电磁场与电磁波 课后答案（冯恩信 著）

第一章 矢量场

?????3y??z??y??2z??y??z?;B?x?;C?3x? 1.1 A?2x????????求:(a) A ； (b) b ； (c) A?B ； (d) B?C ； (e) (A?B)?C ???(A?B)?C (f)

?1222222??B??y??2z?) (x解：(a) A?Ax?Ay?Az?2?3?1?14; (b) b??6B??????7y??4z? ( c) A?B?7; (d) B?C??x?????2y??4z? (A?B)?C?2x(e)

???(A?B)?C??19 (f)

????????z??3???2z? ?; B???1.2 A?2????????求:(a) A ； (b) b ； (c) A?B ； (d) B?A ; (e) A?B

??12????);(c) A?B?3??4 (???3??2z解：(a) A?5??;(b) b?14????3???(??6)z? (d) B?A?(3?2?)?????(??3)???z? (e) A?B??????2??? ?; B?r????????1.3 A?2r???????求:(a) A ； (b) b ； (c) A?B ； (d) B?A ; (e) A?B

??12???(r???) ； (c) A?B?2??2 ； 解：(a) A?4?5? ； (b) b?1??2????2???2???3??? ; (e) A?B?3r??2??? (d) B?A?2?r????2y??z?; B??x??y??3z? 1.4 A?x??当A?B时，求?。

????解：当A?B时，A?B=0, 由此得 ???5

???,F2(x,y,z)?y?分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表1.5 将直角坐标系中的矢量场F1(x,y,z)?x示。

解：(1)圆柱坐标系

???cos????sin???????sin?;F2?y????cos? 由(1.2-7)式，F1?x(2)圆球坐标系

??cos?cos?????r?sin?cos????sin? 由(1.2-14)式, F1?x??cos?sin?????r?sin?sin????cos? F2?y

????用直角坐标系中的坐标分量表示。 1.6 将圆柱坐标系中的矢量场F1(?,?,z)?2?,F2(?,?,z)?3??2??2cos?x??2sin?y????yy?) 解：由(1.2-9)式，F1?2?(xx22x?y?3???3sin?x??3cos?y????xy?) F2?3?(?yx22x?y???用直角坐标系中的坐标分量表示。 ?1.7将圆球坐标系中的矢量场F1(r,?,?)?5r,F2(r,?,?)???5??sin?sin?y??cos?z??yy??zz?)??)F1?5(sin?cos?x(xx222解：由(1.2-15)式， x?y?z???xy???yy??zz??yxxx??cos?sin?y??sin?z?)????r??F2?(cos?cos?x?x2?y2x2?y2?z211??yzy??(x2?y2)z?} ?{xzx22222x?y?zx?y1.8求以下函数的梯度：

(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6

f(?,?,z)?2sin???z?4

(c) f(r,?,?)?2rcos??5??2

??10xy??xz? 解：(a) ?f?(5?10y?z)x2cos??????z? ?f??z??(b)

(b)

?5? ?rsin??12??y?)方向的变化率。 (x1.9 求标量场f(x,y,z)?xy?2z在点(1,1,1)沿l?2?f1??f?l??(y?x) 解：?l2(c)

????2sin???f?2cos?r

??1.10 在球坐标中，矢量场F(r)为 ??k? F(r)?2rr??其中k为常数，证明矢量场F(r)对任意闭合曲线l的环量积分为零，即 ???F?dl?0

????解：由斯托克斯定理, ?F?dl?????F?dS

lsl???k?)?0 所以 ?F?dl?0 因为??F???(2rrl1.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。

1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。 1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a)式。 1.14计算下列矢量场的散度

??zyy??xzz? ?yzx???zsin????2z? b) F??????r?? ??rcos??c) F?2r?解：(a) ??F?x?z

?zcos?(b) ??F?2?a) F??

(c)

?4cos2???F???sin?rsin?

1.15计算下列矢量场的旋度

??2yzy??z? ?xyx???sin??? b) F?2????sin??? ???c) F?rr???xz? 解： (a) ??F??2yx?sin??z (b) ??F?a) F???1?????sin???) (c) ??F?(2cos?rr1.16计算 a) ??,?r,?ekr?kr??b)??(??),??r,??(ke) ???) c)???,??r,??(z?

???????; ?????z????????z??????????; ?r?r?????r?rr??rsin????kekr ?ekr?ekr?(kr)?kekr?r?r?1?(??)?2; (b) ????????1?2??r?2(rr)?3;

?rr??kr???krkrkr?kekr ??(ke)?k??e?e??k?k??e?k?r???)??? (c) ????0;??r?0;??(z??????xy?，计算A?(??A) 1.17已知A?yx????;A?(??A)?0 解：??A??2z???1.18已知??F??(x)?(y)?(z),??F?0,计算F

??解：根据亥姆霍兹定理，因为??F?0，所以A?0

???1?'?F(r')1?(x')?(y')?(z')1?(r)?dV'?dx'dy'dz'????4????R4?R4?rVV解：(a) ?????

题2-2图F??????r? ?F?4?r2?0,??F?1.19已知??z??(x)?(y)?(z),计算F? ??F?解：根据亥姆霍兹定理，因为?0，所以?A??1?'?F??0

1?(x')??4????dV'??(y')?(z')zdx'dy'dz'?z4?r VR4????VRF????A??1??z??1(?1??1??z?)?z??r? ?4?r4?r?zr4?r21.20求矢量场F?????????zz?穿过由??10,????,0?z?1确定的区域的封闭面的通量。

解：根据高斯定理，矢量场F????????zz?穿过由??1,0????,0?z?l确定的区域的封闭面的通量

????F??dS???????F?dV

SV因为 ??F??1????(?F1?F??F?)?????z?z?3 所以

???????F?dV?3V?3?2l V2

第二章习题解

2-1.已知真空中有四个点电荷q1?1C，q2?2C，q3?4C，q4?8C，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，

(-1,0,0,)解：设r?，?(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。

R??z?,r1'?x?,?r'?y?,?r?x?,?23'?r??2'??y? 1?r?r1'??x??z?;R??????;R???2?r?r2'??y??z?;R3?r?r3'?x??z?4?r?r4'?y??z?

E??1(q1R?1q2R?2?q3R?3q4R?43x??6y??15z?4??2?22?2)?0R1R2R3R44??

08

2-2.已知线电荷密度为?l的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P点的电场强度。

(a) (b) (c)

?????解：(a) 由对称性E??E?1?E?2?E?3?E4?0

(b) 由对称性E?E1?E2?E3?0

(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为

???Ea?E1?E2??l?l??y?)?(?x??y?)}??? {(xy4??0a2??0a半径为a的半圆环线电荷产生的电场为

?l? y2??0a???总电场为E?Ea?Eb?0

2-3.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为?s，求轴线上的电场强度。

解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ad?的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为

?Eb??l??sad?,对?积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为

???sar?d??s??s??? E???(?sin?y?cos?x)d???y?2??0a2??00??00题2-3图 题2-4图

2-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为?s，求空间任一点上的电场强度。 解: 在平板上

x'处取宽度为dx'的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为?l??sdx'，在点

(x,y)处产生的电场为 ??dx'1?s?dE(x,y)?

2??0?其中 ?(x?x')?y对x'积分可得无限长的宽度为a的平板上的电荷在点(x,y)处产生的电场为 ??s(x?a/2)2?y2x?a/2x?a/2?ln?E(x,y)?{x?y2(arctg?arctg)} 224??0yy(x?a/2)?y2-5.已知电荷分布为

?(x?x')2?y2?；????yy?(x?x')x22

?r2????a2;r?a

??0;r?a?s?b;r?a

r为场点到坐标原点的距离，a，b为常数。求电场强度。

解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理

??q??E?dS?s??2E?dS?4?rEr 等式左边为 ??s?0

?4?r5;r?a?2?5aq??32半径为 r 的球面内的电量为 a?5ba?4?;r?a?5?因此，电场强度为

?r3;r?a??5?0a2 Er??32a?5ba?;r?a2??5?0r

2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为

r??;r?a ???a??0;r?ar为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。

解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理

??q??E?dS?s??等式左边为 ??E?dS?2?rEr

s?0

?2?r3;r?a??3a半径为 r 的圆柱面内的电量为q?? 2?2?a;r?a??3因此，电场强度为

?r2;r?a??3a?0 Er??2a?;r?a??3?0r2-7. 在直角坐标系中电荷分布为

??0;x?a?(x,y,z)??

