浙江省温州市龙湾中学数学组2010年优秀案例集

温州市龙湾中学数学组

优秀案例集

“09数赛”引发探究性学习的一个案例

温州市龙湾中学 鲁兴冠

（注：本案例获2010年温州市高中数学优秀案例评比二等奖）

内容提要：通过对2009年全国高中数学联合竞赛真题引发探究性学习，对椭圆中OA?OB的简单研究，类比到双曲线、抛物线。并结合2009年全国及各省市高考试题及举例说明这类问题的一些常规应用，通过激烈的讨论，思维的撞击，建立更好的知识结构。

关健词 数赛 探究 案例 1 问题提出与背景：

10月11日上午在市第二十一中学进行的2009年全国高中数学联合竞赛刚刚结束，同学们都议论纷纷，一位学生神秘兮兮告诉我一个好消息：有一个7分填空题我上课时己讲了。当时我也很迫切想知道是怎样一道题？又是何时讲？由于学生心情很激动或许考试太紧张吧，该学生一时说不出具体试题，只回答我：反正您讲了。然后，我说：返校后好好回忆再用纸条写给老师。下午上课前，一群己参09数赛学生把题目写好了送给我：椭圆

xa22?yb22上任意两?1（a?b?0）

点P，Q，若OP?OQ，则乘积OP?OQ的最小值为 （2009年全国高中数学联合竞赛一试试题第5题）

2原问题寻找及问题解决：

看了试题后，说实话作为高中教师解答该题并不难，难的是学生硬说老师上课讲了，并且讲的时间还不长，可我自己记不起何时讲解过。我翻遍了自己的备课本也没有找到该试题，又快上课了，我只好要求找到该试题的同学第一时间告诉我。下午刚一放学，一位同学拿着课本选修4一4一路跑来说：“找到了”。原来我备课简单，对课本上这些题目没有具体写出来而这样略写：讲解“P15页习题1.3第6题”，这正是翻遍备课本也没有找到的原因。这样我第二天数学课进行“补牢”工作。

己知椭圆中心为O,长轴、短轴的长分别为2a , 2b（a>b>0）,A,B分别为椭圆

1上的两点，OA?OB，求证：（1）

OA2?1OB2为定值 （2）求?OAB面积的最

大值和最小值 （人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书选修4一4《坐标系与参数方程》第15页习题1.3第6题） 生1：证明：由题意椭圆方程为

xa22?yb22?1 ，因为OA?OB ，

设OA所在的直线斜率为k，则OB所在的直线斜率为?1k

22?2ab?y?kx?x?222??2ak?b2由?x得?所以OAy222?y2?abk?2?2?1b?a222?ak?b?2?ab(k?1)ak?b222222

YB同理可得OB?1OA22ab(k?1)a?bk22222A222，

222oX所以

?1OB2?ak?b?bk?aab(k?1)2222?a?bab2222?1a2?1b2 师：生1的结果是否正确？

生2：肯定正确。

师：敢肯定？！理由？

生2：特值法，当OA?a，OB?b时显然对了。

师：太聪明了！

生3：生1的结果是正确，但过程不完整，OA所在的直线斜率可能不存在，这种情况没有讨论。 生4：（很迫切）那OA所在的直线斜率为0也没有讨论。 师：同学们考虑问题要周到全面呀！那怎样说简洁明了？ 生1：（我自己知道了必须补上）当OA或OB所在的直线的斜率有一个为0时，

1OA2?1OB2?1a2?1b2（定值）

生5：（参加了数学竞赛并提出该问题的同学）老师：我正是用这个定值做的。 生5展示解法：由课本知

1OP21OP2?1OQ1?2?1a2?1b2 又根据基本不等式

1OQ?1OQ1b22?21OP?1OQ ∴

1b2a2?21OP?

