公司的投资问题数学建模 - 图文

公司的投资问题模型

摘要

本问题是在资金总额固定的情况下对一批项目进行投资，以获得最大经济效益，是一类投资组合的决策问题，属于优化问题。

对问题一：我们采用线性规划的方法求解。设X项目第i年初的投资额为Xi，每年末收回所有可收回的本利，第二年初再对所有能够投资的项目进行考察，约束条件为资金总额和各项目的投资限制。目标是五年末的总利润最大。以此建立线性规划的数学模型用LINGO软件求解。第五年末利润最大的投资安排如下： 万元 项目1 项目2 项目3 项目4 项目5 项目6 项目7 项目8 第一年 60000 30000 40000 30000 29750 0 0 0 第二年 49300 0 0 0 250 20000 40000 0 第三年 12330 30000 40000 30000 0 0 0 30000 第四年 60000 30000 0 0 0 0 0 0 第五年 60000 30000 0 0 0 0 0 0 最大利润为150000万元。对此我们做了灵敏度分析。 对问题二：我们用EXCLE对8个项目近20年的单独和同时两种情况投资额与到期利润数据进行处理，得到8个项目在不同情况下利润率的时间序列。用DPS软件对每个项目不同情况的利润率时间序列进行时间序列分析，对单独投资的情况建立MA(1)模型进行预测,结果见附录。对同时投资的情况建立ARMA(3,1)模型预测，结果见模型求解。并对两种情况的预测进行了预测优度分析。

对问题三：我们用线性规划的模型求解。对问题中出现的是否有捐赠，是否为同时投资的情况建立4个（0,1）规划模型考虑所有的可能情形。设第i年初对项目X的投资为Xi，年末收回所有可收回的本利，年初对所有可投资的项目考察，以投资额和投资上限为限制建立约束条件，目标为五年末的总利润最大。建立线性规划模型用LINGO编程求解。最优投资安排如下： 万元 项目1 项目2 项目3 项目4 项目5 项目6 项目7 项目8 第一年 60000 30000 40000 30000 29750 0 0 0 第二年 49300 0 0 0 250 20000 40000 0 第三年 12330 30000 40000 30000 0 0 0 30000 第四年 60000 30000 0 0 0 0 0 0 第五年 60000 30000 0 0 0 0 0 0 对问题四：在考虑风险的情况下建立同问题三的线性规划模型，此时有最小风险和最大利润两个优化目标，由于两个目标相矛盾，于是转化为单目标优化模型，在不同的风险下求最大利润，及对应的5年投资方案，绘制出风险与最大利润的曲线图，以供不同风险偏好的投资者决策。结果见模型求解。

对问题五：我们将投资额在10亿和30亿之间进行变动，计算在不同投资总额情况下的最大利润及对应的风险大小。发现将资金存银行风险小利润也很小，而从银行贷款利润增幅很大但风险并没有明显增加，我们鼓励公司从银行贷款，并计算出最佳贷款额，在此最佳贷款额下我们又计算出不同风险下的最大利润及5年投资方案，绘制出风险与最大利润曲线图以供不同风险偏好者选择。

关键词：线性规划、时间序列、预测优度、01规划、多目标优化、风险偏好。

1问题重述

1.1问题的背景

某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、?）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。 1.2本文需要解决的问题

一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。

表1. 投资项目预计到期利润率及投资上限

项目 预计到期利润率 上限（万元） 1 0.1 2 0.11 3 0.25 4 0.27 5 0.45 6 0.5 7 0.8 8 0.55 60000 30000 40000 30000 30000 20000 40000 30000 注：到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。

试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？ 二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。

8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)

试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。

三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。

对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。

项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。 各投资项目的投资上限见表4。

在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？

四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。

如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？ 五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?

