2013年高考数学（课标版）原创预测题（理科）：专题三 数列

专题三：数列（新课标理科）

一、选择题 1、已知数列

?an?为等差数列，Sn是它的前n项和.若a1．16

{an}?2，S3?12，则S4?（ ）

．10 2、已知数列

．20 ．24

的值为（ ）

为等差数列，且

a1?a7?a13??,则tan(a2?a12)33

.3 .?3 {an}.?3

?.

3、已知数列69．2

是正数组成的等比数列，

Sn是它的前n项和.若

a1?3,a2a4?144，则

S5的值是（ ）

．69

{an}．93 ．189

Sn4、等比数列．12

的前n项和为

．15

，若

a1?a2?a3?a4?1a5?a6?a7?a8?2，，

Sn?15，

则项数n为（ ）

．14

．16

{an}5、各项都为正数的等比数列

．2 ．3

中，．3

a1?2,a6?a1a2a3，则公比q的值为（ ）

．2

6、设等比数列（ ）

a5?an?的前n项和为Sn，若8a2an?1?a5?0，则下列式子中数值不能确定的是

S5Sn?1．

a3 ．

S3 ．

an ．

Sn

cn?(an,an?1)7、已知各项均不为零的数列{an},定义向量题中为真命题的是（ ） . 若?n?N总有. 若?n?N总有. 若?n?N总有. 若?n?N总有

****，

bn?(n,n?1)，n?N.下列命

*cn//bncn//bncn?bncn?bn成立，则数列{an}是等差数列 成立，则数列{an}是等比数列 成立，则数列{an}是等差数列 成立，则数列{an}是等比数列

an+2-an+1=k8、在数列{an}中，对任意n?N，都有

*an+1-an（k为常数），则称{an}为“等差比数

列”. 下面对“等差比数列”的判断： ①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为数列，其中正确的个数为（ ）

. 1

. 2

. 3

. 4

C:y?1(x?0)A(x,0)A(x,0)x?x1?0A,Ax9、已知曲线及两点11和22，其中2.过12分别

an=a?bnc(a构0,b0,1)的数列一定是等差比

作x轴的垂线，交曲线于

x1,x32,x2B1,B2两点，直线x1,x32,x2B1B2与x轴交于点

A3(x3,0)，那么（ ）

．

．成等差数列

．

．成等比数列

x1,x3,x2成等差数列

,a5x1,x3,x2成等比数列

这三个整数中取值的数列，若

??1)?a?(50210、设

a1,a2?,是从-1，0，1

(a21a1?a2???a509?且,?1)2?a(2?1)?7,a50a1,1a20,?，则中数

字0的个数为（ ） .11 二、填空题 11、已知等差数列12、已知数列

{an}.12

Sn .13

S8.14

的前n项和为，若

a5?20?a4，则=

?an?满足a1?22，an?1?an?2n，则数列

?an?的通项公式为

13、如图，是一个程序框图，则输出的结果为___________.

14、2011年3月11日，日本9.0级地震造成福岛核电站发生核泄漏危机。如果核辐射使生物体内产生某种变异病毒细胞，若该细胞开始时有2个，记为

a0?2，它们按以下规律进行分裂，1 小时后分裂成4个并死去1个，2小时

后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1 个，……,记n小时后细胞的个数为三、解答题

15、已知等差数列

a4a7?135,a3?a8?{an}an，则

an=________(用n表示) ．

的前n项和为

Sn，公差d?0，且

.

24（1）求数列

Sn?{an}b13的通项公式；

b232??L?bn3n(n?N)?（2）若，求数列

Sn{bn}的前n项和为

Tn.

16、设数列

{an}的前n项和为，且

Sn?(??1)??an，其中λ是不等于-1和0的常数.

（1）证明

{an}是等比数列；

的公比q?f(?)，数列

Tn{bn}（2）设数列

{1}bn{an}b1?1,bn?f(bn?1)(n?N,n?2)3满足，求

数列的前n项和.

?1?11?1?a1?a2?2??,a?a?32???.?34{a}?a1a2??a3a4? 17、已知n是各项均为正数的等比数列，且

（1）求 （2）设

{an}的通项公式；

2bn?an?log2an，求数列

{bn}的前n项和

Tn.

