两个幂等矩阵的几个问题

教育教学

两个幂等矩阵的几个问题

盛夏

（杭州师范大学钱江学院，浙江杭州

310000）

［摘要］在两个幂等矩阵中，由于求解矩阵的初等因子的方法较为繁杂，因而判断两个同阶方阵是否相似就成为了线性代数中的困难问题

之一。［关键词］幂等矩阵；可逆性；问题数域上n阶方阵的等价和相似分类，是线性代数的主要问题之一。通常情形下的结论也是我们熟知的：对任意两个同阶方阵A，B，A与B等价当且仅当A，B有相同的秩，并且任意n阶方阵A都等价于标准形Λ

I

r

n×n其中r是A的秩，Ir

是r阶单位阵；复域上任意两个同阶方阵A，B相似当且仅当A，B有相同的初等因子；且复域上任意n阶方阵A一般不相似于对角阵，而是相似于一个约当标准型。由于求解矩阵的初等因子的方法较为繁杂，因而判断两个同阶方阵是否相似就成为了线性代数中的困难问题之一。但对某一些特殊类型的矩阵，却也有熟知的简单结论。比如，实域上的对称矩阵一定相似于对角阵；两个实对称矩阵相似当且仅当它们有相同的特征值。在本文的第二节我们将要讨论的幂等阵则是等价标准型与相似标准型一致的一类特殊矩阵。众所周知，可逆幂等阵的逆仍为幂等阵；幂等阵的转置仍为幂等

阵；两个同阶幂等阵的和、差、积是否仍是幂等阵?但两个两个同阶幂等阵的和、差、积却未必是幂等阵。在第三节我们将探讨两个同阶幂等阵A与B的线性组合C=l1A+l2B仍为幂等阵的充要条件。并在第四节我们探讨两个两个同阶幂等阵A与B的线性组合C=l1A+l2B为可逆阵的充要条件。换位子AB-BA是环中的－个重要概念，它在代数学中扮演重要的角色，在第五节我们探讨两个幂等阵的换位子的可逆性。

一、两个幂等矩阵的等价与相似

若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。关于幂等矩阵的特征与其它性质见文献，关于两个同阶方阵的等价与相似的定义详见课本。一般两个同阶方阵相似一定等价，但反之不然。但对两个同阶幂等阵我们得到：

定理2.1设A，B是数域F上的两个同阶幂等阵，则A与B相似当且仅当A与B等价。

定理2.2设A，B是数域F上的两个同阶幂等阵，则A与B相似当且仅当A与B有相同的秩。

推论2.3设A是数域F上的n阶幂等阵，则A一定相似于标准型 I

r

n×n，其中r是A的秩。二、两个幂等矩阵的线性组合的幂等性

设F是一个数域，设A，B是数域F上的两个同阶方阵，对任意的

l1，l2称C=l1A+l2B为矩阵A，B的线性合。关于两个同阶幂等矩阵的和的幂等性已经得到，本节我们推广这一结论到更一般的情况。首先，在A，B中有一个为零矩阵，或A，B相等，或l1l2=0时，结论都是平凡的。下面我们给出非平凡的情形。

定理3.1设A，B是数域F上的两个n阶非零幂等阵，A≠B，l1l2≠0，则矩阵A与B的线性组合C=l1A+l2B仍是幂等阵当且仅当下列四个条件之一成立：

（）iAB=BA=0，l1=l2=1；（ii）AB=BA=A，l1=-1，l2=1；（iii）AB=BA=B，l1=1，l2=-1；（

iv）（A-B）2=0，l1+l2=1.三、两个幂等矩阵的线性组合的可逆性

以下介绍必要符号和预备定理。

用Cm×n表示复数域C上所有m×n矩阵组成的集合；Cn表示C上所

有n维列向量组成集合，In表示n阶单位矩阵，（rA）表示矩阵A的秩。

文献[7]中给出了，两个幂等矩阵的差与和的一些秩等式，我们将它们列在引理4.1中。

引理4.1设P，Q是两个n阶幂等矩阵，那么下面秩等式是成立的。

引理4.2设A是n阶方阵，那么A可逆的充要条件是齐次线性方程组AX=0只有零解。

本文的主要结果为：

定理4.3设P，Q是两个n阶幂等矩阵，a，b∈C，a≠0，b≠0，那么下列彼此等价：

1）P-Q可逆；2）P+Q与In-PQ都可逆；3）P+Q-PQ与In-PQ都可逆；4）aP-bQ与（a+b）I-aP-bQ都可逆。

四、幂等矩阵的换位子的可逆性

本节我们利用引理5.1与引理4.1中的一些秩等式及幂等矩阵的性质，给出两个幂等矩阵的换位子可逆的若干充要条件。

用A-表示A的广义逆。Marasaglia和Styan在[6]中给出了下面引理1的一些秩等式。

引理5.1设A∈Cm×n，B∈Cm×k，C∈Cl×n和D∈Cl×k，那么下面的秩等式成立。

（rA，B）=（rA）+（rB-AA-B）=（rB）+（rA-BB-A）（1）r

A

--C=（rA）+（rC-CAA）=（rC）+（rA-ACC）（2）r AB

=（rB）+（rC）+［r（I-BB）-C0

n

A（In

-C-

C）］（3）

本节第一个结果如下：

定理5.2设P，Q是两个n阶幂等矩阵，那么下列各条彼此等价：1）PQ-QP可逆；2）P-Q可逆，且In-P-Q可逆；3）r PQ

=r（P，Q）=（rP）+（rQ）=n，（rPQ）=（rQP）=（rP）=（rQ）。

本节的另一个结果为：

定理5.2设P，Q是两个n阶幂等矩阵a，b∈C，ab≠0那么下列各条彼此等价：

1）PQ-QP可逆；2）P+Q，In-PQ，In-P-Q都可逆；3）P+Q－PQ，In-PQ，In-P-Q都可逆；4）aP+bQ，（a+b）In-aP-bQ，In-P-Q都可逆。

证明：由定理5.1及定理4.3立即便得出定理5.2。

本节的最后一个结果为：

定理5.3设P，Q是两个n阶幂等矩阵，a，b是两个非零复数，那么下列各命题彼此等价。

1）PQ-QP可逆；2）aP-bQ+（b-a）PQ可逆且In-P-Q可逆；3）P+Q-2PQ与In-P-Q+2PQ都可逆。

［参考文献］

[1]满良.关于幂等矩阵秩的一类性质[J].内蒙古民族师院学报,2000.[2]肖润梅.幂等矩阵的概念及性质[J].雁北师范学院学报,2003.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4pei.html