(2016版)：第二部分 函数图象中点的存在性问题

第二部分 函数图象中点的存在性问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题

例1 2015年呼和浩特市中考第25题

已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过坐标原点，且当＜0时，y随x的增大而减小。 （1）求抛物线的解析式，并写出y < 0时，对应x的取值范围；

（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B， DC⊥x轴于点C.

①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；

②设动点A的坐标为(a, b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．

动感体验

请打开几何画板文件名“15呼和浩特25”，拖动点A在x轴下方的抛物线上运动，观察L随a变化的图像，可以体验到，有两个时刻，L取得最大值，这两个时刻的点A关于抛物线的对称轴对称．

思路点拨

1．先用含a的式子表示线段AB、AD的长，再把L表示为a的函数关系式． 2．点A与点D关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点A的位置存在两个情况．

满分解答

（1）因为抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过原点，所以m2－1＝0．解得m＝±1。 如图1，当m＝1时，抛物线y＝x2＋x的对称轴在y轴左侧，不符合当x＜0时，y随x的增大而减小。

当m＝－1时，抛物线y＝x2－3x符合条件。

图1 图2 图3

（2）①当BC＝1时，矩形ABCD的周长为6。

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②如图2，抛物线y＝x2－3x的对称轴为直线x?3，如果点A在对称轴的左侧，那么233?a?xD?。 22解得xD?3?a。所以AD＝3－2a。

当x＝a时，y＝x2－3x＝a2－3a。所以AB＝3a－a2。

所以L＝矩形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2(3a－a2＋3－2a)＝?2(a?)2?1213。 211315时，L的最大值为。此时点A的坐标为(,?)。 222455如图3，根据对称性，点A的坐标也可以是(,?)。

24因此当a?考点伸展

第（2）①题的思路是：如图2，抛物线的对称轴是直线x?坐标为(1, 0)，此时点A的横坐标为1，可以求得AB＝2。

第（2）②题中，L随a变化的图像如图4所示。

3，当BC＝1时，点B的2

图4

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例2 2014年上海市静安区中考模拟第24题

已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线

段OC的长为y．

（1）求AB的长；

（2）如图1，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．

图1

13动感体验

请打开几何画板文件名“14静安24”，拖动圆心P运动，可以体验到，△OAB与△PAC保持相似，∠OCA的大小保持不变．两圆外切和内切，各存在一次∠OPC＝∠OCA．从图像中可以体验到，当两圆外切时，y随x的增大而增大．

思路点拨

1．第（1）题求弦AB的长，自然想到垂径定理或三线合一．

2．第（2）题构造直角三角形，使得y成为斜边长，再用勾股定理．

3．第（3）题两圆外切可以直接用第（2）的结论，两圆内切再具体分析． 4．不论两圆外切还是内切，两个等腰△OAB与△PAC相似．

满分解答

（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE． 在Rt△AOE中，cos∠BAO＝

AE1?，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2． AO3（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H． 由△OAB∽△PAC，得

AOAP3x2．所以?．所以AC?x． ?ABAC2AC313在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得

1322． ??AHACCH所以AH?122242AC?x，CH?AC?x． 3939在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得y2?(4222x)?(3?x)2． 99 3 / 20

整理，得y?3624x?x?9．定义域为x＞0． 813

图2 图3

（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．

OAOC．所以OC2?OA?OP． ?OCOP36241515解方程x?x?9?3(3?x)，得x?．此时⊙P的半径为．

81344因此

②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，AC?如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．

2x． 3AOAC．因此AC2?AO?AP． ?ACAP22727解方程(x)2?3x，得x?．此时⊙P的半径为．

344所以

图4 图5 图6

考点伸展

第（3）题②也可以这样思考：

如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．

这样，△CAO的三边长为

9927279、、3．△PAC的三边长为、、． 22442

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例3 2013年宁波市中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．

①求证：∠BDE＝∠ADP；

②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否

存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状，y是x的一次函数．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．

请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．

答案

（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4． （2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；

②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A， 因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．

所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到y?2x．

图2 图3 图4

（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：

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例2 2014年黄冈市中考第25题

如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标； （2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；

（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）求出S与t的函数关系式．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上．

思路点拨

1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．

2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．

满分解答

（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．

于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．

11144解得a?．所以y?x(x?4)?(x?2)2?．顶点M的坐标为(2,?)．

33333（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,－t)．

（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)． 111将O′(2t,－2t)代入y?x(x?4)，得?2t??2t(2t?4)．解得t?．

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11将Q′(3t,－t)代入y?x(x?4)，得?t??3t(3t?4)．解得t＝1．

33因此，当t?图3）．

1时，点O′落在抛物线上（如图2）；当t＝1时，点Q′落在抛物线上（如2

图2 图3

（4）①如图4，当0＜t≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ．此时S＝t2． ②如图5，当1＜t≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA．此时AF＝2t－2．

1此时S＝(2t?2t?2)?1?2t?1．

2

图4 图5

③如图6，当1.5＜t＜2时，重叠部分是五边形OCEFA． 此时CE＝CP＝2t－3．所以BE＝BF＝1－(2t－3)＝4－2t．

1111所以S＝(3?2)?1?(4?2t)2??2t2?8t?．

222

图6

考点伸展

在本题情景下，重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系？ 如图4，l?(2?22)t．如图5，l?4t?2?22． 如图6，l?(4?22)t?52?2．

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例3 2013年菏泽市中考第21题

如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y??的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y?3x?3412x?bx?c的图像上，且该二次函数图8像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．

请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．

思路点拨

1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．

2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来． 3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．

满分解答

（1）由y??3x?3，得A(0,3)，C(4,0)． 4由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8． 因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)． 将B(－4,0)、D(8,3)分别代入y?12?2?4b?c?0, x?bx?c，得?8?8?8b?c?3.解得b??111，c＝－3．所以该二次函数的解析式为y?x2?x?3． 484（2）①设点P、Q运动的时间为t．

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如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝当PQ⊥AC时，

4． 5AQ45?t425． ?．所以?．解得AP?t?AP5t59

图2 图3

②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．

111333AP?QH?AP?AQsin?PAQ?t(5?t)???t2?t， 222510211S△ACD＝AD?OA??8?3?12，

22333581所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝12?(?t2?t)?(t?)2?．

1021028581所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．

28由于S△APQ＝

考点伸展

如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”

除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况． 这时

t420AP4（如图4所示）． ?．解得t??，所以

5?t59AQ5

图4

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例4 2012年广东省中考第22题

如图1，抛物线y?123x?x?9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、22AC．

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．

思路点拨

1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．

2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．

满分解答

1231x?x?9?(x?3)(x?6)，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)． 222所以AB＝9，OC＝9．

（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．

SAE2． 所以?ADE?()S?ACBAB（1）由y?而S?ACB? 15 / 20

181AB?OC?，AE＝m， 22

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