18、已知数列

{an},{bn}满足

a1?2,2an?1?anan?1,bn?an?1(bn?0).

（1）求证：数列（2）令

{1}bn是等差数列，并求数列

Sn{an}的通项公式；

Sn?1Cn?bnbn?1，是数列

{Cn}的前n项和，求证：.

19、已知等比数列项积记为?（1）证明（2）判断（3）证明

(n){an}的首项

a1?2011q??12，数列{an}前n项和记为Sn，前n

，公比

的大小，n为何值时，?(n)S2?Sn?S1?(n)与?(n?1){an}取得最大值；

中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些

d1,d2,d3,?dn等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为（参考数据2

10，证明:数列

{dn}为等比数列。

?1024）

ka,a,a,?,an20、已知每项均是正整数的数列A：123，其中等于i的项有i个(i?1,2,3???)，

设

bj?k1?k2???kjg(m)?b1?b2???bm?nm(m?1,2,3???) (j?1,2,3?)， .

（1）设数列A:1,2,1,4，求g(1),g(2),g(3),g(4),g(5)；

（2）若数列A满足

a1?a2???an?n?100，求函数g(m)的最小值.

答案解析（专题三新课标理）

3?2?3a?d?12,?12??a?2?11、选.根据题意，，

?d?2,?S4?4a1?4?32d?20，故正确.

2?3，

2、选.根据等差数列性质,

?tan(a2?a12)?tan2a1?a13?2a7，

?3a7??,a7??3，

?a2?a12?2a7?2?34??3，故正确.

23、选.

?a2a4?a1q?144,?a1q?12.又因为数列

{an}是各项均为正数， 且

a1?3，

?q?2，

?S5?a1(1?q)1?q5?3(2?1)?935,故正确.

?a1(1?q4)?1,?1?q?q4?2,????4??a1?a2?a3?a4?1?a1?a5(1?q)?2???1?q??1?1?qa?a?a?a?2?Sn?156784、选.方法一：?5,?，?，，a1(1?q)nnn即

1?q?15?1?q??15,?q?16,?(q)4?16,?24?16,?nn4n4?4,n?16，，故

正确. 方法二：

?a1?a2?a3?a4?1,a5?a6?a7?a8?q(a1?a2?a3?a4)?284，

?q?24，

?a9?a10?a11?a12?q(a1?a2?a3?a4)?412， ，

，?n?16.故正确. ，等比数列

{an}?a13?a14?a15?a16?q(a1?a2?a3?a4)?8?a1?a2?a3?a4???a13?a14?a15?a16?155、选.

?a6?a1a2a3,?a1q?a1q533 ，又

a1?2为正项数列，?q?2,

故正确.

?8a2?a5?0,?a5a2??8,?q??8,q??23?a5a3?q26、选. . ,其值可确定，故错误；

S5S3?1?q1?q53an?1,其值也可确定，故错误；

an?qSn?1,其值也可确定，故错误；而

Sn?1?qn?1n1?q,

其值与n相关，无法确定，故正确.

an?17、选. 若

cn//bn，则

(n?1)an?nan?1，即n?1?ann，于是an?na1，故A正确.

an+2-an+1an+2-an+18、选. 若k=0,则

an+1-an将无意义，故①正确；若等差数列是常数列,

an+2-an+1an+1-an将无

意义，故②错误；若等比数列为非零常数列，则

an+2-an+1an=a?bnan+1-ana bn+1n也无意义，故③错误；若

c(a构0,b0,1),则

an+1-an=a?bn+2n+1a?ba b=b，故④正确.综上可知，正确

的命题个数为2，故选.

B1,B29、选.由题意，两点的坐标为

(x1,1),(x2,1)x1x2,所以直线

B1B2的方程为：

y??1(x?x1)?1x1x2x1，令y=0，得

x?x1?x2，

?x3?x1?x2.因此，

x1,x32,x2成等差数

列,故正确. 10、选.设

a1,a2,?,a50中数字0的个数为m, 数字1的个数为n，则数字-1的个数为50-m-n，

?n?(50?m?n)?9,?m?11,??m?4n?107n?24?由题意，解得?，因此数字0的个数为11，故选.