表二、表三数据见附录。

2模型的假设

一、某项目投资上限是对该项目的累积投资上限(收回资金不在累积范围内)。 二、到期利润率的时间序列发展具有时间上的“惯性”。即可采用时间序列预测。 三、题中风险损失率指投资到期后，如果风险发生，损失额占投资额的百分比。 四、当投资若干项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。 五、项目五投资额固定为500万理解为项目五投资额只能为500万整数倍。 六、从银行贷款的风险相对投资风险来说可以忽略。 七、问题五中的情况以问题一中的数据为基础。

3问题一的分析、建模、求解及评价

3.1针对问题一的分析：

问题一给出了各项目的利润率和投资上限如下表： 表1. 投资项目预计到期利润率及投资上限 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 预计到期利润率 0.1 0.11 0.25 0.27 0.45 0.5 0.8 0.55 上限（万元） 60000 30000 40000 30000 30000 20000 40000 30000 注：到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。 各项目的投资情况如下表：

项目一：年初投资，年末回收本利。 项目二：年初投资，年末回收本利。

项目三：年初投资，第二年末才可回收本利。 项目四：年初投资，第二年末才可回收本利。 项目五：年初投资，第三年末才可回收本利。 项目六：年初投资，第三年末才可回收本利。 项目七：第二年年初投资，第五年末回收本利。 项目八：第三年年初投资，第五年末回收本利。 根据以上信息可知每年初可投资的项目如下表： 年份 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 可投1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6,7 1,2,3,4,5,6,8， 1,2,3,4， 1,2 资项目 根据以上信息可知每年末可收回本利的项目如下表： 年份 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 可收1,2 1,2,3,4 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6， 1,2,3,4,5,6,7,8， 回本利的投资项目 设第i年初项目X的投资额为Xi,由投资额上限的约束和总资金的约束及每年初投资总额不大于前一年末的收益加剩余资金，以此列出约束条件，目标是使第五年末的总利润最大。建立线性规划模型，用LINGO可求解出最优投资方案。

3.2问题一模型的符号说明：

M：资金总额

Xi:项目X第i年初的投资额,i=1,2,3,4,5 Rx:项目X的到期利率

Si：第i年末收回所有可收回的本利,i=1,2,3,4,5 Nx:项目X的投资额上限 Q：第五年末的所有利润

?X：项目X的累积投资额

3.3问题一模型的建立及求解：

目标函数：

MAX（Q）=S5-M

约束条件：

?X?X1?M

?S1?M??X1

2?X3?S2?S1?M??X1??X2

?S3?S2?S1?M??X1??X2??X3

?X4?XX?5?S4?S3?S2?S1?M??X1??X2??X3??X4

Si??Xi??1?Rx?, i=1,2,3,4,5

?NX

针对以上线性规划模型，用LINGO软件编程求解（程序见附录）得到第五年末利润最大的5年投资方案如下： 万元 项目1 项目2 项目3 项目4 项目5 项目6 项目7 项目8 第一年 60000 30000 40000 30000 29750 0 0 0 第二年 49300 0 0 0 250 20000 40000 0 第三年 12330 30000 40000 30000 0 0 0 30000 第四年 60000 30000 0 0 0 0 0 0 第五年 60000 30000 0 0 0 0 0 0 最大利润为150000万元。 3.4灵敏度分析：

根据程序运行的结果我们可以知道各指标的灵敏度情况，当各

项目投资额上限改变，及各投资项目到期利润率改变，对最佳投资方案的影响。让该模型更加贴近实际情况。灵敏度分析见下表：

Variable Value Reduced Cost

A1 60000.00 0.000000 B1 30000.00 0.000000 C1 40000.00 0.000000 D1 30000.00 0.000000 E1 29749.66 0.000000 F1 0.000000 0.000000 A2 49300.00 0.000000 B2 0.000000 0.000000 C2 0.000000 0.1250000 D2 0.000000 0.1270000 E2 250.3448 0.000000 F2 20000.00 0.000000 G2 40000.00 0.000000 A3 12330.00 0.000000 B3 30000.00 0.000000 C3 40000.00 0.000000 D3 30000.00 0.000000 E3 0.000000 1.340000 F3 0.000000 1.390000 H3 30000.00 0.000000 A4 60000.00 0.000000 B4 30000.00 0.000000 C4 0.000000 1.150000 D4 0.000000 1.170000 A5 60000.00 0.000000 B5 30000.00 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 345563.0 1.000000 2 10250.34 0.000000

3 0.000000 0.1100000 4 0.000000 0.1000000 5 0.000000 0.000000 6 127763.0 0.000000 7 0.000000 0.1210000 8 10700.00 0.000000 9 47670.00 0.000000 10 0.000000 0.1000000 11 0.000000 0.1000000 12 0.000000 0.1331000 13 30000.00 0.000000 14 0.000000 0.1000000E-01 15 0.000000 0.1100000 16 0.000000 0.1100000 17 0.000000 0.1650000 18 0.000000 0.000000 19 0.000000 0.1500000 20 0.000000 0.1870000 21 0.000000 0.000000 22 0.000000 0.1700000 23 0.000000 0.2400000 24 0.000000 0.2900000 25 0.000000 0.5900000 26 0.000000 0.4500000

