中考数学复习专题22《直角三角形的存在性》

中考数学复习专题22《直角三角形的存在性》

破解策略

以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示：

A B

A

直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）．

解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：

（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算．

如图，若∠ACB＝90°．过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F．则△AEC∽△CF B．从而得到线段间的关系式解决问题．

（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验．

有时候将几何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！

例题讲解

例1 如图，抛物线l：y＝ax2＋2x－3与r轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C（0，3）．已知对称轴为x＝1．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设点P是抛物线l上任意一点，点Q在直线x＝－3上，问：△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

解：（1）由题意可得点A的坐标为（1，0）．

所以抛物线表达式可变为y＝a（x－3）（x＋1）＝ax2－2ax－3a

由点C的坐标可得－3a＝3，a＝－1

所以抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3．

（2）如图，过点P作PM垂直于直线l，垂足为M．过点B作BN垂直于直线PM．垂足为N．

若△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，

1

2

无论点P 在BQ 的上方或下方，由“弦图模型”均可得△PQM ∽△BPN ． 所以PM ＝BN ．

设点P 的坐标为（m ，H ，－m 2＋2m ＋3）．则PM ＝|m ＋3|，BN ＝|－m 2＋2m ＋3|，所以|m ＋3|

＝|－m 2＋2m ＋3|．解得m 1＝0，m 2＝1，m 3

，m 4

所以点P 的坐标为（0，3），（1，4

例2 如图，一次函数y ＝－2x ＋10的图象与反比例函数y ＝k x

（k ＞0）的图象相交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），分别交x 轴．y 轴于点E ，F ．若点A 的坐标为（4，2）．问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ．使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由，

解：将点A （4，2）代入反比例函数表达式，得k ＝8，

所以反比例函数为y ＝8x

， 联立方程纽组8210

y x y x ?=???=-+? ， 解得1142x y =??=?，2218x y =??=? 所以点B 的坐标为（1，8）．

由题意可得点E ．F 的坐标分剐为（5，0），（0，10），

以AB 为直角迎的直角三角形有两种情况：

如图1

，当∠PAB ＝90°时，

连结OA ，则

OA

而

AE ，OE ＝5，所以OA 2＋AE 2＝OE 2，

即OA ⊥A B ．所以A ，O ，P 三点共线．

由O 、A 两点的坐标可得直线AP 的表达式为y ＝

12x ． 联立方程组812

y x y x ?=????=?? 解得1142x y =??=?，2242x y =-??=-?

所以点P的坐标为（－4，－2）．

②如图2，当∠PBA＝90°时，记BP与y轴的交点为G．

易证△FBC∽△FOE，所以FB FO FG FE

=，

而FO＝10．FE

FB

可求得FG＝5

2

，所以点G的坐标为（0，

15

2

）．由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式

为y＝1

2

x＋

15

2

，

联立方程组

115

22

8

y x

y

x

?

??

?

?

??

＝＋，

＝，

解得1

1

1

8

x

y

?

?

?

＝，

＝；

2

2

16

1

2

x

y

?

?

?

??

＝－，

＝－.

所以点P的坐标为（－16，－1

2

）；

综上可得，满足条件的点P坐标为（－4，－2）或（－16，－1

2

）．

图2

例3 如图，抛物线C1：y＝a（x－2）2－5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A 在点B的左侧），点A的横坐标是－1．D是x轴负半轴上的一个动点，将抛物线C1绕点D 旋转180°后得到抛物线C2．抛物线C2的顶点为Q，与x轴相交于E，F两点（点E在点F 的左侧）．当以点P，Q，E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点Q的坐标．

1

C

3

4

解 由题意可得点A （－1，0），P （2，－5），B （5，0）．

设点D 的坐标为（m ，0），则点Q 的坐标为（2m －2，5），E 的坐标为（2m －5，0），

所以PQ 2＝（2m －4）2 ＋102，PE 2＝（2m －7）2＋52，EQ 2＝32＋52＝34．

△PQE 为直角三角形有三种情况：

①当∠PQE ＝ 90°时，有PE 2＝PQ 2＋ EQ 2，

即（2m －7）2＋52＝（2m －4）2＋102＋34，解得m ＝－193，所以点Q 的坐标为（－443

，5）；

②当∠QEP ＝90°时，有PQ 2＝PE 2 ＋EQ 2，

即（2m －4）2＋102＝（2m －7）2＋52＋34，解得m ＝－23，所以点Q 的坐标为（－103

，5）；

③当∠QPE ＝ 90°时，有EQ 2＝PE 2 ＋ PQ 2，

即（2m －7）2＋52＋（2m －4）2＋102＝34，方程无解，所以此种情况不成立，

综上可得，当△PQE 为直角三角形时，顶点Q 的坐标为（－443，5）或（－103

，5）． 例4 如图．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝ 90°，AD ＝2，BC ＝6，AB ＝3．E 为BC 边上一点，当BE ＝2时，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．当正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFG 为正方形B ′EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B 'EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连结B ′D ，B 'M ，DM ．问：是否存在这样的t ，使△B 'DM 是直角三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