0;x?a?求电场强度。

解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，

取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为Ex2S,方形封闭面内的电量为

?2xS?0;x?aq??

2aS?;x?a0???0x;x?a???因此，电场强度为 Ex??0 题2-9图

?0a?;x?a???0题2-7图

2-8. 在直角坐标系中电荷分布为

?(x,y,z)???x;x?a

?0;x?a求电场强度。 解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面

?x2S;x?a积为 S的电通量为Ex2S,方形封闭面内的电量为 q??2

aS;x?a???x2?x2;0?x?a?;?a?x?0???2?0?2?0因此，电场强度为 Ex?? Ex??22?a0???a;x??a;x?a??2?0?2?0?

2-9.在电荷密度为?（常数）半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+c

解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为

???REa?3?0

完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为

???rEb??3?0

所以，空腔中某点的电场为

????????cE?Ea?Eb?(R?r)?3?03?0?c为从球心指向空腔中心的矢量。

2-10.已知电场分布为

?2x?x;?b/2?x?b/2?b???;x?b/2 E??x??;x?b/2?x??求电荷分布。

?解:由??E??/?0得

2????0;x?b/2???0??E??b

??0;x?b/22-11. 已知在圆柱坐标中，电场分布为

?Cr???;a?r?b E??r??0;r?a,r?b求电荷分布。

?解: 由??E??/?0得

????0??E?0

在r=a,r=b的面上，电场不连续，有面电荷.电荷面密度为

?s?Dn??0En????Ax?B

??0C/a;r?a

???0C/b;r?b2-12.若在直角坐标系中电位为 其中A，B均为常数，求电荷密度。 解:由?2????/?0得

????0?2??0

2-13.分别计算方形和圆形均匀线电荷在轴线上的电位。 (a) (b)

解:(a) 方形均匀线电荷在轴线上的电位 对于方形，每条边均匀线电荷的电位

Ld2?()2?L/2??dx'2 ?(d)?l??lln224??0?L/2d?x'4??0Ld2?()2?L/22222其中 d?z?(L/2)

L/2方形均匀线电荷在轴线上的电位为

?lz2?L2/2?L/2?(z)?ln

22??0z?L/2?L/2(b) 圆形均匀线电荷在轴线上的电位

??(z)?l4??02??0ad?'a?z22?a?l2?0a?z22

2-14.计算题2-5给出的电荷分布的电位。

解: 题2-5给出的电荷分布的电场为

?r3;r?a?25?a? Er??302a?5ba?;r?a2??5?0r由电位的定义,电位为

??(r)??Erdr

r对于r>a

a3?5ba2a3?5ba2?(r)??dr?25?0r5?0rr对于r

?a?

??(P0为常数）。2-15.半径为a，长度为L的圆柱介质棒均匀极化，极化方向为轴向，极化强度为P?P0z求介质中的束缚电荷以及束缚电荷在轴线上产生的电场。 解: (1)介质中的束缚电荷体密度为?'????P?0

???P (2) 介质表面的束缚电荷面密度为?'s?n在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为?'s(3) 上下端面上束缚电荷产生的电场

由例题2.2, 圆盘形电荷产生的电场为

a3?5ba2r3a2?5baa2r4?(r)??dr??dr???225?020?020?0a25?0rar5?0a?

??P0.

z'??s(1?);z'?0?22?2?z'?a Ez(z')??0?sz'??(1?);z'?022?z'?a?2?0式中a 为圆盘半径。将坐标原点放在圆柱介质棒中心。 对上式做变换,z'?z?L/2,?s?P0,可上端面上束缚电荷产生的电场为

z?L/2?P0(1?);z?L/2?2?22(z?L/2)?a?0 Ez1(z)??P0z?L/2??(1?);z?L/2222?0?(z?L/2)?a?同理,做变换,z'?z?L/2,?s??P0,可下端面上束缚电荷产生的电场为 z?L/2??P0(1?);z??L/2?2?22(z?L/2)?a?0 Ez2(z)??P0z?L/2?(1?);z??L/2222??(z?L/2)?a?0上下端面上束缚电荷产生的总电场为

?P0z?L/2z?L/2?(?);z?L/222222?0(z?L/2)?a?(z?L/2)?a?z?L/2z?L/2?PEz??0(?2??);?L/2?z?L/2

2222(z?L/2)?a(z?L/2)?a?2?0?P0z?L/2z?L/2(?);z??L/2?22222?0(z?L/2)?a(z?L/2)?a??

??，求束缚电荷分布及束缚电荷在球中心产生的电场。 P?P0z??'????P?0 解: (1)介质中的束缚电荷体密度为

2-16.半径为a的介质球均匀极化，

(2) 介质表面的束缚电荷面密度为 ?'s在介质球表面取半径为r???P0?P0cos? 题2-16图 ??r?n?P?z(3) 介质表面的束缚电荷在球心产生的电场

?asin?宽度为dl?ad?的环带,可看成

半径为r?asin?,z??acos?,电荷线密度为?l?aP0cos?d?的线电荷圆环,例2.1给出了线电荷

圆环的电场,对?积分得

P0?P0?P0a3sin?cos2?d?2Ez???cos?dcos??223/22?0?2?0?3?00[(asin?)?(acos?)]0

2-17.无限长的线电荷位于介电常数为?的均匀介质中，线电荷密度?l为常数，求介质中的电场强度。 解: 设无限长的线电荷沿 z轴放置, 利用高斯定理,容易求得介质中的电场强度为

E???l2??? ?为场点到线电荷的距离.

2-18. 半径为a的均匀带电球壳，电荷面密度?s为常数，外包一层厚度为d、介电常数为?的介质，求介质内外的电场强度。

解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，利用高斯定理

????D?dS?q

S上式左右两边分别为 4?r2Dr?4?a2?s

a2?s由此得 Dr?r2

?a2?s;a?r?a?d?????r2因为D??E，所 以 Er??

a2?s?;r?a?d2???0r2-19.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为?，求两导体球壳之间的电容。

解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为

Er?bq4??r2

两导体球壳之间的电压为

V??Erdr?aq11(?) 4??ab?q4??ab ?Vb?a两导体球壳之间的电容为 C2-20. 两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为?1、?2，介质界面半径为c，求两导体球壳之间的电容。

解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理可得，

Dr?q4?r2

两导体球壳之间的电场为

?q;a?r?c2??4??1r Er??q?;c?r?b2??4??2r两导体球壳之间的电压为

bV??Erdr?aq11(?) 4??ab?q4??ab ?Vb?a两导体球壳之间的电容为 C2-21. 圆柱形电容器，内外导体半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为?，介质的击穿场强为Eb，求此电容器的耐压。

解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有轴对称性，取半径为 r的柱面，忽略边缘效应，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为

Er?q2??rl

内导体表面上的电场最强，设等于击穿场强Eb，则q表示为

?Eb2??al。两导体球壳之间的电场用击穿场强EbEr?aEbrb

两导体球壳之间的耐压为

Vmax??Erdr?aEblnab a??4y??5z?，试求点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压。 ?3x??????E?0解：由于，从而?E?dl?0，即对E的线积分与路径无关，因此从点(0,0,0)到点(1,2,1)之

2-22.已知电场强度为E??间对E的线积分的路径可取沿如图所示的路径，点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压为

l题2-22图

2?1???dx??E?y?dy??E?z?dz?6 V??E?x1000?3?，试求点(a,?1,?1)与点(b,?2,?2)之间的电压。 2-23.已知在球坐标中电场强度为E?2rr????解：由于??E?0，从而?E?dl?0，即对E的线积分与路径无关，因此从点(a,?1,?1)到点?(b,?2,?2)之间对E的线积分的路径可取从(a,?1,?1)沿径向到点(b,?1,?1)，再从(b,?1,?1)沿球面

