固的基础。 1、信号的分类

（1）连续信号与离散信号

一个信号，如果在连续时间范围内(除有限个间断点外)有定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。仅在离散时间点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。

（2）确定信号与随机信号

确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。即给定某一时间值，就能得到一个确定的信号值。随机信号是时间的随机函数，即给定某一时间值，其函数值并不确定的信号。

（3）周期信号与非周期信号

对于连续信号f(t)，若存在T?0，使得f(t?rT)?f(t)，r为整数，则称f(t)为周期信号；对于离散信号f(n)，若存在大于零的整数N，使得f(n?rN)?f(n)，r为整数，则称f(n)为周期信号。不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。

① 几个周期信号相加而成的信号的周期问题

几个周期信号相加，所产生的信号可能是周期信号，也可能是非周期信号，这主要取决于几个周期信号的周期之间是否存在最小公倍数T0。以周期分别为T1、T2（角频率分别为

?1,?2）的两个信号相加产生的信号f?t?为例，

如果

?1T2n1???有理数，n1,n2均为整数，则f?t?为周期信号，其周期T0为 ?2T1n2T0?n1T1?n2T2?n12?2? （1-1） ?n2?1?2② 离散正（余）弦信号的周期问题

时域连续的正（余）弦信号一定是周期信号，但时域离散的正（余）弦信号不一定是周期信号，要求周期N为正整数。例如：sin期信号，因为5?不是整数。

（4）能量信号与功率信号

1

22?n为周期信号，周期N为5，sinn为非周55归一化能量为有限值，归一化功率为零的信号为能量信号，即满足0?W??，P?0。

0?P??。归一化功率为有限值，归一化能量为无限大的信号为功率信号，即满足W??，

一般，周期信号为功率信号。

（5）实信号与复信号 在各时刻t（或n）上的信号幅值为实数的信号为实信号，信号幅值为复数的信号称为复信号。

2、常用 连续信号 及其性质

（1）.单位阶跃信号用u(t)表示，定义为：

u(t)???1t?0?0t?0 （2）单位冲激信号用?(t)表示，其狄拉克(Dirac)定义为：

?????????(t)dt?1?0,t?0 ??(t)冲激信号的性质：

1）筛选性

f(t)?(t)?f(0)?(t) f(t)?(t?t0)?f(t0)?(t?t0) 2）取样性 ????f(t)?(t)dt??????f(0)?(t)dt?f(0)????(t)dt?f(0)

??f(t)?(t?t????0)dt????f(t0)?(t?t0)dt?f(t0)????(t?t0)dt?f(t0) 3）尺度变换

??at??1a??t? ???at??1a?1a???t? 以及??at?的n阶导数为 ??n??at??1a?1a??n?n?t? 4）奇偶性

利用式（1-10）来分析??t?的奇偶性是比较方便的。令a??1，得

??n???t????1?n??n??t? 1-2）

1-3）

1-4）

1-5）

（1-6）

（1-7）

（1-8）

（1-9）

1-10） 1-11）

2

（ （ （ （ （ （n为偶数时，有

??n???t????n??t?n?0,2,4,? （1-12）

n为奇数时，有

??n???t?????n??t?这样，得到

n?1,3,5,? （1-13）

?(?t)??(t) （1-14）

????t??????t? （1-15）

即??t?是偶函数，而???t?是奇函数。 5） ?(t)与u(t)互为微分与积分的关系，

u(t)?????(?)d? （1-16）

t?(t)?6）复合函数形式的冲激信号

du(t) （1-17） dt对于形如??f?t??的冲激信号，若f?t??0有m个互不相等的实根（如果f?t??0有重根，??f?t??没有意义），则有

??f?t????i?1n1??t?ti? （1-18） f??ti?（3）单位冲激偶函数 1）单位冲激偶函数的定义

单位冲激偶函数可通过对矩形脉冲求一阶导数再取极限引出其定义。脉宽为?、幅度为

11??1??的矩形脉冲为f(t)?[u(t?)?u(t?)]， 其导数为f?(t)?[?(t?)??(t?)]，??22?22波形如图1-1所示。

f??t??1/???2??20t?1/??图1-1 对矩形脉冲求导的波形

3

可见f?(t)是一正一负两个强度均为

2）单位冲激偶函数的性质： ① 因为??(t)是奇函数，所以

1的冲激信号。limf??t????(t)称为单位冲激偶函数。

??0?

②

??t??? ??(t)dt?0 （1-19）

??(?)d???(t) （1-20）

??③ f(t)??(t)?f(0)??(t)?f?(0)?(t) 推广，有

f(t)??(t?t0)?f(t0)??(t?t0)?f?(t0)?(t?t0) ④ ????f(t)??(t)dt??f?(0) 推广，有

???n?nf?n???f(t)?(t)dt???1?(0) ????f(t)??(t?t0)dt??f?(t0) ???n??1?nf?n???f(t)?(t?t0)dt??(t0) （4）斜坡信号

单位斜坡信号用r?t?表示，其定义为：

r(t)?tu?t????tt?0?0t?0 r(t)与u(t)之间的关系为：

r(t)??t??u(?)d? ddtr(t)?u(t) （5）符号函数sgn?t?

符号函数用sgn?t?表示，其定义为：

（1-21） （1-22）

（1-23）

1-24） 1-25）

1-26） （1-27） 1-28）

1-29） 4

（ （ （ （ （?1?sgn?t???0??1?（6）取样信号

取样信号用Sa?t?表示，其定义为：

Sa?t??t?0t?0 （1-30）

t?0sint???t?? （1-31）

t取样信号有如下性质： 1） limsintt?0t?1 2） Sa?k???0,k??1,?2,?3,? 3）

??sint??tdt?? 3、常用 离散信号 及其性质

（1）单位序列??n?

单位序列用??n?表示，其定义为：

?(n)???1n?0?0n?0 单位序列性质：

1） f(n)?(n)?f(0)?(n) 2） f(n)?(n?n0)?f(n0)?(n?n0) （2）单位阶跃序列u?n?

单位阶跃序列用u?n?表示，其定义为：

u(n)???1n?0?0n?0 若将u?n?移位n0，得

（1-32） （1-33）

1-34）

1-35） 1-36） 1-37） 1-38） 5

（ （ （ （ （

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