勾股定理全章知识点总结大全A - 图文

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勾股定理全章知识点总结大全

一．基础知识点：

1：勾股定理: 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在?ABC中，?C?90?，则c?a2?b2，b?c2?a2，a?c2?b2）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

2

2

2

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5：勾股定理的证明

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勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

1方法一：4S??S正方形EFGH?S正方形ABCD，4?ab?(b?a)2?c2，化简可证．

2方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S?4?ab?c2?2ab?c2

2大正方形面积为S?(a?b)2?a2?2ab?b2 所以a2?b2?c2

111方法三：S梯形?(a?b)?(a?b)，S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2，化简得证

2226：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2?b2?c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

bacb②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数：n?1,2n,n?1（n?2,n为正整数）；

22acbccbaa2n?1,2n2?2n,2n2?2n?1（n为正整数）m2?n2,2mn,m2?n2（m?n,m，n为正整数）

DHC二、规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

AEFbcGaB2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

AaDbc3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

BcbEaC4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

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5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理及逆定理

例１.在?ABC中，?C?90?．

⑴已知AC?6，BC?8．求AB的长 ⑵已知AB?17，AC?15，求BC的长分析：

练习：1、如图所示，在四边形ABCD中，?BAD=90?，?DBC=90?，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。

2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

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例2：已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

练习：在?ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为多少？

例3：（1）.已知?ABC的三边a、b、c满足(a?b)2?(b?c)2?0，则?ABC为 三角形

（2）.在?ABC中，若a2=（b+c）（b-c），则?ABC是 三角形，且? 90? 练习：1、已知x?12?x?y?25 与z2?10z?25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。

2、.若?ABC的三边a、b、c满足条件a2?b2?c2?338?10a?24b?26c，试判断?ABC的形状。

23.已知a?6?2b?8?(c?10)?0,则以a、b、c为边的三角形是 例4：已知如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=43，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

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如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。 求证：（1）

111 ??a2b2h2C（2）a?b?c?h

（3）以a?b，h，c?h为三边的三角形是直角三角形 经典图形突破： C图1AADBAABB图2CB图3CAABC图4BD图5C练习1.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45o，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD=1，则BD等于( )A．1 B．

C． D． 2.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．

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3.△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5． 求证：△ABC是直角三角形．

4.如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=并说明理由．

5.如图Rt?ABC，?C?90?AC?3,BC?4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

1BC，猜想AF?与EF的位置关系，4CAB

6.如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．

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7.如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，?PC=2， 求∠BPC的度数．

8.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,（1）AD平分∠BAC,交BC于D点。求CD长 （2）BE平分∠ABC,交AC于E，求CE长

BDABCA9.如图，在四边形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，BC＝2，CD＝3，求AB的长

0

0

EACDBCA10.如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。

00

11、已知△ABC中，∠BAC＝75，∠C＝60，BC＝3?3，求AB、AC的长。

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12、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。 （1）求证：G是CE的中点； （2）∠B＝2∠BCE。 （3）若AC=6,AB=8，求DG的长。 BEGCA

专题二 勾股定理的证明

D1、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c2＝ ＋ ．化简后即为c2＝ ．

2、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为 ．

c a

b

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3、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是 ．

4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5

和11，则b的面积为（ ） （Ａ）4

（Ｂ）6

（Ｃ）16

（Ｄ）55

a

b c l 5、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB?C?D?的位置，连结CC?，设AB?a,BC?b,AC?c，请利用四边形

BCC?D?的面积证明勾股定理：a?b?c.

C?

A

222D

C B?A 第4题图

c a b B

D?A

6、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EF

A E B F H D G C 都是正方形. 证：△ABF≌△DAE

7、（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为(m?n)的正方形，小颖将

图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图② 能验证的式子是（ ）

A．(m?n)2?(m?n)2?4mn B．(m?n)2?(m2?n2)?2mn

n← m→→ ← mnmn图①

第7题图

图②

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C．(m?n)2?2mn?m2?n2 D．(m?n)(m?n)?m2?n2 专题三 网格中的勾股定理

1、如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）

（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH （D）AB、CD、EF

A

C

B

2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数

是（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

3、（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶

点，则∠ABC的度数为（ ）

CCABAA．90° B．60° C．45° D．30°

4、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（ ） A.

B33345 D. 2 B. 5 C. 5 521055、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点

画一个边长为3、

、

的三角形．所画的三角形是直角三角形吗?说明理由．

6、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出面积为2的三个形状不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）

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