?到点(b,?2,?2)的路径，而第二条路径的切向与E垂直，线积分为零，因此

??b33(b?a) V??E?dl??2dr?balar?2?，试求点(a,?1,0)与点(b,?2,0)之间的电压。 ?2-24.已知在圆柱坐标中电场强度为E??????解：由于??E?0，从而?E?dl?0，即对E的线积分与路径无关，因此从点(a,?1,0)到点(b,?2,0)?之间对E的线积分的路径可取从(a,?1,0)沿径向到点(b,?1,0)，再从(b,?1,0)沿柱面到点(b,?2,0)的

?路径，而第二条路径的切向与E垂直，线积分为零，因此

??b2bV??E?dl??d??2ln

?ala2-25已知真空中一内外半径分别为a、b的介质球壳，介电常数为?，在球心放一电量为q的点电荷，求电

场强度。

ll??解：由题意，电场具有球对称结构。利用高斯定理??D?dS?q，在半径为r的球面上

Sq Dr?4?r2??由D??E得

?q;r?a,r?b??4??0r2Er??

q?;a?r?b??4??r2

2-26.有三层均匀介质，介电常数分别为?1,?2,?3,取坐标系使分界均平行于xy面。已知三层介质中均为

?????匀强场，且E1?3x?2z，求E2,E3。

???2z?，设第二、三层介质中的电场强度分别为 解：因为三层介质中均为匀强场，E1?3x????E3yy??E3zz??? ?； E3?E3xxE2?E2xx?E2yy?E2zz由边界条件E1t由边界条件D1n?E2t可得 ?D2n， 可得

E2x?E3x?E1x?3， E2y?E3y?E1y?0

D2z?D3z?D1z?2?1，即E2z?2?1/?2；E3z?2?1/?3

????2?1/?2z?，E3?3x??2?1/?3z? 所以 E2?3x题2-27图 题2-28图

2-27.半径为a的导体球中有两个半径均为b的球形腔，在其中一个空腔中心有一个电量为q的点电荷，如图所示，求导体球腔中及球外的电场强度。

?解：（1）在有点电荷的空腔中，由于对称性，电场强度为E1??qR14??0R12?R，1为从空腔中心指向该空腔

中场点的位置矢量。

（2）在另一没有点电荷的空腔中，由于静电屏蔽，该空腔中的电场强度为零。

（3）在导体球外，由于导体球为等位体，除了导体球面上外，导体球外没有电荷，因此导体球外电场具有球对称性，且导体球上的电量为q,所以导体球外的电场强度为

Er?

q4??0r2 r为导体球心到场点的距离。

2-28.同轴圆柱形电容器内外半径分别为a、b，导体之间一半填充介电常数为?1的介质，另一半填充介电常数为?2的介质。当电压为V时，求电容器中的电场、电容及电荷分布。

解：设内导体上的电量为q,在内外导体之间取半径为 r的圆柱面，利用高斯定理

????D?dS?q

S在两个半柱面上，电场强度分别相等，上式变为

2?rl(?1E1r??2E2r)?q

由介质边界条件E1r?E2r?Er，可得

qEr?

2?l(?1??2)rb内外导体之间的电压为 V??Erdr?aq2?l(?1??2)lnb a由此得q?2?l(?1??2)Vblna

；从而得

brlnaq2?l(?1??2)C??

bVlna??，电荷分布为 由?s?D?n??1V??2V;r?a;r?a??bb?aln?aln??aa；?2介质侧?s?? ?1介质侧?s???1V?2V????;r?b;r?bbb?bln?bln??aa??2-29.z>0半空间为介电常数为?1的介质，z<0半空间为介电常数为?2的介质，当

(1)电量为q的点电荷放在介质分界面

(2)电荷线密度为?l的均匀线电荷放在介质分界面 求电场强度。

解：（1）电量为q的点电荷放在介质分界面

以点电荷为中心作以半径为r的球，利用高斯定理

Er?V????D?dS?q

S??设上、下半球面上的电位移矢量分别D1、D2，根据对称性，在上、下半球面上大小分别相等，有

2?r2(D1n?D2n)=q

根据边界条件E1t?E2t，因此

En?

q2?(?1??2)r2（2）电荷线密度为?l的均匀线电荷放在介质分界面

以线电荷为轴线作以半径为r单位长度的圆柱面，利用高斯定理

????D?dS??l

S??设上、下半柱面上的电位移矢量分别D1、D2，根据对称性，在上、下半柱面上大小分别相等，有

?r(D1n?D2n)=?l

?r(?1E1n??2E2n)=?l

根据边界条件E1n?E2n，因此

En??l?(?1??2)r

2-30.面积为A，间距为d的平板电容器电压为V，介电常数为?厚度为t的介质板分别按如图a、b所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中的电容、电场及电荷分布。

题2-30图

??解：（a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为Ee、E0，那么Ee、E0满足关系 Eet?E0(d?t)?V

?Ee??0E0 （边界条件）

求解以上两式得

Ee?Vt??r(d?t)； E0??rV

t??r(d?t)根据导体表面上的边界条件?s?Dn，在上、下导体表面上的电荷面密度为

电容为 C?V ?s??t??r(d?t)?sA?V??AS

t??r(d?t)?Dn，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为

(b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为

E?V/d

根据导体表面上的边界条件?s?0s???0V/d

在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为

?es???V/d

?0sA0??esAe?0A(a?t)?At??电容为 C?

Vadad2-31.电荷分布为

?0;x?0??(x)??x;0?x?d

?0;x?d?在x=0处电位为0，求电位分布。

解：由电荷分布可知，电位仅是x的函数，电位满足的方程为

d2???x/?0;0?x?d??2dx?0;x?0,x?d其通解为

x3在0?x?d ?1???c1x?c2

6?0在x?0 ?2?c3x?c4 在x?d ?3?c5x?c6 设?(x?0)?0，根据边界条件 ?1??2当

d?1d?2d?1d?3; ??x?0x?ddxdxx?0dxdxx?d??x??时，电荷分布可看成薄层，薄层外电场具有对称分布，E2??E3，即

?0;?1??3;

?d?3d?2 ?dxx???dxx??

d2d3得c2?c4?0;c1?c3??c5?;c6?4?03?0?d2x;x?0?4?0?d2?x3?x;0?x?d 即 ?(x)????6?04?0?d2d3??4?x?3?;x?d00?2-32.两块电位分别为0和V的半无限大的导电平板构成夹角为?的角形区域，求该角形区域中的电位分布。

解：由题意，在圆柱坐标系中，电位仅是?的函数，在导电平板之间电位方程为

1d2?????0 2?d?其通解为 ??c1??c0

由边界条件?(??0)?0;?(???)?V，得

V???

???V c 2

? b ??0 a 题2.32A图 题2.31图

2-33.由导电平板制作的金属盒如图所示，除盒盖的电位为V外，其余盒壁电位为0，求盒内电位分布。 解：用分离变量法，可得电位的通解为

??(x,y,z)?n,m?1?Amnsinm?n?xsiny(e??z?Bmne?z) acm?2n?)?()2 ac利用边界条件?(z?0)?0;?(z?b)?VBmn??1

??(，可求出系数

Amn?Amn16V （m、n为奇数）

mn?2sh(?b)?0 （m、n为偶数）

题2-33图 题2-34图 2-34.在E??的匀强电场中沿z轴放一根半径为a的无限长导电圆柱后，求电位及电场。 ?E0x?解：由分离变量法，无限长导电圆柱外的电位的通解为

?(?,?)?c0ln??d0??(cm?m?dm??m)(cosm??bmsinm?) （1）

m?1设?(??0)?0，当???时的电位等于无导电圆柱的电位，即

0??dx??E0x??E0?cos??(???)??0(???)??E0?xx （2）

要使式（1）的电位在???时等于式（2），可得到系数

c1??E0，cm?1?0，bm?0，d0?0 再由导体界面的边界条件?(??a)?0得 d1?a2E0,dm?1?0

因此，电位的特解为

?(?,?)??E0(??方的电场。

a2?)cos?

