反比例函数复习课

反比例函数 【知识点梳理】

一、反比例函数的解析式 1．反比例函数的概念

k一般地，函数y?（k是常数，k?0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y?kx?1x的形式。自变量x的取值范围是x?0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数y?k中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的x坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 二、反比例函数的图像及性质

1．反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x?0，函数y?0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2．反比例函数的性质 反比例函y?k(k?0) x数 k的符号 k>0 k<0 1

y y O 图像 x O x ①x的取值范围是x?0， ①x的取值范围是x?0， y的取值范围是y?0； y的取值范围是y?0； ②当k>0时，函数图象的两个②当k<0时，函数图象的两个分性质 分支分别在第一、三象限。在支分别在第二、四象限。在每个每个象限内，y随x 的增大而象限内，y随x 的增大而增大。 减小。 ①y?kx(k?0)的图象是轴对称图形，对称轴为y??x(k＞0)或 y?x(k＜0) k对称性 ②y?x(k?0)的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③y?kx和y??kx(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称， 也关于y轴对称．

2

3．反比例函数中反比例系数的几何意义 k(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k。 xk②过双曲线y?(k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如

x①过双曲线y?图）的面积为 k2． k(k≠0) 同一支上任意两点P1、P2与原点组成的 三角形（如图）的面积=直角梯x③双曲线y?形P1P2Q2Q1的面积． y PBOACQx 【典型例题解析】 1.如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=错误！未找到引用源。（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S5的值为 ．

3

2.两个反比例函数错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。在第一象限内的图象如图所示，点P在错误！未找到引用源。的图象上，PC⊥x轴于点C，交错误！未找到引用源。的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交错误！未找到引用源。的图象于点B，当点P在错误！未找到引用源。的图象上运动时，以下结论：

①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化； ③PA与PB始终相等；

④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．

其中一定正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）． 3.两个反比例函数y?函数y?36

，y?在第一象限内的图象，如图，点P1，P2，P3，…，P2005在反比例xx

36，y?图象上，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，…，x2005，纵坐标分别为1，3，5，…，xx3共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行线，与y?的图象交点，依

x次是Q1（x1，y1），Q1（x2，y2），Q1（x3，y3），…，Q1（x2005，y2005），y2005= ．

4.如图，已知△OP1A1、△A1P2A2、△A2P3A3、…均为等腰直角三角形，直角顶点P1、P2、P3、…在函数y=错误！未找到引用源。（x＞0）图象上，点A1、A2、A3、…在x轴的正半轴上，则点P2011的横坐标为 _________ ．

4

5.正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=错误！未找到引用源。（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=错误！未找到引用源。（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为（ ， ）。

k6.如图，P1是反比例函数y?(k?0)在第A1 的坐标为(2，0)．

x （1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1O A1的面积将如何变化？

（2）若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标．

5

7.如图，已知双曲线y?(k?0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于

点C．若点A的坐标为（?6，4），则△AOC的面积为（ ）

A．12 B．9 C．6 D．4

ykx

ADCBOx8.如图，正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为2．

（1）求反比例函数的解析式；（2）求点D的坐标．

369.两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1、P2在反比例函数图象上，过

xx3点P1作x轴的平行线与过点P2作y轴的平行线相交于点N，若点N（m，n）恰好在y=的图象x上，则NP1与NP2的乘积是______。

6

110. 如图，已知反比例函数y=的图象上有点P，过P点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为

xA、B，使四边形OAPB为正方形，又在反比例函数图象上有点P1，过点P1分别作BP和y轴的垂线，垂足分别为A1、B1，使四边形BA1P1B1为正方形，则点P1的坐标是________。

111.在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有一系列点P1、P2、P3、…、Pn，若P1的横坐标为2，

x且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点P1、P2、P3、…、Pn作x轴与y轴的垂线段，构成若干个长方形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则S1+S2+S3+…+S2010=________。

48412.两个反比例函数y=，y=-的图象在第一象限，第二象限如图，点P1、P2、P3…P2010在y=xxx的图象上，它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列1，3，5，7，9，11，…，过点P1、P2、

7

8P3、…、P2010分别作x轴的平行线，与y=-的图象交点依次是Q1、Q2、Q3、…、Q2010，则点

xQ2010的横坐标是______________。

k13.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k＞0）经过A，E两点，若平行

x四边形AOBC的面积为24，则k=________。

k14.如图，梯形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k＞0）经过A、E两点，若AC：OB=1：

x3，梯形AOBC面积为24，则k=（ ） A、

108356527 B、 C、 D、 7242

8

k15.如图，已知点A的坐标为（3，3），AB丄x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k

x5＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为

4半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是________。（填”相离”，“相切”或“相交“）．

16.如图，?ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），顶点C、D在双曲线y=上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=_______。

kx

17.如图，点P是反比例函数y＝－

2

x

（x＜0）图象上一动点，点A、B分别在x轴，y轴上，且

OA＝OB＝2，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F． （1）当动点P的纵坐标为

5

3

时，连接OE、OF，求△EOF的面积；

y 9

P F B N

（2）设动点P的坐标为P（a，b）（－2＜a＜0，0＜b＜2且| a |≠| b |），其他条件不变，探索：以

AE、EF、BF为边的三角形是怎样的三角形？并证明你的结论．

18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝ 点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B． （1）判断P是否在线段AB上，并说明理由； （2）求△AOB的面积； （3）Q是反比例函数y＝

6

x

6

x

（x＞0）图象上的任意一

（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆

与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．

y _ yB P Q O A x 19.在矩形AOBC中，OA＝4，OB＝6．分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示

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的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝ ＞0）的图象与AC边交于点E．

（1）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；

k x

（k（2）设点P是（1）中所求抛物线上一点，且△PEF的面积等于△OEF的面积，求点P的坐标； （3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时OF的长；若不存在，请说明理由．

y E A C F O B x

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