3.5问题一模型的评价：

问题一采用线性规划模型考虑在所有约束条件下的最优

解，可以得到准确的最佳投资方案，并且程序还可以运行出灵敏度情况，使该模型的适用性大大增强。

4问题二的分析、建模、求解及评价

4.1针对问题二的分析：

公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。

8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。

用EXCEL软件对表二、表三进行处理，得到单独投资时8个项目近20年的到期利润率时间序列，见附表一。同时投资时近20年的到期利润率时间序列，见附表二。

附表一

1986 项目1 0.160 0.152 0.148 0.155 0.173 0.130 0.214 0.086 0.151 0.135 0.147 0.184 0.104 0.144 0.182 0.147 0.104 0.191 项目2 0.022 0.111 0.096 0.069 0.122 0.120 0.175 0.162 0.181 0.193 0.152 0.190 0.186 0.211 0.246 0.197 0.181 0.180 项目3 0.311 0.381 0.132 0.537 0.427 0.242 0.458 0.373 0.203 0.549 0.233 0.251 0.256 0.519 0.516 0.268 0.264 0.318 项目4 0.158 0.164 0.239 0.204 0.214 0.180 0.321 0.239 0.174 0.336 0.294 0.332 0.308 0.260 0.321 0.341 0.370 0.416 项目5 -1.828 -0.604 2.003 3.585 0.742 1.610 1.647 1.389 1.393 1.378 0.699 0.737 -0.161 1.040 1.216 0.648 0.929 项目6 1.853 -1.341 0.669 1.371 -1.438 0.200 0.947 -0.361 0.306 1.368 0.752 1.387 1.493 1.300 1.310 1.046 1.108 项目7 3.238 7.286 2.613 -3.219 2.864 -9.544 5.617 -5.781 13.517 -3.158 18.449 -4.277 -4.845 2.830 -9.608 17.547 项目8 1.800 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 0.167 0.024 0.436 0.194 0.674 -0.212 2.100 1.946 2.301 -1.776 -0.512 0.431 4.225 4.065 1.501 3.028 1.011 2.494 -1.198 -1.372 5.186 2.674 -2.139 3.902 2005

0.131 0.155 附表二 同时投资项目3、4 0.238 0.432 0.491 0.324 0.467 0.449 0.429 0.412 同时投资项目5、6 0.331 0.402 0.074 0.085 0.874 0.537 3.159 0.605 同时投资项目5、6、8 1.534 -0.516 0.802 0.744 0.843 2.768 0.413 0.210 -0.630 2.747 -0.746 2.644 0.294 0.458 0.675 0.472 0.326 0.540 0.639 0.310 0.732 0.562 0.264 0.470 0.486 0.438 0.482 0.459 0.393 0.323 0.448 0.394 0.436 0.391 0.097 1.489 0.055 0.925 -0.193 1.245 0.182 -0.017 0.972 1.949 1.006 -1.063 1.469 0.165 -0.655 0.380 0.011 0.202 2.128 0.362 -0.654 1.694 -0.137 2.980 0.817 0.567 1.440 0.706 -0.511 -0.578 1.016 -0.248 0.881 -0.766 0.891 -0.027 -0.053 3.009 0.424 1.515 0.783 0.872 2.065 0.387 -0.302 1.150 2.394 4.050 2.321 1.654 2.585 1.706 2.603 -0.544 2.390 0.521 0.617 0.465 0.471 0.382 0.453 0.442 0.474 1.314 0.285 1.278 -1.084 3.311 1.549 1.737 0.615 2.184 -0.748 0.169 0.917 -1.006 0.826 0.711 对于单独投资的数据分析：将附表一的数据输入DPS软件进行分析，并进行标准化处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。再计算该序列的自相关函数和偏相关函数，发现该时间序列具有自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型即MA(1)模型。接着，用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的风险损失率。

对于同时投资的数据分析：将附表二的数据输入DPS软件进行分析并标准化处理，得到一个新的时间序列，用ARMA（3,1）模型进行预测。将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的风险损失率。