2-35.在无限大的导电平板上方距导电平板h处平行放置无限长的线电荷，电荷线密度为?l，求导电平板上解:用镜像法,导电平板的影响等效为镜像位置的一个电荷线密度为-?l的线电荷, 导电平板上方的电场为

????lr1r2E?(?2)

12??0r1r2??式中r1、r2分别为线电荷及其镜像线电荷到场点的距离矢量。

?2-36.由无限大的导电平板折成45的角形区，在该角形区中某一点(x0,y0,z0)有一点电荷q，用镜像法求电位分布。

解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电面为镜面可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为(x0,y0,z0)，在圆柱坐标系中为(?0,?0,z0)，另外7个镜像电荷在圆柱坐标系中的坐标为

?i??0;zi?z0 i?1,?7

?1?900??0;?2?900??0;?3?1800??0;?4?1800??0;?5?2700??0;

?6?2700??0;?7???0

镜像电荷为q1??q;q2?q;q3??q;q4?q;q5??q;q6?q;q7??q 对于场点(x,y,z)，电荷到场点的距离矢量为 ???(y?yi)y??(z?zi)z?；i?0,?7 ri?(x?xi)x???q7ri则场点的电场为E(r)??

4??0i?0ri3

题2-36图 题2-37图

2-37.半径为a，带电量为Q的导体球附近距球心f处有一点电荷q，求点电荷q所受的力。

解：点电荷q 受到的力（场）有两部分，一部分等效为镜像电荷q'的力，另一部分等效为位于球中心的点电荷q\的力。由镜像法，镜像电荷q'的大小和位置分别为

aa2q'??q;d?ff

由于包围导体球的总电量为Q，所以位于位于球中心的点电荷q\=Q-q';因此点电荷q 受到的力为

?qQ?aq/faq/f?F?x[?] 224??0f(f?d)2-38.内外半径分别为a、b的导电球壳内距球心为d(d

(1)导电球壳电位为零； (2)导电球壳电位为V；

(3)导电球壳上的总电量为Q； 分别求导电球壳内外的电位分布。 解：（1）导电球壳电位为零

由于导电球壳电位为零，导电球壳外无电荷分布，因此导电球壳外的电位为零。 导电球壳内的电位的电位由导电球壳内的点电荷和导电球壳内壁上的电荷产生，而导电球壳内壁上的电荷可用位于导电球壳外的镜像电荷等效，两个电荷使导电球壳内壁面上的电位为零，因此镜像电荷的大小、距球心的距离分别为

a2aq'??q；f?dd导电球壳内的电位为

??q4??0{qq'?} r1r2

其中r1、r2分别为场点与点电荷及镜像电荷的距离，用圆球坐标表示为

r1?r2?d2?2rdcos?a22a2r2?r?()?2r()cos?dd2

（2）导电球壳电位为V

当导电球壳电位为V时，从导电球外看，导电球面是等位面，且导电球外的电位是球对称的，其电位满足

??c r?bVr

利用边界条件得 ?导体球壳内的电位可看成两部分的叠加，一部分是内有点电荷但球壳为零时的电位，这一部分的电位同前；另一部分是内无点电荷但球壳电位为V时的电位，这一部分的电位为V。因此导电球壳电位为V时，导电球壳内的电位为

4??0其中r1、r2分别为场点与点电荷及镜像电荷的距离。

(3)导电球壳上的总电量为Q

当导电球壳上的总电量为Q时，从导电球外看，导电球面是等位面，且导电球外的电位是球对称的，导电球壳内的总电量为Q+q,其电位满足

??q{qq'?}?Vr1r2

??Q?q4??0r

导电球壳上的电位为U?Q?q

4??0b

同上得，导电球壳内的电位为

??q4??0{qq'?}?Ur1r2题2-38图 题2-39图

2-39.无限大导电平面上有一导电半球，半径为a，在半球体正上方距球心及导电平面h处有一点电荷q，求该点电荷所受的力。

解：要使导体球面和平面上的电位均为零，应有三个镜像电荷，如图所示。三个镜像电荷的电量和位置分别

aa2a2;?q',z??;?q,z??h 为q'??q,z?hhh点电荷q所受的力为三个镜像电荷的电场力，即

??q2a/ha/h1F?z{???} 222224??0(h?a/h)(h?a/h)(2h)力的正方向向上。

2-40. 无限大导电平面上方平行放置一根半径为a的无限长导电圆柱，该导电圆柱轴线距导电平面为h，求导电圆柱与导电平面之间单位长度的电容。

?l，导电平面可用镜像位置的线电荷等效，镜像电荷线密度为-?l。

由导体圆柱的镜像法可求得导体圆柱的电位?，那么，单位导体圆柱与导电平面之间的电容为

?2??0 C?l?22?h?h?aln()a解：如果无限长导电圆柱上有电荷线密度

题2-40图

2-41. z>0半空间为介电常数为?1的介质，z<0半空间为介电常数为?2的介质，在界面两边距界面为h的对称位置分别放置电量分别为q1和q2的点电荷。分别计算两个点电荷所受得力。

解：利用镜像法，计算z>0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(b)，计算z<0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(c)。这样上半空间的电位可表示为

?1?14??114??2(q1q'2?) r1r2q2q'1?) r3r4式中r1为q1到场点的距离，r2为q1的镜像位置的电荷q'2到场点的距离；下半空间的电位可表示为

?2?(式中r3为q2到场点的距离，r4为q2的镜像位置的电荷q'1到场点的距离。利用边界条件，

ss(q1?q'2)/?1?(q'1?q2)/?2 (q1?q'2)?(q'1?q2)

由此得

?1??2和D1n?D1n得

q'1?q'2?2?2???2q1?1q2

?1??2?1??22?1???2q2?1q1

?1??2?1??2q1和q2所受的斥力分别为

F1?q1q'216??1h2 F2?q'1q216??2h2

(a) (b) (c) 题2-41图

2-42.真空中半径为a的导体球电位为V，求电场能量。 解：用两种方法求解。 1） 用电位求电场能量

We?11?q??2C?2??0aV2 22aVr22） 用电场强度求电场能量

导体球内的电场强度为零，导体球外的电场强度为

Er?

电场能量为

11aVWe?????0E2dV??0?(2)24?r2dr?2??0aV2

22arV2-43.圆球形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为?1、

??2的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。

解：设圆球形电容器内导体上的电荷为 q，由高斯定理可求得在内外导体之间

Dr?q4?r2b

从而可求得内外导体之间的电压为

cbV??Erdr??(Dr/?1)dr??(Dr/?2)dr?aacq111111{(?)?(?)} 4??1ac?2cb圆球形电容器的电容为

C?q?V4??1?2

1111?2(?)??1(?)accb2??1?2V2

1111?2(?)??1(?)accb电场能量为

1We?V2C?2

2-44. 长度为d的圆柱形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为?1、?2的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。 解：设圆柱形电容器内导体上的电荷为q，用高斯定理，在内外导体之间

Dr?q2?rd

内外导体之间的电压为

bcbV??Erdr??(Dr/?1)dr??(Dr/?2)dr?aacq1c1b{ln?ln} 2?d?1a?2c内外导体之间的电容为

2??1?2d

cb?2ln??1lnac12电场能量为 We?VC?2C?q?V2-45.两尺寸为a×a的平行导电平板之间距离为d，带电量分别为?q,当将介电常数为?的介质板插入导电板之间深度为x时，分别求介质板所受的电场力。 a ? x

题2.45图

解：设空气填充部分和介质填充部分导电平板上的电荷密度分别为?2??1?2dV2cb?2ln??1lnac

?s1、??s2由导体边界条件得

，因此

D1??s1，D2??s2；由介质边界条件得E1?E2或

D1?1?D2?2?s2??2?s1 ?1?S1?s1?a(a?x)?s1，

空气填充部分和介质填充部分导电平板上的电量分别为q1q2?S2?s2?ax?s2。由q?q1?q2及?s2??2?s1得 ?1

?s1??1qa(a?x)?1?ax?2 ?s2??2qa(a?x)?1?ax?2平行导电平板之间的电场能量为

121q2d2We?(q1/C1?q2/C2)?{}

22a(a?x)?1?ax?2由虚功原理，对于常电荷系统，介质所受的沿x方向电场力为

?Weq2ad(?2??1) F?????xq?c2[a(a?x)?1?ax?2]3-1

第三章 恒定电流场

半径为a的薄圆盘上电荷面密度为?，绕其圆盘轴线以角频率?旋转形成电流，求电流面密度。

??? 解：Js??sv??sr??3-2

平板电容器两导电平板之间为三层非理想介质，厚度分别为d1,d2d3,电导率分别为?1,?2,?3，平

板面积为S，如果给平板电容器加电压V，求平板之间的电场。

解：设导电平板之间三层非理想介质中的电场均为匀强电场，分别为E1、E2、E3，根据电压关系和边界条件，E1、E2、E3满足以下关系

E1d1?E2d2?E3d3?VE1?1?E2?2?E3?3

解此方程组得

E1??2?3V

?2?3d1??1?3d3??1?2d3?1?3VE2?

