2003年高考.江苏卷.数学试题及答案

普通高等学校招生考试数学试题 北大附中广州实验学校 王 生

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学（理工农医类）

1至2页，第Ⅱ卷

3至10第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数y ax2 bx a的图象与x轴有两个交点，则点(a,b)在aOb平面上的区

域（不包含边界）为（ ）

a

(A)

18

(B)

18

(C) (D) （ ） （D）－8 （ ）

（2）抛物线y ax2的准线方程是y 2，则a的值为

（A）

2

（B）－

,0),cosx

45

（C）8 （C）

247

（3）已知x (

（A）

724

,则tg2x

（B）－

724

（D）－

247

2 x 1,x 0,

（4）设函数f(x) 1若f(x0) 1,则x0的取值范围是（ ）

2 x,x 0

（A）（－1，1） （B）( 1, )

（D）（－∞，－1）∪（1，+∞）

（C）（－∞，－2）∪（0，+∞）

（5）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABACOP OA (, 则,P的轨迹一定通过 ABC的 ), 0

ABA （A）外心

x 1x 1

（B）内心 （C）重心 （D）垂心

（6）函数y ln,x (1, )的反函数为（ ）

普通高等学校招生考试数学试题 北大附中广州实验学校

（A）y （C）y

e 1e 1e 1e 1

xxxx

王 生

,x (0, ) ,x ( ,0)

（B）y （D）y

e 1e 1e 1e 1

xxx

x

,x (0, ) ,x ( ,0)

（7）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

（A）

a

3

3

（B）

2

a

3

4

（C）

a

3

6

（D）

a

3

12

（8）设a 0,f(x) ax bx c，曲线y f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为 0,

,则P 4

到曲线y f(x)对称轴距离的取值范围为 （ ）

（A）0,

b b 1 1 1

（B）0, （C） 0, （D） 0, 2a a 2a 2a

4

（9）已知方程(x2 2x m)(x2 2x n) 0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，

则|m n| （ ） （A）1 （B）

34

（C）1 （D）

2

3

8

（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线y x 1与其相交于M、

N两点，MN中点的横坐标为 （A）

x

2

23

y

2

，则此双曲线的方程是 （ ）

1 （C）

x

2

3

y

2

4

1 （B）

x

2

4

35

y

2

2

1 （D）

x

2

2

y

2

5

1

（11）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从

AB的中点P0沿与AB的夹角 的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和

AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0），若1 x4 2，则tg 的取值范围是 （ ） （A）（1，1） （B）（

3

13

，2） （C）（

3

25

，

12

） （D）（2，

5

23

）

（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

（A）3

（B）4

（C）33

（D）6

普通高等学校招生考试数学试题 北大附中广州实验学校 王 生

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学（理工农医类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16（13）(x2 19的展开式中x9系数是

2x

（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为64种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________

（16）对于四面体ABCD，给出下列四个命题

①若AB AC,BD CD,则BC AD②若AB CD,AC BD,则BC AD

③若AB AC,BD CD,则BC AD④若AB CD,AC BD,则BC AD 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 （17）（本小题满分12分）

有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；

0.001）

（18）（本小题满分12分）

已知函数f(x) sin( x )( 0,0 )是R上的偶函数，其图象关于点

M(

3 4

,0)对称，且在区间 0,

和 2

（19）（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形， ACB 90 ，侧棱AA1 2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离

C1

A1

D

EG

C

A

B1

B

（20）（本小题满分12分）

已知常数a 0,向量c (0,a),i (1,0)O以c i为方向向量的直线与

经过定点A(0,a)以i 2 c为方向向量的直线相交于P，其中 R定点E、F，使得PE PFE、F

（21）（本小题满分12分）

已知a 0,n（Ⅰ）设y (x a)n，证明y' n(x a)n 1；

（Ⅱ）设fn(x) xn (x a)n，对任意n a，证明fn 1'(n 1) (n 1)fn'(n

（22）（本小题满分14分）

设a 0，如图，已知直线l:y ax及曲线C:y x2,C上的点Q1的横坐标为

a1(0 a1 a).从C上的点Qn(n 1)作直线平行于x轴，交直线l于点Pn 1，再从点Pn 1

作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn 1. Qn(n 1,2,3,…）的横坐标构成数列 an

（Ⅰ）试求an 1与an的关系，并求 an 的通项公式； （Ⅱ）当a 1,a1

12

n

时，证明 (ak ak 1)ak 2 1

k 1

32

1

（Ⅲ）当a 1时，证明 (ak ak 1)ak 2

k 1

n

3

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学 试 题（江苏卷）答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．

212

14．6,30,10 15．120 16．①④

三、解答题

17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.

（Ⅰ）P(A) 0.90,P(B) P(C) 0.95， P(A) 0.10,P(B) P(C) 0.05. 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为 P(A B C) P(A B C) P(A B C)

P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C) 2 0.90 0.95 0.05 0.10 0.95 0.95 0.176

答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为

P(A B C) P(A B C) P(A B C) P(A B C)

0.90 0.05 2 0.10 0.05 0.95 0.10 0.05解法二：三件产品都合格的概率为

22

0.012

P(A B C) P(A) P(B) P(C) 0.90 0.95

2

0.812

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为

1 [P(A B C) 0.176] 1 (0.812 0.176) 0.012. 答：至少有两件不合的概率为0.012.