S8?8(a1?a8)2?4(a4?a5)?4?20?8011、解析：由答案：80

a4?a5?20知，.

12、解析：通过累加求和，得

an?n?n?2222an?a1?2[1?2?3???(n?1)]?n(n?1)，因此

.

答案：

an?n?n?221?1???1?1?1?29?102105. 13、解析：输出结果为2?33?42答案：5

14、解析：按规律，1

a?4?1?3，

a2?2?3?1?5a3?2?5?1?9，，……，

an?1?2an?1；

∴

anan?1?1?2(an?1)nan?1?an?1?2?，即是等比数列，其首项为2，公比为2，故，∴

=2?1．

a1?3?2?1n（本题也可由答案：2?1

n，

a2?5?2?12，

a3?9?2?13，……，猜想出

an=2?1．）

n?a3?a8?a4?a7?24?aa?13515.解：（1）由公差d?0，且?47， ?a4?9?a?15解得?7，

d?a7?a43?2∴ ，∴

Sn?b13?an?a4??n?4?d?2n?1．

b232（2）当n?2时，

Sn?1?b13?b232?L?bn3, ①，

n?L?bn?13n?1, ②，

?an?2n?1①－②得：∴

Sn?Sn?1?nbn3n，

bn??2n?1??3

?n?2?．

3，

当n?1时，∴

b1?91S1?3?b1也符合上式，故

2bn??2n?1??3nn?1?n?N?．

*Tn?3?3?5?3?L??2n?1??323??2n?1??3n, ③ , ④

n?13Tn?3?3?5?3?L??2n?1??3??2n?1??3nn?1③－④得：

?9?2??2Tn?9?2??3?3?L?323n?1n???2n?1??3

9?1?3?

??2n?3n?11?3n?12n?1??3?－

．

∴

Tn?n?3n?1．

，

16.解：（1）

?Sn?(??1)??an?Sn?1?(??1)??an?1(n?2)，

，

则

an???an??an?1，即

(1??)an??an?1又???1且??0， ?anan?1????1，又a1?1，

?{an}?是以1为首项，??1为公比的等比数列.

q?f(?)?bn?11?bn?1???1，

（2）由（1）知，?bn?f(bn?1)?(n?2).

故有

1?1?bn?1?1?1bnbn?1bn?1，

?1?1?1(n?2)bnbn?1?{1}bn，

是以3为首项，1为公差的等差数列，

n(n?1)n2?5n?Tn?3n??22.

17.解：（1）设等比数列

{an}的公比为q，则

an?a1qn?1，由已知得

?a?aq?2(1?1)11a1a1q???231?1)?a1q?a1q?32(23a1qa1q??

2??a1q(q?1)?2(q?1)?25?aq(q?1)?32(q?1)化简得?1

2??a1q?2?25?a1q?32 即??a1?1?q?2?a1?0,q?0又，解得?

?an?2n?1.

bn?an?log2an?4n?12n?1（2）由（1）知，

2?(n?1)

?Tn?(1?4?4???4n4?1?n(n?1) ?32)?(1?2?3???n?1)

18.解：（1）又

?bn?an?1,?an?bn?1，

?2an?1?anan?1，

，

?2(bn?1)?1?(bn?1)(bn?1?1)化简得

bn?bn?1?bnbn?1. ?1?bn?0,?bnbnbn?1?bn?1bnbn?1，

即

1?1?1(n?N?)bn?1bn1?1?1?1b1a1?12?1，

又，

?{1}bn是首项为1，公差为1的等差数列.

?1?1?(n?1)?n,?bn?1bnn，

?an?1?1?n?1nn.

Cn?1?1?1n(n?1)nn?1（2）由题意，，

?Sn?C1?C2???Cn ?(1?1)?(1?1)???(1?1)223nn?1 ?1??1n?1

1?1n?1，

?n?N,?1?Sn?1即成立.

na1[1?(?1)]n2Sn??2a1[1?(?1)]321?(?1)219.解：（1）

nnn(?1)??(1)?(1)2，当n=1时，2最小， 当n是奇数时，2nnn(?1)?(1)(1)2，当n=2时，2最大； 当n是偶数时，2综上，（2）?S2?Sn?S1.