?2?3d1??1?3d3??1?2d3?2?1VE3?

?2?3d1??1?3d3??1?2d3在§3.3例2中，如果在弧形导电体两弧面之间加电压，求该导电体沿径向的电阻。

3-3

??，解：设流过两弧面的电流为I。作以与两弧面同轴的半径为r的弧面，流过此弧面的电流密度为J?J???则由 I???J?dS 得

SI??2brJ

由此得 J?2I ?brE?J??2I

??brc?a2Ia?c ln???bccV2a?c该导电体沿径向的电阻为 R? ?lnI??bc两弧面之间的电压为 V?Edr?4-3 球形电容器内导体半径为a，外导体内半径为c，内外导体之间填充两层介电常数分别为?1,?2，电导分别为?1,?2的非理想介质，两层非理想介质分界面半径为b，如果内外导体间电压为V，求电容器中的电场

及界面上的电荷密度。

解：由于圆球形电容器内填充两层非理想介质，有电流流过，设电流为I。在圆球形电容器内取一半径为r的

????球面，流过此球面的电流密度为J?J?，则由I???J?dS得

SI?J4?r2 或 J?电场强度为

I4?r2I

4??1r2Ib?r?c E2?4??2r2bca?r?b E1?

电压为 V??E1dr??E2dr?abI111111{(?)?(?)} 4??1ab?2bc由此求出电流与电压的关系后，电场为

E1?1

1111r2?2(?)??1(?)abbc?1V1 E2?1111r2?2(?)??1(?)abbc?2V内导体表面的电荷密度为

?s1?D1n(r?a)??1E1?外导体内表面的电荷密度为

11111a2?2(?)??1(?)abbc?1?2V

?s2?D2n(r?c)???2E2??媒质分界面的（驻立）电荷密度为

11111c2?2(?)??1(?)abbc?2?1V

?s3?D2n?D1n??2E2??1E1?3-5 求3-2题中电容器的漏电导。

解：由3-2题得

(?1?2??2?1)V11111b2?2(?)??1(?)abbc

E1??2?3V?2?3d1??1?3d3??1?2d3

流过电容器的电流为

?1?2?3VS?2?3d1??1?3d3??1?2d3?1?2?3SI所以 G? ?V?2?3d1??1?3d3??1?2d3I?J1S??1E1S?

3-6 求3-4题中圆球形电容器的电容及漏电导。

解：此圆球形电容器的电容及漏电导是并串联的形式如图所示。

C1?4??111?ab；C2?4??211?bc；G1?4??111?ab；G2?4??211?bc

3-7 分别求3-2题及3-4题中电容器的损耗功率。 解：（1）3-2题

?1?2?3SV2P?VI?VG??2?3d1??1?3d3??1?2d32

（2）3-4题

3-8 边长均为a的正方体导电槽中充满电导率为?的电解液，除导电板盖的电位为V外，槽的其余五个边界面

电位为零。求电解液中的电位。

解：此题电位所满足的方程和边界条件与题2-33相同，因此其解也与题2-33相同。 3-9 将半径为a的半个导电球刚好埋入电导率为?的大地中，如图所示。求接地电阻。

V24?V2P?VI??Rb?ac?b??1ab?2bc

??解：设从地线流出的电流为I，在大地中作与导体球同心，半径为r的半球面，在此半球面上电流密度J?Jr相同，显然满足关系

J?I2?r2

电场强度为 E?J/??aI2??r2

导电球的电位为 V??Edr??I2??a

因此导电球的接地电阻为

R?V1 ?I2??a地面空气

题3-9图

3-10 在电导率为?的大地深处，相距d平行放置半径均为a的无限长导体圆柱。求导体圆柱之间单位长度的漏电导。

解：用静电比拟法。此问题可与介质中的平行双导线比拟，其电导与电容的关系为

?aG??C ?因为介质中的平行双导线单位长度的电容为

C?lnG?ln

??D?D?4a2a22

因此，埋地导体圆柱之间单位长度的漏电导为

??D?D?4a2a22

第四章 恒定磁场

4-1.真空中边长为a的正方形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场。

解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为

??I?0B1?z2?a

因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为

??4?0I?B?4B1?z

2?a

题4-1图 题4-2图

4-2. 真空中边长为a的正三角形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场。

解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为b的点上的磁感应强度为

??0I?B1?z4?baab2?()22

对于边长为a的正三角形，中心到每一边的距离为b点上的磁感应强度为

?3a/6，因而，边长为a的正方形导线回路在中心

??9?I?0B?3B1?z2?a

4-3. 真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I。求半圆中心处的磁场。

IIa(a)a(b) bIa(c)

题4-3.图

解：设垂直于纸面向内的方向为z方向。由例4-2知，半径为a的半圆中心处的磁场为

??I?0B1?z4a

（1） 因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此

??I?0B?z4a

（2） 由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a处的磁场为

??0I?B2?z 4?a因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和

??I?0(??2) B??z4?a（3） 本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即

??I11?0(?) B?z4ab4-4. 在真空中将一个半径为a的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。电流为I，求半圆弧心处的磁场。

解：本题磁场为两相同半径但平面法线垂直的半圆环的磁场之和

??0I??y?) B?(x4a?分别为两半圆环平面的法向单位矢。 ?、yx4-5. 真空中半径为a的无限长导电圆筒上电流均匀分布，电流面密度为

Js，沿轴向流动。求圆筒内外的磁

场。

解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆筒做一半径为?的圆环，利用安培环路定律

???B?dl??0I

l??相等，I?2?aJs，因此 在圆环上磁场B?B??B???0I?0aJs?2???

4-6.如果上题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外的磁场。

解：由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为 z方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形，长度为L，则

???B?dl?BzL

lI?JsL

因此 Bz题4-6图

??0Js

??2?024-7.真空中一半径为a的无限长圆柱体中，电流沿轴向流动，电流分布为J?zJa，求磁感应强度。

解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为?的圆环，利用安培环路定律

???B?dl??0I

l??左边 ?B?dl?B?2??l

??J0?4;??a????2?2a2右边 I???J?dS???J02?d?d??? 2?JaaS?0;??a??2??0J0?3;??a??4a2因此有 B??? 2?Ja?00;??a??4?4-8.在真空中，电流分布为

?0???a J?0

??? a???b J?zb?? ??b Js?J0z???b J?0

求磁感应强度。

解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此磁场可用安培环路定律计算。围绕z轴线做一半径为?的圆环，利用安培环路定律

???B?dl??0I

l??左边 ?B?dl?B?2??l

??0;0???a33??2?(??a)右边 I??;a???b

3b?33?2?(b?a)?2?bJ;??b0?3b?因此有

??0;0???a?33??0(??a)B???;a???b

3b??b3?a3??0(?bJ0)/?;??b?3b?4-9.已知无限长导体圆柱半径为a，其内部有一圆柱形空腔半径为b，导体圆柱的轴线与圆柱形空腔的轴线

??，试求空腔中的磁感应强度。 相距为c，如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为J?J0z?解：利用叠加原理，空腔中的磁感应强度B为 ???B?B1?B2 ??B1为电流均匀分布的实圆柱的磁感应强度；B2为与此圆柱形空腔互补而电流密度与实圆柱的电流密度相反