E B'M

F

G C

D

A B

解 存在满足条件的t ．理由如下：

如图，过点D 作DH ⊥ BC 于点H ，过点M 作MN ⊥DH 于点N ，

则BH ＝AD ＝2，DH ＝AB ＝3．

所以BB ′＝HE ＝t ，HB ′＝|t －2|，EC ＝4－t ．

易证△MEC ∽△ABC ，

可得ME AB ＝EC BC ，即3

ME ＝46t －，所以ME ＝2－12t ． 在Rt △B ′ME 中，有B ′M 2＝ME 2＋B ′E 2＝

14t 2－2t ＋8． 在Rt △DHB ′中，有B ′D 2＝DH 2＋B ′H 2＝t 2－4t ＋13．

在Rt △DMN 中，DN ＝DH －NH ＝12

t ＋1． 则DM 2＝DN 2＋MN 2＝54

t 2＋t ＋1． ①若∠DB'M ＝90°，则DM 2＝B'M 2＋B'D 2，

5

即54t 2＋t ＋1＝（14

t 2－2t ＋8）＋（t 2－4t ＋13）， 解得t 1＝207

； ②若∠B'MD ＝90°，则B'D 2＝B'M 2＋DM 2，

即t 2－4t ＋13＝（14t 2－2t ＋8）＋（54

t 2＋t ＋1）， 解得t 2＝－3

，t 3＝－3

（舍）；

③若∠B'DM ＝90°，则B'M 2＝B 'D 2＋DM 2，

即14t 2－2t ＋8＝（t 2－4t ＋13）＋（54

t 2＋t ＋1）， 此方程无解．

综上所得，当t ＝

207或－3

时，△B'DM 是直角三角形． N

H B A

D

C

G F M B'E

进阶训练

1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OAB 的直角顶点A 在x 轴上，OA ＝4，AB ＝3．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；同时点N 从点O 出发，以每秒1．25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动．当两个动点运动了x （0＜x ＜4）时，解答下列问题：

（1）求点N 的坐标（用含x 的代数式表示）；

（2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）N （x ，34

x ）； （2）当△OMN 是直角三角形时，x 的值为2或

6441． 【提示】（1）过点N 作NP ⊥OA 于点P ，由△PON ∽△AOB 即可求得；

6

（2）分类讨论，通过△OMN 和△OAB 相似即可列出等式求得x 的值．

2．如图，在平面直角坐标xOy 中，直线y ＝kx －3与双曲线y ＝4x

的两个交点为A ，B ．其中A （－1，a ）．若M 为x 轴上的一个动点，且△AMB 为直角三角形，求满足条件的点M 的坐标．

解：满足条件的点M 的坐标为（－5，0），（5，0

0）． 【提示】先求出点A ，B 的坐标，再设点M 的坐标，从而用待定字母表示AM 2，BM 2，AB 2．然

后讨论直角，根据勾股定理列方程即可．

3．如图，抛物线233384

y x x 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．

（1）求点A ，B 的坐标；

（2）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的一个动点，当以A ，B ，M 为顶点所作的

直角三角形有且只有三个时，求直线l 的表达式．

7

解：（1）A （﹣4，0），B （2，0）；

（2）直线l 的表达式为3

34

y x 或334

y

x ．

【提示】（2）若△ABM 是直角三角形，则点M 在以AB 为直径的圆上，或过A ，B 且与AB 垂直的直线上（A ，B 两点除外）．由题意可得直线l 与以AB 为直径的圆相切（如图），点M 1，

M 2，M 3即为满足条件的三个点，此时直线l ：3

34

y x ；根据对称性，直线l 还可以为

334

y

x

4，如图，顶点为P （4，﹣4）的二次函数图象经过原点O （0，0），点A 在该图象上， OA 交其对称轴l 于点M ，点M ，N 关于点P 对称，连结AN ，ON ． （1）求该二次函数的表达式；

（2）当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动时，请回答下列问题： ①证明：∠ANM ＝∠ONM ；

②△ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的坐标；如果不能，请说明理由．

解：（1）2124

y x x ；（2）①略；②△ANO 能为直角三角形，符合条件的点A 的坐标为

(4

42,4)

【提示】（2）①过点A 作AH ⊥l 于点H ，令l 与x 轴的交点为D ．设点A （m ，2

1

24m m ），

则直线AO 的表达式为1(2)4

y

m x ，从而求得点M 的坐标为（4，m －8），N 的坐标为（4，

﹣m ），只需证明tan∠ANH ＝tan∠OND 即可；

②分类讨论：当∠ANO ＝90°时，∠ANM ＝∠ONM ＝45°，点N 与点P 重合，点M 与点D 重合，不满足M ，N 关于点P 对称，故此时不存在这样的点A ；

当∠NOA ＝90°时，有1

2OP MN ，求得满足条件的点A (442,4)；

当∠NAO ＝90°时，有1

2

AP

MN ，即2

2221(4)(24)(4)4

m m m m ，解得m ＝4，

此时点A ，P 重合，不满足题意．

5．抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点为C，点A的坐标为（﹣1，4），其对称轴l上是否存在点M，使线段MA绕点M逆时针旋转90°得到线段MB，且点B恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：存在，点M的坐标为（1，2）或（1，5）．

【提示】如图，连结AC，则AC⊥l，作BD⊥l于点D，则△MCA≌△BDM，从而MD＝AC＝2，BD＝M C．无论点A，B在l同侧还是异侧，设点M（1，m），都可得B（m－3，m－2），代入抛物线表达式即可求得m＝2或5，从而点M的坐标为（1，2）或（1，5）．

8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4oyq.html