从输出结果中我们可以看到预测优度的情况。

4.2问题二模型的建立及求解：

一次滑动平均模型：

首先选择用以平均的历史资料的时段数n,然后根据历史资料计算时间T的滑动平均值MT。

MT?XT?n?1???XT?1?XT

n?未来第?个时段的预测值XT????MT

对于n的选择，可用均方拟合误差最小为原则判断。

差分自回归——移动平均模型 差分：d阶差分公式 ?d?(1?B)d

若以d表示差分阶次，p表示自回归阶次，q表示移动平均阶次，则（p,d,q）阶自回归移动平均模型为：

?p?B??dyt??q?B??t

对数据进行检验和预处理，让其达到零均化、平稳化、正态化。在DPS软件操作平台上，对数据进行分析预测。预测结果见下表：

第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 3,4 项目1 15.6 % 15.6 % 16.2 % 14.8 % 16.0 % 单独投资8个项目到期利润率预测结果 项目2 项目3 项目4 项目5 17.6 % 36.9% 34.3 % 98.3% 17.5 % 35.1 % 30.7 % 96.9 % 17.4 % 36.8 % 29.8 % 102.1 % 19.0 % 36.5 % 29.6 % 96.1 % 18.7% 36.5 % 30.6% 93.9 % 项目6

99.3 % 93.6 % 87.8 % 82.0 % 76.2 % 项目7 -989.9% 1310.1 % -691.9% 988.1 % -781.1% 项目8 417.5% -140.5% 225.2 % 318.6 % 124.3 % 同时投资时的预测结果 风险损失率 单独 同时 预测优度（运行结果中）

5问题三的分析、建模、求解及评价

5.1针对问题三的分析：

未来5年的投资计划中，还包含一些其他情：

1.对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。

2.项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。 3.各投资项目的投资上限见表4。

表4. 各投资项目的投资上限 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 上限（万60000 60000 35000 30000 30000 40000 30000 30000 元）

在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？

问题三仍然是在不考虑风险的情况下求五年末的最大利润投资方案。仍然是一个线性规划问题，思路同问题一（在此不再赘述）。只需改变约束条件。对于是否有捐赠，是否为同时投资的不确定情况，我们采用4个0,1规划模型来考虑所有可能的情况

5.2问题三模型的符号说明：

M：资金总额

Ai:项目1第i年初的投资额,i=1,2,3,4,5 Bi:项目2第i年的投资额 Ci:项目3第i年的投资额 Di:项目4第i年的投资额 Ei:项目5第i年的投资额 Fi:项目6第i年的投资额 Gi:项目7第i年的投资额 Hi:项目8第i年的投资额

Si：第i年末收回所有可收回的本利,i=1,2,3,4,5

X?：项目X的累积投资额（收回资金不在累积范围内）

Xi:项目X在第i年的投资额

e: 项目1获得的捐赠率

i

：单独投资时项目X第i年的利润率 RX

i：同时投资时项目X第i年的利润率 rXNX：项目X的投资上限

a:项目5的固定投资额

k:项目5的重复投资次数，为非负整数

3

:第三年项目5,6,8同时投资的利润率 rXX

Q：第五年末的所有利润

5.3问题三模型的建立及求解：

?1?Ai?20000?U1=? i=1,2,3,4,5

??0A?20000?iU2=?U3=U4=??1?CiDi?0? i=1,2,3,4,5

?0?CiDi?0??1?EiFi?0? i=1,2,3,4,5 ???0EF?0?ii?1?E3F3H3?0? (项目8只能在第三年投资)

?0?E3F3H3?0?目标函数：

MAX(Q)=S5-M 约束条件：

?X?X1?M+eA1u1

?S1?M??X1+ eA2u1

2?X3?S2?S1?M??X1??X2+ eA3u1

?S3?S2?S1?M??X1??X2??X3+ eA4u1

?X4?X5?S4?S3?S2?S1?M??X1??X2??X3??X4 +eA5u1

11S1?(1?R1)A1?(1?R2)B1

211S2?(1?R12)A2?(1?R2)B2?(1?R3)C1(1?U2)?(1?R4)D1(1?U2)?(1?r31)C1U2?(1?r41)D1U2322S3?(1?R13)A3?(1?R2)B3?(1?R3)C2(1?U2)?(1?R4)D2(1?U2)?(1?r32)C2U2?(1?r42)D2U211?(1?R5)E1(1?U3)?(1?R6)F1(1?U3)?(1?r51)E1U3?(1?r61)F1U3