（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

解：由f(x)是偶函数,得f( x) f(x),

即sin( x ) sin( x ),所以 cos sin x cos sin x

对任意x都成立,且 0,所以得cos 0.

依题设0 ,所以解得 由f(x)的图象关于点取x 0,得f( f(

3 4

3 4

王 生

2

.3 4

x) f(3 4

,

3 4 x),

M对称,得f(3 42

) sin(3 4

2

) cos

,

) sin(

) cos3 4

3 4

cos

3 423

0,又 0,得

2

k ,k 1,2,3, ,

(2k 1),k 0,1,2, .

23

,f(x) sin(

23x

当k 0时,

2

)在[0,

2

]上是减函数;

当k 1时, 2,f(x) sin(2x 当k 2时,

103

2

)在[0,

2

]上是减函数;

,f(x) sin( x 23

或 2.

2

)在[0,

2

]上不是单调函数;

所以,综合得

19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空

间想象能力和推理运算能力. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC 平面ABC, CDEF为矩形连结DE,G是 ADB的重心, G DF.在直角三角形EF

2

EFD中

FG FD

13

FD, EF 1, FD 1

2

63.

2

3.

于是ED 2,EG

FC CD sin EBG

2, AB 22,A1B 23,EB EGEB

63 13

23.23

3.

.

A1B与平面ABD所成的角是

arcsin

（Ⅱ）连结A1D，有VA1 AED VD AA1E

ED AB,ED EF,又EF AB F,

ED 平面A1AB, 设A1到平面AED的距离为h，

王 生则S AED h S A

又S A1AE

12

S A1AB

1AB

ED

2,S AED

12

AE ED

62.

14

A1A AB

h

2 62

2

263

.即A1到平面AED的距离为

263

.

解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)

A1(2a,0,2),E(a,a,1),G( CE (

2a2a1

,,).333

GE BD

23a

2

aa2

,,),BD (0, 2a,1).333

23, 41,).33

14/323

1373.

23

0.解得a 1.

BA1 (2, 2,2),BG ( cos A1BG

BA BG1 21

73

.

A1B与平面ABD所成角是arccos

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)

AE ED ( 1,1,1) ( 1, 1,0) 0,AA1 ED (0,0,2) ( 1, 1,0) 0, ED 平面AA1E,又ED 平面AED.

20.

（Ⅰ）当a

22

时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（Ⅱ）当0 a

22

22

时，方程①表示椭圆，焦点E(

12

12

a,

2

a2

)和F(

12

12

2

a,

2

a2

)

（Ⅲ）当a 两个定点.

时,方程①也表示椭圆，焦点E(0,(a

2

1

a

2

12

))和F(0,

12

(a a

12

))为合乎题意的

（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.

n

王 生证明：（Ⅰ）因为(x a)

n

k

Cn( a)

n k

k

x，

k 0

n

n

kn

所以y

kC

k 0

( a)

n k

x

k 1

nC

k 0

k 1n 1

( a)

n k

x

k 1

n(x a)

n 1

.

（Ⅱ）对函数fn(x) x

fn(x) nx

n 1

n

(x a)求导数:

n 1

n

n(x a),

n 1n 1

所以fn(n) n[n (n a)].

当x a 0时,fn(x) 0.

当x a时,fn(x) x (x a)是关于x的增函数.因此,当n a时,(n 1) (n 1 a)

n

n

n

n

n

n

n (n a)

nnnn

∴fn 1(n 1) (n 1)[(n 1) (n 1 a)] (n 1)(n (n a))

(n 1)(n n(n a)

n

n 1

) (n 1)fn(n).

即对任意n a,fn 1(n 1) (n 1)fn(n).

22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能

力，满分14分.

（Ⅰ）解：∵Qn(an 1,an),Pn 1(

∴an 1

2

1a

an,an),Qn 1(

2

22

1a

an,

2

1a1

2

an).

4

1

aa

211 2111 2 2223

22

()( an 3) ()an 2

aaa

an, ∴an

2

1

an 1

211221 22

( an 2) ()an 2 aaa

n 2n 1n 1an 1an 111n 1

()1 2 2a12 ()2 1a12 a(1)2， ∴an a(1)2.

aaaa

（Ⅱ）证明：由a=1知an 1 an, ∵a1

∵当k 1时,ak 2 a3 ∴ (a a)a kk 1k 2

k 1n

2

12

, ∴a2 1,a3 1.

4

16

116

n

.

(ak ak 1)

116

(a1 an 1)

132.

16

1

k 1

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，an a1

n

n

k

k 1

k

王 生2

n 1

,

2 1

n

因此

(a

k 1

ak 1)ak 2

(a

k 1

21

a1)a1

22

k 1

i 1

(a1 a1)a1

ii 12i 2

2 1

n

(1 a)a12

1

i 1

a

3i1

(1 a1)a

21

a1

331

=

a1

5

21

1 a

1 a1 a

1 .3

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