∴

1a2??21OP2?1OQ22

222∴OP?OQ?2ab2a?b（当且仅OP?OQ?2ab2a?b时取等号）

师：不错，不错！对课本比老师还熟悉。 3问题的应用：

师：暑假我把全国各省市高考题全部做了，我在你们、特别是生5的提示下，请大家共同欣赏2009山东卷理22题

设椭圆E:

xa22?yb22?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标

原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意

????????一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB？若存在，写出该圆的方程，

并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 生6：解:（1）因为椭圆E:

xa22?yb22?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两

21?4?1??1?22???a2?8xy?a2b2?a28点,所以?解得?所以?2椭圆E的方程为??1

611184?b?4????1?222??b4?a?b（2）由课本知：

由S?OAB?h?21OA2?1OB122?a?bab2222?38，又设AB边上的高为h,

Y12OAOB?2ABh 可得

?83BOA2OB2?11OA2AB?1OB2

oAX显然以原点为圆心，h为半径的圆就符合题意。 所以, 存在圆心在原点的圆x2?y2?????????OA?OB.

83，

使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且由

1OA2?1OB2?38得OB?28OA3OA22?82 (4?OA?8)

2∴AB?OA?OB?OA?22228OA3OA2?8

∴AB2?t?8?8??t?86416?3?1???(t?)?3t3t313(t?64t3)?163 其中设t?3OA?8且t??4,16?

2∵函数f(x)?,t??4,16?在?4,8?上是减函数?8,16?上是增函数

∴f(x)min?f(8)?32,f(x)max?f(4)?f(16)?12

∴

436?|AB|?23

436,23]综上, |AB |的取值范围为: |AB|?[

师：:（1）生6真是现买现卖，牛！比高考答案还方法还要好。用上了这个

ax(a?0)定值，还构造了典型函数f(x)?x?，并利用其单调性来求范围。（2）

本题是2009山东卷压轴题，其题源背景就是课本上作业题，因Rt?OAB的高h

也为定值，课本上第二问求?OAB面积的最大值和最小值就与这道高考题第二问实质上是一样了。(3)本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法。

师：若过O作OM?AB于M，则M的轨迹是什么？ 生7：是以原点为圆心以h为半径的圆（原点除外）。 师：真严密！“原点除外”没有移漏。 4提出并探究新问题：

师：看来09全国数学竞赛考了，09高考也考了，同学们能否探究它的逆命题是否成立？

问题1 己知椭圆中心为O,长轴、短轴的长分别为2a , 2b（a>b>0）,A,B分别为椭圆上的两点，

1OA2?1OB2?a?bab2222，试研究OA?OB是否成立？

1OA2生8：证明：由题意椭圆方程为

xa22?yb22?1 ，因为

?1OB2?1a2?1b2

（1）当OA或OB所在的直线的斜率为有一个为0时，不妨设OA所在的直线的斜率为0，则OA?a 由（1）得OB?b 从而有OA?OB （2）设OA所在的直线斜率为k1?0，OB所在的直线斜率为k2?0

22?2ab?x?22?y?k1x2ak1?b??22由?x得?所以OAy222?y2?abk1?2?2?1b?a222?ak1?b?2?ab(k1?1)ak1?b222222

同理可得OB?1OA22ab(k2?1)ak2?b222222，所以

ak2?b222222?1OB2?ak1?b222222ab(k1?1)?ab(k2?1)?a?bab2222 化简得k1k2??1

师：大胆探究，小心化简。（边巡视边提示）

由此可见，OA?OB不一定成立。当OA或OB所在的直线的斜率为有一个为0时，或当OA,OB所在的直线的斜率异号时，OA?OB成立。

师：我们今天仅对椭圆行进了研究，我们把这一问题想开去。这个问题在双曲线中、抛物线中又怎样？课后分组讨论、交流。以下的问题有老师提出的，有同学提出的步，最后搜集整理如下：

问题2：己知双曲线中心为O,实轴、虚轴的长分别为2a , 2b（b>a>0） , A , B分别为双曲线上的两点，OA?OB，求证：

1OA2?1OB2为定值

小组1：证明：（1）因为b>a>0，OA?OB，所以OA、OB所在的直线的斜率一定存在且不为0 （2）只需把探究1中的结论b2换成?b2就可得

1OA2?1OB2?b?aab2222（定值）

问题3： 己知双曲线中心为O,实轴、虚轴的长分别为2a , 2b（b>a>0） , A , B分别为双曲线上的两点，12?1OB2?b?aab2222OA， OA?OB是否成立？ 试研究：

小组1： 证明：仿照椭圆知：OA?OB不一定成立，也即命题2的逆命题不成立。当且仅当OA,OB所在的直线的斜率异号时，OA?OB才成立。 小组1例举：已知双曲线C:33xa22?yb22?1(a?0,b?0)的离心率为3，Y右准线方程为x? （Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直ABoX线l是圆O:x2?y2?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A,B，证明?AOB的大小为定值..wu.c.o（2009北京高考卷理19）

?a23???3小组1解:（Ⅰ）由题意，得?c，解得a?1,c??c?3??a3，

∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x?2222y22?1.