433S4?(1?R14)A4?(1?R2)B4?(1?R3)C3(1?U2)?(1?R4)D3(1?U2)?(1?r33)C3U2?(1?r43)D3U222?(1?R5)E2(1?U3)?(1?R6)F2(1?U3)?(1?r52)E2U3?(1?r62)F2U3

544S5?(1?R15)A5?(1?R2)B5?(1?R3)C4(1?U2)?(1?R4)D4(1?U2)?(1?r34)C4U2?(1?r44)D4U233?(1?R5)E3(1?U3)(1?U4)?(1?R6)F3(1?U3)(1?U4)?(1?r53)E3U3(1?U4)?(1?r63)F3U3(1?U4)33332?(1?r55)E3U4?(1?r66)F3U4?(1?r88)H3U4?(1?R8)H3(1?U4)?(1?R7)G2

Ei?ka （k

为非负整数）

X??NX

针对以上线性规划模型用LINGO软件编程求解（程序见附录），得到第五年末利润最大的投资方案如下表 万元 项目1 项目2 项目3 项目4 项目5 项目6 项目7 项目8 第一年 60000 30000 40000 30000 29750 0 0 0 第二年 49300 0 0 0 250 20000 40000 0 第三年 12330 30000 40000 30000 0 0 0 30000 第四年 60000 30000 0 0 0 0 0 0 第五年 60000 30000 0 0 0 0 0 0 最大利润为150000万元。

5.4问题三模型的评价：

本模型采用4个01规划将所用可能的利润情况及捐赠与否

都可包含在内，然后用线性规划模型求最优解，即是问题的准确最优解，该模型简便，避免了复杂的讨论，从程序的运行结果中还可以看出各种因素变化对最优方案的影响（程序结果见附录）。

6问题四的分析、建模、求解及评价

6.1针对问题四的分析：

问题四只是在问题三的基础上考虑风险，即从一个优化目标变为两个优化目标，是一个多目标优化模型。由于最大利润与最小风险两个目标是相矛盾的，我们在控制一定风险下求最大利润，取不同的风险值，得到不同风险下的最大利润，并绘制出风险与最大利润曲线图。以供不同风险偏好的人决策。这样就将多目标优化转化为单目标优化模型。单目标模型的求解思路同问题三（这里不再赘述）。只是约束条件增加了风险约束。 6.2问题四模型的符号说明：

M：资金总额

Ai:项目1第i年初的投资额,i=1,2,3,4,5 Bi:项目2第i年的投资额 Ci:项目3第i年的投资额 Di:项目4第i年的投资额 Ei:项目5第i年的投资额 Fi:项目6第i年的投资额 Gi:项目7第i年的投资额 Hi:项目8第i年的投资额

Si：第i年末收回所有可收回的本利,i=1,2,3,4,5

X?：项目X的累积投资额（收回资金不在累积范围内）

Xi:项目X在第i年的投资额 e: 项目1获得的捐赠率

i

：单独投资时项目X第i年的利润率 RX

i：同时投资时项目X第i年的利润率 rXNX：项目X的投资上限

a:项目5的固定投资额

k:项目5的重复投资次数，为非负整数

3

:第三年项目5,6,8同时投资的利润率 rXX

Q：第五年末的所有利润

fX:项目X的投资风险损失率 f:投资方案的风险大小 6.3问题三模型的建立：

?1?Ai?20000?U1=? i=1,2,3,4,5

??0A?20000?iU2=?U3=

?1?CiDi?0? i=1,2,3,4,5

?0?CiDi?0??1?EiFi?0? i=1,2,3,4,5 ???0EF?0?ii?1?E3F3H3?0?U4=? (项目8只能在第三年投资)

