小学数学奥数基础教程(四年级)--03
更新时间:2023-08-26 21:13:01 阅读量: 教育文库 文档下载
小学数学奥数基础教程(四年级)共30讲
小学数学奥数基础教程(四年级)
本教程共30讲
高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:
1+2+3+4+ +99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现: 1+100=2+99=3+98= =49+52=50+51。
1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为
(1+100)×100÷2=5050。
小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。例如:
(1)1,2,3,4,5, ,100;
(2)1,3,5,7,9, ,99;
(3)8,15,22,29,36, ,71。
其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×项数÷2。
例1 1+2+3+ +1999=?
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分析与解:这串加数1,2,3, ,1999是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得
原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。
注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11+12+13+ +31=?
分析与解:这串加数11,12,13, ,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。
原式=(11+31)×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系,可以得到
项数=(末项-首项)÷公差+1,
末项=首项+公差×(项数-1)。
例3 3+7+11+ +99=?
分析与解:3,7,11, ,99是公差为4的等差数列,
项数=(99-3)÷4+1=25,
原式=(3+99)×25÷2=1275。
例4 求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
解:末项=25+3×(40-1)=142,
和=(25+142)×40÷2=3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。问:(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?
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分析:最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表:
由上表看出,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列。
解:(1)最大三角形面积为
(1+3+5+ +15)×12
=[(1+15)×8÷2]×12
=768(厘米2)。
(2)火柴棍的数目为
3+6+9+ +24
=(3+24)×8÷2=108(根)。
答:最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。 例6 盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里 第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球?
分析与解:一只球变成3只球,实际上多了2只球。第一次多了2只球,第二次多了2×2只球 第十次多了2×10只球。因此拿了十次后,多了
2×1+2×2+ +2×10
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=2×(1+2+ +10)
=2×55=110(只)。
加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。 综合列式为:
(3-1)×(1+2+ +10)+3
=2×[(1+10)×10÷2]+3=113(只)。
练习3
1.计算下列各题:
(1)2+4+6+ +200;
(2)17+19+21+ +39;
(3)5+8+11+14+ +50;
(4)3+10+17+24+ +101。
2.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下。问:时钟一昼夜敲打多少次?
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中,十位数比个位数大的数共有多少个?
答案与提示练习
1.(1)10100;(2)336;(3)440;(4)780。
2.1127。 提示:项数=(93-5)÷4+1=23。
3.2565。 提示:末项=13+5×(30-1)=158。
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4.180次。 解:(1+2+ +12)×2+24=180(次)。
5.1650。 解:2+5+8+ +98=1650。
6.45个。
提示:十位数为1,2, ,9的分别有1,2, ,9个。
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