（Ⅱ）由直线l是圆O:x2?y2?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，

l与双曲线C交于不同的两点A,B可知：?OAB的边AB上的高为定值h?2, OA,OB所在的直线的斜率异号

又由命题2知：

1OA2?1OB2?b?aab2222?12?1h2，

∴ ?AOB的大小为90?..wu.c.o.m

OA?OB，问题4 己知抛物线E：y2?2px（p >0）, A , B分别为抛物线上的两点，

求证：直线AB恒过定点

小组2证明：由题意可设OA所在的直线的斜率k?0， 则OB所在的直线斜率为?由??y?kx?y?2px2Y1k

Aok1?k2得A(2p2p,) 2kkCBX同理可得B(2pk2,?2pk)，所以直线AB的斜率为kAB?∴直线AB的方程为y?2pk?k1?k2 (x?2pk)

2又在上述方程令y?0,得x?2p ∴直线AB恒过定点C(2p,0)

问题5：己知抛物线E：y2?2px（p >0）, 过点C(2p,0)作直线AB

Y交抛物线于A , B两点，求证：OA?OB

小组2证明：证明：由题意可设OA所在的直线的斜率k1?0，OB所在的直线斜率为k2?0

?y?k1x2p2p由?2得A(2,)

k1k1?y?2pxAoCBX

2p2p同理可得B(2,)，

k2k2（1）若k1?k2?0即AB?x轴时，A(2p,2p),B(2p,?2p)， 显然OA?OB成立

（2）k1?k2?0时，则直线AB的斜率为kAB?k1k2k1?k2k1k2k1?k2Y

AoMCBX∴直线AB的方程为y?2pk1?∵直线AB过C(2p,0)

(x?2pk1),

2∴将x?2p，y?0代入上述方程得k1k2??1 ∴OA?OB

综合上述：OA?OB

小组2例举：己知抛物线y2?2px（p>0）, A , B分别为抛物线上的两点， O作OM?AB于M，求：M点的轨迹方程

（2004上海春高考卷理22）

小组2解：由命题3可知：直线AB恒过定点C(2p,0) ∵OM?AB于M

∴M点的轨迹是以线段OC为直径的圆且原点O除外

∴所求M点的轨迹方程为：(x?p)2?y2?p2(x?0)

5教后启示

（1）本节课在参加09数赛同学的提示下，通过对2009年全国高中数学联合竞赛真题引发探究性学习，对圆锥曲线中OA?OB的简单研究，并结合2009年全国及各省市高考及举例说明这类问题的一些常规应用来复习了圆锥曲线，起到了意想不到的效果（2）在研究性学习中，师生之间是轻松和谐氛围中进行。教师要不断吸取新的知识，投入新课程教学研究中，才能适应时代的发展。教师要乐意，虚心地接受学生的见解、观点。实现“沟通、理解、创新”，培养学生的学习兴趣与创新精神。荷兰著名的教育专家Ｈ·费赖登塔尔指出：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的”。因此作为数学教育工作者应加强对案例教学法的研究、应用，使案例教学法在中学教学课堂上展现无穷魅力。（3）圆锥曲线往往是高考压轴题，看来其题源来于课本，变于课本，高于课本。这让我们一线的数学教师反思：怎么教？学生怎么学?基础怎么去落实？解决问题的通性通法是什么？在教学中多问“为什么？还有么？”等等。学思结合，举一反三，基础知识的掌握和落实尤为重要，课本中的定义、定理、例题、习题要吃透、消化，高三复习要回归课本。我认为这正是高考命题专家的用心良苦，也说明专家们驾驭课本的能力，知识的渊博。通过对圆锥曲线中OA?OB的简单探究，反映了几种圆锥曲线之间的内在关系，又一次体现了数学美。 参考文献