??0EFH?0?333目标函数：

1. MIN（f）=max(fXXi) 2. MAX(Q)=S5-M 约束条件：

?X?X1?M+eA1u1

?S1?M??X1+ eA2u1

2?X3?S2?S1?M??X1??X2+ eA3u1

?S3?S2?S1?M??X1??X2??X3+ eA4u1

?X4?X5?S4?S3?S2?S1?M??X1??X2??X3??X4 +eA5u1

11S1?(1?R1)A1?(1?R2)B1

211S2?(1?R12)A2?(1?R2)B2?(1?R3)C1(1?U2)?(1?R4)D1(1?U2)?(1?r31)C1U2?(1?r41)D1U2322S3?(1?R13)A3?(1?R2)B3?(1?R3)C2(1?U2)?(1?R4)D2(1?U2)?(1?r32)C2U2?(1?r42)D2U211?(1?R5)E1(1?U3)?(1?R6)F1(1?U3)?(1?r51)E1U3?(1?r61)F1U3

433S4?(1?R14)A4?(1?R2)B4?(1?R3)C3(1?U2)?(1?R4)D3(1?U2)?(1?r33)C3U2?(1?r43)D3U222?(1?R5)E2(1?U3)?(1?R6)F2(1?U3)?(1?r52)E2U3?(1?r62)F2U3

544S5?(1?R15)A5?(1?R2)B5?(1?R3)C4(1?U2)?(1?R4)D4(1?U2)?(1?r34)C4U2?(1?r44)D4U233?(1?R5)E3(1?U3)(1?U4)?(1?R6)F3(1?U3)(1?U4)?(1?r53)E3U3(1?U4)?(1?r63)F3U3(1?U4)33332?(1?r55)E3U4?(1?r66)F3U4?(1?r88)H3U4?(1?R8)H3(1?U4)?(1?R7)G2

Ei?ka （k

为非负整数）

X??NX

6.4对该模型的求解：

此模型为多目标优化模型，且目标之间相互矛盾，我们将目标一转化为约束条件，求得在不同风险下的最大利润。假设限制的风险为h,则该目标转化的约束条件为：

fXXi?h

用LINGO软件对该模型进行求解，并让h取一系列值，得到最大利润及相应的投资方案。

7问题五的分析、建模、求解及评价

7.1针对问题五的分析：

问题五是在有银行贷款的情况下选择最优的投资方案。我们将投资额在15亿和25亿之间进行变动（对应有存款和贷款的情况），计算在不同投资总额情况下的最大利润及对应的风险大小。发现将资金存银行风险小利润也很小，而从银行贷款利润增幅很大但风险并没有明显增加，我们鼓励公司从银行贷款，并计算出最佳贷款额，在此最佳贷款额下我们又计算出不同风险下的最大利润及5年投资方案，绘制出风险与最大利润曲线图以供不同风险偏好者选择。 7.2问题五模型的符号说明：

M：资金总额

Xi:项目X第i年初的投资额,i=1,2,3,4,5 Rx:项目X的到期利率

Si：第i年末收回所有可收回的本利,i=1,2,3,4,5 Nx:项目X的投资额上限 Q：第五年末的所有利润

?X：项目X的累积投资额

f：投资方案的风险大小

fX:项目X的投资风险损失率 7.3问题五模型的建立：

目标函数： MAX（Q）=S5-M 约束条件：

?X?X1?M

?S1?M??X1

2?X3?S2?S1?M??X1??X2

?S3?S2?S1?M??X1??X2??X3

?X4?X5?S4?S3?S2?S1?M??X1??X2??X3??X4

Si??Xi??1?Rx?, i=1,2,3,4,5

X??NX

M的取值在15到25之间变动 f=max(fXXi)