，

n?|?(n)|?|a1a2a3?an||?(n?1)||?(n)|?|an?1|?2011(1)2，

?2011?1?2011111022，

|(n?1)|?|?(n)||(n?1)|?|?(n)|则当n?10时，?；当n?11时，?，

?|?(n)|max?|?(11)|，

，

又?(10)?0,?(11)?0,?(9)?0,?(12)?0??(n)?的最大值是?(9),?(12)中的较大者.

?(12)?a?(9)10103a11a12?[2011(?1)]?12，

??(12)??(9)，因此当n=12时，?(n)最大.

（3）对an,an?1进行调整，|an|随n增大而减小，{an}奇数项均正，偶数项均负. ①当n是奇数时，调整为an?1,an?2,an.则

ann?11)n?1?a1an?1?an?a1(?1)?a1(?1)?12a?2a(?n?21nn2222，2， ?an?1?an?2an?2,an?1,an?2,an成等差数列；

②当n是偶数时，调整为an,an?2,an?1；则

ann?11)n?1??a1an?1?an?a1(?1)?a1(?1)??12a?2a(?n?21nn2222，2， ?an?1?an?2an?2,an,an?2,an?1成等差数列；

综上可知，

{an}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.

3an?1ndn?an?2?an?1?a1[(?1)?(?1)]?n?11222①n是奇数时，公差； 3an?1n?1dn?an?2?an?a1[(?1)?(?1)]?n?11222②n是偶数时，公差.

3a12n?1无论n是奇数还是偶数，都有因此，数列

{dn}dn?dn，则

dn?1?12，

3a11是首项为4，公比为2的等比数列.

20、解：（1）根据题设中有关字母的定义，

k1?2,k2?1,k3?0,k4?1,kj?0(j?5,6,7?)

b1?2,b2?2?1?3,b3?2?1?0?3,b4?4,bm?4(m?5,6,7,?)g(1)?b1?4?1??2g(2)?b1?b2?4?2??3,g(3)?b1?b2?b3?4?3??4,g(4)?b1?b2?b3?b4?4?4??4,g(5)?b1?b2?b3?b4?b5?4?5??4.

，根据“数列A含有n项”及

bj（2）一方面，

g(m?1)?g(m)?bm?1?n的含义知

bm?1?n，

故g(m?1)?g(m)?0，即g(m)?g(m?1) 另一方面，设整数所以

M?max?a1,a2,?,an?b?n，则当m?M时必有m，

g(1)?g(2)???g(M?1)?g(M)?g(M?1)??

所以g(m)的最小值为g(M?1). 下面计算g(M?1)的值：

g(M?1)?b1?b2?b3???bM?1?n(M?1)

?(b1?n)?(b2?n)?(b3?n)???(bM?1?n)?(?k2?k3???kM)?(?k3?k4???kM)?(?k4?k5???kM)???(?kM)??[k2?2k3???(M?1)kM]

??(k1?2k2?3k3???MkM)?(k1?k2???kM)??(a1?a2?a3???an)?bM??(a1?a2?a3???an)?n

， ∴g(M?1)??100,

∵

a1?a2?a3???an?n?100∴g(m)的最小值为?100.

T

所以g(m)的最小值为g(M?1). 下面计算g(M?1)的值：

g(M?1)?b1?b2?b3???bM?1?n(M?1)

?(b1?n)?(b2?n)?(b3?n)???(bM?1?n)?(?k2?k3???kM)?(?k3?k4???kM)?(?k4?k5???kM)???(?kM)??[k2?2k3???(M?1)kM]

??(k1?2k2?3k3???MkM)?(k1?k2???kM)??(a1?a2?a3???an)?bM??(a1?a2?a3???an)?n

， ∴g(M?1)??100,

∵

a1?a2?a3???an?n?100∴g(m)的最小值为?100.

T

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