的载流圆柱的磁感应强度。利用安培环流定律

式中?1、?2分别为从圆柱中心轴和圆柱空腔中心轴指向场点的矢量。因此

??0J0?J??1?00z???1 B1??1?22??J?J??2??00z???2 B2??00?2?22????0J0?J?????(?1??2)?00z??c B?z22?c为从圆柱中心轴指向圆柱空腔中心轴的矢量。

YaJbXc习题图4-9

??，求磁感应强度。 4-10.已知真空中位于xy平面的表面电流为Js?J0x解：由于在无限大的平面上有均匀电流，因此产生匀强磁场。磁场方向在y方向，跨电流面取一长为L的矩

形回路，利用安培环路定律得

B2L??0LJ0

因此 B??0J02

写成矢量形式为

??0J0?;z?0??y2B?? ?0J0??y?;z?02?题4-10图

??，如图所示，求磁感应强度。 J4-11.宽度为w的导电平板上电流面密度为s?J0yZwJXY题4-11图 解：在空间取场点(x,z)，在导电平板上

x'位置取宽度为dx'的细长电流，在场点产生的磁场为

??0dI?0J0dx'???????[(x?x')x??zz?] dB?yy222??2?[(x?x')?z]导电平板上的电流产生的总场为

???0J0W/2(x'?x)z???zxB??dB??/2(x'?x)2?z2dx'

2??W?0J0(x?W/2)2?z2x?W/2x?W/2??ln?{z?x2(arctg?arctg)} 222?zz(x?W/2)?z4-12.半径为a的均匀带电圆盘上电荷密度为?0，圆盘绕其轴以角速度?旋转，求轴线上任一点的磁感应

强度。

???。在带电圆盘上取宽度为dr解：带电圆盘绕其轴以角速度?旋转，其上电流密度为Js??sv??sr??的小环，电流为dI??s?rdr，由例4-2知，在轴线上产生的磁场为 ??0r2dI?0?s?r3dr?? dB?z?z223/2223/22(r?z)2(r?z)旋转带电圆盘在轴线上产生的磁场为

a???B?z0?0?s?r3dr2(r?z)223/2??z?0?s?a2?2z22[a?z22?2z]

4-13.计算题4-2中电流的矢量磁位。 解：首先计算载电流为I、长度为L1题4-13图 矢量磁位为

?L2的直线在距离为d处的矢量磁位。设电流方向为l?，如图所示。

??0IA?4??Ldl??0I1?R?l4???L222L?L?d?I11?l?0ln24?z'2?d2?L2?L22?ddz'

对于等边三角形，L1?L2?a，d?3a。其中等边三角形的一条边在等边三角形中心的矢量磁位为 6??I2?3 A1?l?10ln4?2?3等边三角形的三条边在等边三角形中心的矢量磁位为

??I2?3???A?0ln(l1?l2?l3)?0

4?2?34-14. ※计算题4-3中电流的矢量磁位。

4-15. 一块半径为a长为d的圆柱形导磁体沿轴向均匀磁化，磁化强度为电流在轴线上产生的磁感应强度。

??，求磁化电流及磁化M?M0z??解：由于均匀磁化，J'???M?0圆柱形导磁体中的磁化体电流为零。圆柱形导磁体侧面的磁化面电流

????M0?? 密度为J's?M?n在圆柱形导磁体表面取一宽度为dz'的电流环带，dI?M0dz'

??先计算此电流环带在轴线上的磁场（例4-2），dB?z然后对dz'积分

d???B?z0?0a2dI2(a2?(z?z')2)3/2

?0a2M0dz'223/22[a?(z?z')]??0M0zz?d积分得 B?[?]

22222z?a(z?d)?a

??，求磁化电4-16. 一段截面为a?b长为d的方柱形导磁体沿长度方向均匀磁化，磁化强度为M?M0z流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。

??J'???M?0方柱形导磁体中的磁化体电流为零。方柱形形导磁体侧面的磁化面电解：由于均匀磁化，

???，围绕方柱形导磁体表面作如图所示的平行与xy面的矩形回路，电流沿此矩形回路流密度为J's?M?n流动。先求高度为dz’的矩形回路电流在轴线上产生的磁感应强度

??Mdz'?0dB?z4?abba()2?()2?(z?z')2a2[1a()2?(z?z')22?1b()2?(z?z')22]

??M?0B?z4?d?0abba()2?()2?(z?z')2a2[1a()2?(z?z')22?1b()2?(z?z')22]dz'

4-17.在磁导率为?1的媒质1及磁导率为?2的媒质2中距边界面为h处分别平行于边界平面放置相互平行的电流

I1、I2，如图所示，求单位长度的载流导线所受的力。

I1hhI2

12题4-17图

解：用镜像法。在计算媒质1中的磁场时，在2区的镜像位置放置镜像电流I'2；在计算媒质2中的磁场时，在1区的镜像位置放置镜像电流I'1。利用边界条件H1t?H2t、B1n?B2n，可得方程

I1?I'2?I'1?I2

?1(I1?I'2)??2(I'1?I2)

解此方程得

2?1???1I1?2I2

?1??2?1??2???12?2I2'?2I1?I2

?1??2?1??2???1I1I'2??(?h) 电流I1所受的力为 F1?I1l?B2?4?h???2I'1I2??) (?h电流I2所受的力为 F2?I2l?B1?4?h?为引力方向。 ?h4-18.在截面为正方形a?a半径为R(R??a)的磁环上，密绕了两个线圈，一个线圈为m匝，另一个线I1'?圈为n匝。磁芯的磁导率为100，分别近似计算两线圈的自感及互感。

解：近似认为密绕在磁环上的线圈无漏磁，磁环中磁场相等。用安培环路定律

???H?dl?NI H?N为线圈匝数。取闭合回路沿磁环中心线，则磁环中

?NINI 即 B? 2?R2?R由于R??a，穿过磁环截面的磁通近似为

?a2NIm2??BS?Ba?

2?Rm?a2m2I1?11?a2m2mm因此 ?11?m?1? L1??2?R2?RI1?a2n2I2??n??2?Rm22

m2m?22?a2n2 L2??2?RI2

?a2mnI1??n??2?Rm21m14-19.在一长直导线旁放一矩形导线框，线框绕其轴线偏转一角度为?，如图所示。求长直导线与矩形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。 解：长直导线到线框两边的距离分别为

m?21?a2mn M??2?RI1

r1?(a/2)2?d2?adcos?长直导线通过线框中的磁场为

r2?(a/2)2?d2?adcos?

??0I?B??2?x

长直导线的磁场通过线框两边之间的磁通等于通过半径分别为r1、r2的圆弧之间的磁通，因此穿过线框的磁通可用下式计算

?Ibdx?0Ibr2???0?ln2?x2?r1rm1r2?m?0br2 互感为M??lnI2?r1

题4-19图 题4-20图

4-20. 在一长直导线旁放一等边三角形导线框，如图所示。求长直导线与等边三角形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。

解：如图所示，长直导线在等边三角形导线框面上的磁场为

??I?0 B??z2?x穿过三角形导线框中的磁通为

d?a???0Im????B?dS??ydx?2?xSd3?0Id(d?a)d?a[dln?aln] 2?d?a/2(d?a/2)23?0d(d?a)d?a[dln?aln] 22?d?a/2(d?a/2)4-21.在4-20题中如果两导线回路的电流分别为I1、I2，求等边三角形载流导线框所受的磁场力。

?m?互感为 M?I解：系统的磁场能量为

Wm?F?

11L1I1?L2I2?MI1I2 22

对于常电流系统，磁场力为

?Wm?M?I1I2?d?d

4-22.在4-19题中如果两导线回路的电流分别为解：系统的磁场能量为

I1、I2，求矩形载流导线框所受的磁场力矩。

Wm?F?