当M增大而利润并没有增加时，则不增加贷款。

7.4问题五模型的求解：

用LINGO软件编程求解得到结果如下：

进行风险与最大利润分析：

8参考资料

杨桂元等 数学建模 中国科学技术大学出版社 2008 赫孝良等 数学建模竞赛 西安交通大学出版社 2002

叶其孝 大学生数学建模竞赛辅导教材 湖南教育出版社 1997 LINGO教程 三峡大学数学建模协会

9附录

表2. 各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元） 项目 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 投资额 1 2 126 3 4 5 6 3015 5463 4558 7392 4946 6068 6276 6577 1318 4472 4237 6345 4783 1464 4181 5721 4222 3173 7745 7216 5501 7151 6043 7916 6131 6411 5576 6178 7 6977 22591 3041 5055 6442 16834 6095 7763 6276 6863 38552 6866 5202 70314 6830 5370 99069 6391 5135 3174 8981 4862 3661 64239 8 4993 8987 4830 9398 4501 10355 4092 -7266 5270 6335 2733 5848 3570 14511 3044 6355 19245 5018 5960 14864 3861 4218 4210 21833 7988 5393 -11538 3029 11819 3003 5741 4307 5755 4352 1338 910 7232 6886 5070 7929 7480 2210 1539 5044 3345 5659 6665 7513 5978 629 602 365 621 935 5308 6272 6333 6749 4034 836 1616 8081 4597 5294 5148 5384 6220 4378 5095 5973 7294 6916 2549 1559 5130 1078 1006 9358 1955 1740 9207 2041 1548 7044 1392 1168 7488 3077 1881 7209 1138 1131 5196 1372 1221 5849 6486 7821 4449 5586 5812 6974 3393 4268 5414 5589 4116 4618 5474 6473 5073 749 7403 5033 6859 6707 5377 4237 4996 5603 5597 5231 964 868 3051 5707 4877 3844 7434 7574 5052 5460 3681 7936 3510 5870 5697 5701 3898 1089 1456 1757 -629 1558 2864 1461 7769 1175 3230 2223 8020 1527 1155 1494 4616 862 1022 2046 5395 6879 7396 5516 5623 7471 3511 4780 6255 6925 6598 3660 7741 4315 4379 7120 4486 4756 3871 5529 5807 7280 7312 6471 7760 到期利润 479 -7955 5586 到期利润 1211 164 到期利润 507 到期利润 787 到期利润 711 到期利润 756 到期利润 846 -1158 6386 2540 1233 -3608 -6112 36832 2765 1099 22300 8319 -19618 -2697 -9028 22230 -59901 24709 到期利润 1489 593 到期利润 353 -2291 -39691 4570 到期利润 1117 911 到期利润 571 到期利润 449 -21568 5075 到期利润 1396 958 到期利润 364 到期利润 994 到期利润 638 到期利润 538 到期利润 466 10740 -27334 -4626 10770 -24878 -5786 -46712 21357 到期利润 1389 1319 2060 3227 2005 投资额 3082 5083 787 到期利润 403

表3. 一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润（万元）

项目 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 到期利润 投资额 同时投资项目3、4 同时投资项目5、6 同时投资项目5、6、8 3 4307 1026 5070 2188 6665 3272 6333 2050 5148 1513 5973 2733 4449 3005 4268 2015 5474 1782 6859 3701 5603 3581 4877 1510 5460 3996 5697 3204 5516 1454 6255 3258 4315 2661 3871 4 5755 2686 7929 3558 7513 3222 6749 2778 5384 2533 7294 3542 5586 2448 5414 2609 6473 2969 6707 2636 5597 1809 3844 1724 3681 1450 5701 2488 5623 2199 6925 2646 4379 1984 5529 5 4352 1442 7480 3009 5978 443 4034 344 6220 601 6916 10300 5812 318 5589 5168 5073 -981 5377 6695 5231 952 7434 -124 7936 7717 3898 7598 7471 7518 6598 8671 7120 2029 5807 6 3015 2634 5463 2935 4558 14400 7392 4473 6068 -6448 6276 9217 6577 1087 4472 -2930 6345 2413 4783 52 4181 844 4222 8984 7745 2803 7216 -4722 5501 9321 6043 -6551 6131 20300 5576 5 4352 6678 7480 5978 4794 4034 3002 6220 6916 5812 4750 5589 3170 5073 5377 3795 5231 7434 7936 8062 3898 7471 6580 6598 7120 4379 5807 6 3015 5463 4558 7392 6068 6276 6577 4472 6345 4783 4181 4222 7745 7216 5501 6043 6131 1035 5576 8 4993 4830 4501 4092 5270 6335 7283 5848 3570 3044 6355 5018 5960 3861 4218 4210 7988 5393 4456 3029 2542 -3145 -3861 15120 13270 1884 -3356 1549 10820 -852 -4651 -1593 20610 5595 -179 14000 -235 14460 7304 19090 7065 2029 10510 -2671 6334 12970 -4299 3307 10170 6753 10050 -968 14900 -2294 2131 10060 11460 -4521 -8039 到期利润 2004 2005 程序一