1 2009年高考数学试卷山东卷 2 2009年高考数学试卷北京卷

3 2004年上海市春季高考数学试卷

4 人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书选修4一4《坐标系与参数方程》

5 2009年全国高中数学联合竞赛试题

OA?OB，过

基于预设与生成理性思考的数学教学

----归纳推理教学案例分析

温州市龙湾中学 孔白芬

（注：本案例获2010年温州市高中数学优秀案例评比三等奖）

内容摘要： 高中数学教学中预设与生成的合理处理能提高课堂效率、实施有效教学。本案例就是针对归纳推理教学，对数学本质的挖掘，对教学进行大胆尝试预设与生成处理的一个很好构思、实践及反思。

关键词： 预设与生成 高中数学课堂 数学本质 数学深层思维

随着新课程改革的不断深入，预设和生成的理念也越来越多地融入我们的课堂教学。华东师范大学叶澜教授指出：“要从生命的高度、动态生成的观点看课堂教学”；崔允滸教授则认为：“预期的学习结果表明是教学设计时关注的重点，是课堂教学过程的决定因素，也是教学效益中可评价的那一部分。” 目前理论界对教学中预设和生成的处理依然有争议，在数学课堂教学实践中某些看起来开放和活跃的课堂教学，大多有盲目生成之嫌，如未能围绕课程的教学目标进行，或未能注意生成时间的制约性等，从而出现不负责任的课堂或缺乏生成的不精彩的课堂。因而如何设计教学预设促使数学课堂恰当精彩生成、在课堂中处理好生成，充分发挥师生的能动性和创造性，成为提高课堂效率、实施有效教学的重要问题。本案例就是对数学教学的预设和生成的一个粗浅探讨。

案例背景：我校高二数学备课组围绕本学期校本活动《教研主题：数学课堂教学预设和生成的研究》展示了一节《归纳推理》探究课，探索校本教研活动的有效方式。这节课上的成功之处主要在于有了比较多的不同声音，得到所期待的讨论。

在准备前期，备课组内部也有过争论。焦点为：因为本课内容曾是2007年温州市级优质课评比活动和浙江省级优质课评比活动的课题，是否以其中优秀的教学设计或其教学设计中的优秀片段进行截取整合。

传统过程：通过一或二个引例，就提出本课的主题：归纳推理，然后在通过几个例题加以深化与落实。归纳推理是学生在小学几何中就开始接触的解决问题的思考方法，G波利亚的《数学的发现》第二卷《它的内容，方法和意义》中讲

解了这种思考方法、思维路线等；合情推理这个概念最早是G波利亚在《怎样解题》中得到总结，随后又在他的《合情推理》上下册中广泛而深刻地阐述。因此，可以说G波利亚的理论已深刻展示了数学的本质。而2007年的优质课的共同特点是没有很好地抓住这一数学本质，未能充分体现学生自己的归纳推理体验。

为充分体现学生自己的归纳推理体验，立足于“数学教学是数学本质的教学”理念，对教学课堂的预设与生成尤为重要。我们作了如下尝试：在教学中安排几个典型生活与游戏的问题来探究，最后得出概念。这长长的前奏，让学生经历从隐性被动到显性主动，从而达到自主探索、实践创新的效果。其中明线是：感觉到最后才给出了归纳推理的概念及由此方法得到的重大发现，实际上的暗线是：在解决数学问题中，不断地渗透过程与方法（实验、观察、概括、推广、猜测）、情感态度价值观（大胆猜想，小心求证）。

探索问题的预设：

选择典型生活与游戏的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想，分析其发现动机和合情推理，让学生得到充分的归纳推理体验。

爬楼梯问题：现有10级楼梯，每次只能走一级或二级，问有多少种走法? 谢宾斯基三角形问题：上世纪初，波兰的数学家谢宾斯基想要找到一个图形，当它的面积无限减小时，它的周长则无限增大（用几何画板进行迭代演示）。将上述迭代过程逐一展示，问谢宾斯基三角形的第n个图形中，灰色三角形的个数为多少？灰色、黑色三角形的总个数又为多少呢?

(1)(2)(3)(4)?? 汉诺塔问题:

规则：把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用。（1）每次只能移动1个圆环；

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