11L1I1?L2I2?MI1I2 22

对于常电流系统，磁场力为

?Wm?M?I1I2?d?d??0bI1I22d?acos?2d?acos?[?]22224?(a/2)?d?adcos?(a/2)?d?adcos?第五章

时变电磁场

5.1如图所示的电路中,电容器上的电压为uc(t),电容为C, 证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流。

解：设电容器极板面积为S，电容器中的位移电流为iD,传导电流为ic

iD?SJD?S???u?D?q?(uCC)?SS???CC?ic ?t?t?t?t?t

5.2由麦克斯韦方程组推导（5.3-4b）式。

????E解：对麦克斯韦方程??H?J??两边取旋度得

?t????E????H???J????

?t????2上式左边利用矢量恒等式????A????A??A，并考虑到对于均匀介质，??H?0，

?????E??H???????E，上式右端代入麦克斯韦方程??E???，得

?t??t?t???2H2?H???????J

?t25.3已知导电媒质中

???2E0e??zsin(?t?k0z) E(r,t)?x??????求：（1）H(r,t)；（2）w(r,t)；（3）P(r,t)；（4）S(r,t)

???H解：（1）由麦克斯韦方程??E???

?t??y?2E0e??z?H1????E?[?sin(?t?k0z)?k0cos(?t?k0z)] ?t?????2E0e??zyH(r,t)?[??cos(?t?k0z)?k0sin(?t?k0z)]

?????（2）w(r,t)?we(r,t)?wm(r,t)

??12?2?zwe(r,t)??E2(r,t)??E0esin2(?t?k0z)

2E??1wm(r,t)??H2(r,t)?(0)2e?2?z[?cos(?t?k0z)?k0sin(?t?k0z)]2

2???2?2?zsin2(?t?k0z) （3）P(r,t)??E?2?E0e????2E02?2?z?esin(?t?k0z)[?cos(?t?k0z)?k0sin(?t?k0z)] （4）S(r,t)?E?H?z??5.4 在?1,?1和?2,?2两种理想介质分界面上 ???Ey0y??Ez0z? E1?Ex0x???Hy0y??Hz0z? H1?Hx0x??求E2,H2。

解：由两种理想介质分界面的边界条件

E1t?E2t ?1E1n??2E2n?E2x?Ex0,E2y?Ey0;?1Ez0??2E2z H1t?H2t ?1H1n??2H2n?H2x?Hx0,H2y?Hy0;?1Hz0??2H2z

???1???Ey0y????Hy0y??1Hz0z?，H2?Hx0x? Ez0z得 E2?Ex0x?2?25.5在理想导体面上

??Jy0cos?t ?Jz0sin?t?yJS?z??） 求导体表面上的H。（设理想导体表面的法向为x解：由理想导体表面上的边界条件 ????H?JS n? 设理想导体表面的法向为x

5.6 已知在空气中

???????y?Jz0sin?t?z?Jy0cos?t 得导体表面上的H为 H?JS?n?JS?x??2E0sin(?t?k0z)?y?2E0cos(E1?x?t?k0z) ??2Hx0sin(?t?k0y)?z?2Hz0cos(H2?x?t?k0y)

求： v。

???E(?jx??y?)e?jk0z 解：E10??jk0y??(?jHx?? H?Hz)e2x0z0

?????k??E1?????x?)E0e?k0z 由??E??j??0H得 H1??0(?jy?j??0??0?2k0E0?sin(?t?k0z)?x?cos(H1?[y?t?k0z)]

??0?????k??H2????Hz0?z?Hx0)e?jk0y 由??H?j??0E得E2??0(jxj??0??0?2k0?Hz0sin(?t?k0y)?z?Hx0cos(E2?[?x?t?k0y)]

??05.7 已知在空气中

??Esin?e?jkr ???E0r???????,E(r,t),H(r在圆球坐标系中，求H,t),Sc。

???2Esin?cos(解：E(r,t)???t?kr) 0r由

????E?kEsin??jkr??0H???e

?j????r??2kE0sin??jkr?H(r,t)??e

??r22???kEsin?*0??H??r? Sc?E2??r

5.8 已知在空气中

???,E?。 在圆球坐标系中，求H解：在圆球坐标系中

??A0e?jkr AzrA0cos??jkre rAsin??jkrA???Azsin???0e

rA??0

??1?得 ????A利用关系式HAr?Azcos?????0 Hr??0 H???1Asin?(jk?1)e?jkr H?0?rr2????得 上式代入??H?j??E???j2A0cos?(jk?1)e?jkr Er???r2r32Asin?jkkj?jkr0??E(??)e ????rr2r3??0 E?5.9 已知在空气中

???,E?。 在圆球坐标系中，求H解：在圆球坐标系中

??A0e?jkr AxrA0sin?cos??jkre

rAcos?cos??jkrA??Axcos?cos??0e

rAsin??jkrA??Axsin??0e

r??1?得 ????A利用关系式HAr?Axsin?cos???2A0cos?sin??jkrHr?e 2?sin?rAsin?1jkH??0(?2?)e?jkr

?rr?A0cos?cos?1jkH??(2?)e?jkr

?rr????j??E?得 上式代入??HEr?A01jk[sin2??cos2??cos?](?3?2)e?jkr

j???sin?rrA0cos?cos?21jkk2?jkrE??{(2?1)3?2?}e

j???rsin?rrA0sin?21jkk2?jkrE??{(1?)??}e

j???rsin2?r3r25.10 已知在如图所示的用理想导体制作的矩形管中

????y?E0sin(x)e?jkzz Eakz为常数，

??； （1） 求H????（2） 求E(r,t),H(r,t)；

??（3） 验证E,H?（4） 求各理想导体面上的面电流JS；

（5） 求穿过管截面的平均功率。

满足边界条件；

?????j??H得 解：（1）由??EkE?Hx??z0sin(x)e?jkzz

??aj?E0?Hz?cos(x)e?jkzz

??aa??（2）Ey(r,t)?2E0sin(x)cos(?t?kzz)

a2kzE0??Hx(r,t)??sin(x)cos(?t?kzz)

??a2?E0???Hz(r,t)?cos(x)cos(?t?kzz?)

??aa2?（3）在x?0,a的理想导体面上sin(x)?0，因此

aEy?0,Hx?0即Et?0,Hn?0满足理想导体面边界条件。

????H （4）由JS?n在x?0的理想导体面上 ??E??x??(Hxx??Hzz?Hz(x?0)??y?j0e?jkzz ?)??yJ??a在x?a的理想导体面上 ??E???x??(Hxx??Hzz?Hz(x?0)?y?j0e?jkzz ?)?yJ??a在y?0的理想导体面上 ?kEj?E0????y??(Hxx??Hzz??)?(z?z0sin(x)?xJcos(x))e?jkzz

??a??aa在y?b的理想导体面上 ?kEj?E0?????y??(Hxx??Hzz??)??(z?z0sin(x)?xJcos(x))e?jkzz

??a??aaba???*??（6） P???Re[E?H]?dS

002abkzE0???sin(x)dxdy?

??a2??005.11 如图所示，两个厚度为d，间距为b的平行导体长板。导体板宽度为a(a??b)，板上恒定电流为I构成回路，电压为V。

（1） 导体板近似看作理想导体，忽略边缘效应。求穿过z?0端面的功率。

（2） 证明流进电导率为?的单位长度导体板中的功率正好等于欧姆定律计算出的单位长度导体板的损耗

2ba0kzE0?功率。

解：（1）导体板近似看作理想导体，忽略边缘效应，导体板之间的电场强度为

?V? E?yb???II???x? ?，H?J?yJS?zaa???VI? S?E?H?zab??dxdy?VI 穿过z?0端面的功率为 P???S?z（3） 电导率为?的导体中的电流密度为

?I? J?zad???I?由J??E，导体中的电场为 E?z ?ad流进电导率为?的单位长度导体板中的功率为

a1??I2I2I2?)dzdx?P???E?H?(?y???ad?V1R100式中R1为宽厚为a?d的单位长度导体板的电阻。 第六章 平面电磁波

1.在εr=2, μr=1的理想介质中,频率为

f=150MHz的均匀平面波沿y方向传播,y=0处,

c

?10V/m,求E, E(y,t), H,H(y,t) ,SE=z解： f=150MHz

1c3vp????108(m/s)

???r?r2,υ

p.