投资额 到期利润 投资额 到期利润 1800 6471 3047 2443 7760 3682 7424 8639 12680 5112 2154 MAX=200000-(A1+B1+C1+D1+E1+F1)+1.1*A1+1.11*B1-(A2+B2+C2+D2+E2+F2+G2)+1.1*A2+1.1*B2+1.25*C1+1.27*D1-(A3+B3+C3+D3+E3+F3+H3)+1.1*A3+1.11*B3+1.25*C2+1.27*D2+1.45*E1+1.5*F1-(A4+B4+C4+D4)+1.1*A4+1.11*B4+1.25*C3+1.27*D3+1.45*E2+1.5*F2-(A5+B5)+1.1*A5+1.11*B5+1.8*G2+1.55*H3; A1+B1+C1+D1+E1+F1<=200000;

A2+B2+C2+D2+E2+F2+G2<=200000-(A1+B1+C1+D1+E1+F1)+1.1*A1+1.11*B1; A3+B3+C3+D3+E3+F3+H3<=200000-(A1+B1+C1+D1+E1+F1)+1.1*A1+1.11*B1-(A2+B2+C2+D2+E2+F2+G2)+1.1*A2+1.1*B2+1.25*C1+1.27*D1;

A4+B4+C4+D4<=200000-(A1+B1+C1+D1+E1+F1)+1.1*A1+1.11*B1-(A2+B2+C2+D2+E2+F2+G2)+1.1*A2+1.1*B2+1.25*C1+1.27*D1-(A3+B3+C3+D3+E3+F3+H3)+1.1*A3+1.11*B3+1.25*C2+1.27*D2+1.45*E1+1.5*F1;

A5+B5<=200000-(A1+B1+C1+D1+E1+F1)+1.1*A1+1.11*B1-(A2+B2+C2+D2+E2+F2+G2)+1.1*A2+1.1*B2+1.25*C1+1.27*D1-(A3+B3+C3+D3+E3+F3+H3)+1.1*A3+1.11*B3+1.25*C2+1.27*D2+1.45*E1+1.5*F1-(A4+B4+C4+D4)+1.1*A4+1.11*B4+1.25*C3+1.27*D3+1.45*E2+1.5*F2; A1<=60000; A2<=60000; A3<=60000; A4<=60000; A5<=60000; B1<=30000; B2<=30000; B3<=30000; B4<=30000; B5<=30000; C1+C2<=40000; C2+C3<=40000; C3+C4<=40000; D1+D2<=30000; D2+D3<=30000; D3+D4<=30000; E1+E2+E3<=30000; F1+F2+F3<=20000; G2<=40000; H3<=30000;

程序一运行结果

Global optimal solution found.

Objective value: 345563.0 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 15

Variable Value Reduced Cost A1 60000.00 0.000000 B1 30000.00 0.000000 C1 40000.00 0.000000 D1 30000.00 0.000000 E1 29749.66 0.000000 F1 0.000000 0.000000 A2 49300.00 0.000000 B2 0.000000 0.000000 C2 0.000000 0.1250000 D2 0.000000 0.1270000 E2 250.3448 0.000000 F2 20000.00 0.000000 G2 40000.00 0.000000 A3 12330.00 0.000000 B3 30000.00 0.000000 C3 40000.00 0.000000 D3 30000.00 0.000000 E3 0.000000 1.340000 F3 0.000000 1.390000 H3 30000.00 0.000000 A4 60000.00 0.000000 B4 30000.00 0.000000 C4 0.000000 1.150000 D4 0.000000 1.170000 A5 60000.00 0.000000 B5 30000.00 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 345563.0 1.000000 2 10250.34 0.000000 3 0.000000 0.1100000 4 0.000000 0.1000000 5 0.000000 0.000000 6 127763.0 0.000000 7 0.000000 0.1210000 8 10700.00 0.000000 9 47670.00 0.000000 10 0.000000 0.1000000

11 0.000000 0.1000000 12 0.000000 0.1331000 13 30000.00 0.000000 14 0.000000 0.1000000E-01 15 0.000000 0.1100000 16 0.000000 0.1100000 17 0.000000 0.1650000 18 0.000000 0.000000 19 0.000000 0.1500000 20 0.000000 0.1870000 21 0.000000 0.000000 22 0.000000 0.1700000 23 0.000000 0.2400000 24 0.000000 0.2900000 25 0.000000 0.5900000 26 0.000000 0.4500000

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