2011年北京市高考数学(理科)试题及答案

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2011年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合P {x|x2 1}，M {a}.若P M P,则a的取值范围是

（A）[1, ) （C）[ 1,1] （D）( , 1] [1, ) ( , 1] （B）（2）复数

i 21 2i

45 35

i （D）

45 35i

（A）i （B） i （C）

（3）在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是

（A）(1,

2

) （B）(1,

2

) （C）(1,0) （D）(1, )

（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A） 3

1

（B）

2

1

（C）

3

（D）2

数学（理）（北京卷） 第1页 （共5页）

（5）如图，AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F，延长AF与圆O交于另一点G。

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给出下列三个结论：

① AD AE AB BC CA；

② AF AG AD AE；

③ AFB ADG

其中，正确结论的序号是

（A）① ② （B）② ③

（C）① ③ （D）① ② ③

ABG

D x A （6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）

为f(x)

cx A（A,c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟， 那么c和A的值分别是

（A）75,25 （B）75,16 （C）60,25 （D）60,16 （7

最大的是 （A） 8

（B）

（C） 10

（D）

俯视图

（8）设A(0,0)，B(4,0)，C(t 4,4)，D(t,4)（t R），记N(t)为平行四边形内

部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t)的 值域为

（A）{9,10,11} （B）{9,10,12} （C）{9,11,12} （D）{10,11,12}

数学（理）（北京卷） 第2页 （共5页）

第二部分（非选择题 共110分）

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二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在 ABC中，若b 5, B

（10

）已知向量a ，b (0,

1)，c (k,，若a 2b与c共线，则k 。

（11）在等比数列{an}中，若a1

12

4

，tanA 2，则sinA a

，a4 4，则公比q

|a1| |a2| |an| 。

（12）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个。 （用数字作答）

2

x 2 ,

（13）已知函数f(x) x过关于x的方程f(x) k有两个不同的实根，则实

(x 1)3,x 2

数k的取值范围是 。

（14）曲线C是平面内与两个定点F1( 1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a 1)的点

的轨迹，给出下列三个结论： ① 曲线C过坐标原点；

② 曲线C关于坐标原点对称；

③ 若点P在曲线C上，则 F1PF2的面积不大于其中，所有正确结论的序号是 。

12a；

2

数学（理）（北京卷） 第3页 （共5页）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

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（15）（本小题共13分）

已知函数f(x) 4cosxsin(x （I）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[

6

) 1，

6,4

]上的最大值和最小值；

（16）（本小题共14分）

如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD 是菱形，AB 2, BAD 60 。

P（I）求证：BD 平面PAC

（Ⅱ）若PA AB，求PB与AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长； A B

（17）（本小题共13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊无法确认，在图中以X表示。

甲 组 乙 组

9 9 0 X 8 9

1 1 1 0

（I）如果X 8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X 9，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望；

1

注：方差s2 [(x1 )2 (x2 )2 (xn )2]，其中为x1,x2, ,xn的平均数

n

数学（理）（北京卷） 第4页 （共5页）

（18）（本小题共13分）

C

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x

已知函数f(x) (x k)ek。 （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的x (0, )，都有f(x)

（19）（本小题共14分）

已知椭圆G:

x

2

2

1e

，求k的取值范围；

4

y 1，过点(m,0)作圆x y 1的切线l交椭圆G于A,B两点，

222

（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标及离心率；

（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值；

（20）（本小题共13分）

若数列An:a1,a2, ,an（n 2）满足ak 1 ak 1(k 1,2, ,n 1)，则称An为E数列，记S(An) a1 a2 an。

（Ⅰ）写出一个满足a1 a5 0，且S(A5) 0的E数列A5；

（Ⅱ）若a1 12,n 2000，证明E数列An是递增数列的充要条件是an 2011； （Ⅲ）对任意给定的整数n(n 2)，是否存在首项为0的E数列An，使得S(An) 0，如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由。

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

数学（理）（北京卷） 第5页 （共5页）

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