??k?vpf2??cf?r?r

?2(m)

??2??10e?j2?y E=zZ=120π/2

???E/Z?x?2/12πe?jH=y2?y

?102cos(2π*150*106t-2πy) E(y,t)= z?/6πcos(2π*150*106t-2πy) H(y,t)= x??*?52/6π Sc=E?H=y

2.在真空中

?Hx=x?H0ej2?z H=x求E,E(z,t), λ,

f,Z, Sc.

解：由kλ=1m ，

?2???2?得 c?3?108m/s

f????=x??(?z?)120?H0ej2?z=y?120πH0ej2?z E=ZH?k真空中 Z=120π

??2?120?H0cos(2??3?108t?2?z) E(z,t)?x3.在理想介质中

Sc?120πH0=-z2

?80π2cos(10*107πt+2πx) E(x,t)= yH?(x,t)= -zf2cos(10*107πt+2πx)

r求:

, εr, μ

,λ.

解： 由2?f?10?107?得 f=5?107Hz

c2??6m λ==1m,?0?fk由:

???0?r?r?，从而

?r?r??0?6 ? 得：

及 波阻抗 Zεr=9 ,μ

r?rE?120???80?H?r=4

?=1/4.均匀平面电磁波在真空中沿k?+z?,求2(y?)方向传播, E0=10xcE,E(y,z,t),H,H(y,z,t), S .

解：设λ已知，则k=2π/λ,

?10e?jE=E0e?jk?r=x??E H=1/Z*k

=

2?/?(y?z)

?-z2/(24π)(y?)e?j2?/?(y?z)

?102cos(2πc/λt-2π/λ(y+z)) E(y,z,t)= x?-z?)cos(2πc/λt-2π/λ(y+z)) H(y,z,t)= 1/(12π)(y???+z?) Sc=E?H*=5/(62π)(y

5.证明电磁波

?j?(x3?y)?)e?+3yE=5(x

? e=5/120πz为均匀平面波. H?j?(x3?y)

?j?(x3?y)?+证明：由E=5(x??k?r?k(xcos??ycos??zcos?)??(x3?y)

?)e3y

即 kx?3?，ky???，k2?k2x?ky?kz2?(3?)2?(??)2?2?

kx?3/2,cos???1/2 k?=3/2x? ?-1/2yk?=0 ，H?k?=0 E?k?的方向不变，等相面为k?与垂直的面，显然为平面。且E，H又kcos?? 6.求

的大小也不变，故为均匀平面波。

=1)中的集肤深度.

f=100kHz,1MHz,100MHz,10GHz时电磁波在铝(σ=3.6*10/欧米, εr=1, μ

7r解：δ=1/

?f??=

?41?f?4??10?3.6?10 m

?5?77

ffff

=100kHz, δ=2.6526*10=1MHz, δ= 8.3882*10

m

?6?7=100MHz, δ= 8.3882*10=10GHz, δ= 8.3882*10

7m m

7.银的σ=6.1*10(1/欧米),在什么频率上, δ=1mm? 解：

由δ=1/

?f??12得：

f

=

????= 4.2KHz

8.电磁波的频率为100MHz,媒质参数为εr=8, μλ,kc.

'r=1, σ=0.5*10

?3(1/欧米),求υ

'p,

?0.5?10?3??0.07??1 解：?128??8?8.864?10?10'8υp=1/??= 1.0607*10m/s

λ0=3m λ=3/

'8=1.0607m

'k'=2π/λ= 5.92

?k\??1.0608??10?2

2??9.设地球的εr=8, μ

介质?求该频率上的k.

解：当 σ<<ωε 时，可看作介质，工程中大于10倍即可，故： 10*σ<2πf*ε 即

r\=1, σ=5*10

?3(1/欧米),在什么频率范围可将地球近似看作

f>

10??2??= 8.988*10Hz

8k\=

?2??=0.3332

10.在真空中,均匀平面波

?(-2-j)]ejz ?(-1+j2)+yE=[x求H,λ及极化状态.

?=-z?，k=1, λ=2π 解：k11??(-1+j2)+ x?(-2-j)] ejz ?E=[-yH=k120?Z?)ejz ?+jy又 E=(-1+2j)( x故为右旋圆极化波

11.均匀平面波

?2E0sin(ωt+4πy)+ z?E(y,t)= x是什么极化状态?求H.

解：

2E0sin(ωt+4πy-π/3)

?-jz?e3）ej4?y E=E0（-jx???y? 为椭圆极化波。kE1??E=0H=kZZ12.均匀平面波

?j???+jx（-jze?j?3）ej4?y

?+5z?+j2y?)ej(2x?y) E=(jx是什么极化状态?当f=50MHz时,求εr.

?+2解：E=[j(x?)+5z?]eyj5(25??x15?)?ry,r1???2x??? ??yy??zz?,ky?xx55??(x??z??2y?)?0 , k??0 k为右旋圆极化波

f1/2(εrμr)，如果取μr=1, cc2)= 4.56 得：εr=5?(2?f由 k=

5=2π

13.均匀平面波从空气中垂直投射到理想导体板上后,在距导体板?1=20mm,?2=25mm处相继出现电场波节点及波腹点,在电场波腹点上E0=2V/m.求

'f及Js.

解：由题意，电场波节点及波腹点之间的距离为

因此?=0.02m,

?=?2-?1=5 mm, 4f= c/?=15GHz

'由式(6.5-7a) 入射波电场值与波腹点电场值的关系可得入射波电场值为

E0=0.5*E0=1V/m

由式(6.5-14) ，理想导体板上的面电流密度为 Js=

2E0Z=0.0053A/m

14.均匀平面波从空气中沿y方向正投射到理想导电板上后在理想导电板上,

??2cos(300*106πt),求入射波Ei ,Hi. Js(t)=x解：设入射电场为

?i?iE?jky?0e?jky ?E?xE0e H??zZE0合成磁场为 Hz??2cos(ky)

Z??2E??0 理想导电板上的电流密度为 Js?n?H?xZ?2E?20cos(?t) Js(t)?xZ与已知的理想导电板上电流密度比较得：E0=60π

f?150?106Hz, ??2m,k??

?60πe?j?y Ei=x1?e?j?y Hi=-z2?10e?j2?z从z<0的空气中垂直投射到z>0的介质(εr=4, μ15.均匀平面波E=x射系数,两区域中的电磁波以及电场波节点,波腹点的位置. 解：Z1r=1)中,求反射系数,透

?Z0?120??,Z2?1Z 2 k1R?Z2?Z11?22Z212???,T??Z2?Z11?23Z2?Z13?2?,k2?k1?r?4?

1j2?z??jk1zjk1z?j2?z??xE(e?Re)?x10(e?e),z?0?03E=?20??TE0e?jk2z?x?e?j4?z,z?0x3?1j2?z?1?j2?z?y(e?e),z?0?12?3H??

1?j4?z??ye,z?09??

?=1m,

?R??，zmin??n(?2n?????R)??? , 4?2n1zmax?(??)?

24

16.如果上题中电磁波方向相反,即从介质垂直投射到空气中,重新计算各值. 解：R14?,T? 33k1?2?,k2??

1?j2?z?j2??x10(e?e),z?0?3E=?40??ej?z,z?0x3?

11?j2?z?j2???y(e?e),z?0?24?3H=?1j?z???ye,z?09??

?=1m, zmin?2n?1n? , zmax?? 42

17.均匀平面波从空气中垂直投射到理想的非磁性介质中.由测量知,距离界面最近的电场波节点上电场的有效值为1V/m,距界面L=1m;电场波腹点上电场强度的有效值为2V/m.求电磁波的频率,以及介质的介电常数. 解：

Z1?Z2,R?0

由：???r1?REmax?2?Emin1?RZ2?Z1Z2?Z1 得：Z1 得：

R?11，R?? 33又：R故：ε

?2Z2；?r2?2?r1?2

=4

?2?L?1m，?=2m,f??j?zc??150MHz

r18.均匀平面波Ex=5e解：Z3,从空气中垂直投射到厚度为d=0.5m, ε=4, μ

r=1的介质板上.求空气中及

介质板中的电磁场以及空气介质界面上的反射系数,和空气的驻波比.如果d=0.25m,重新计算以上各值.

1Z;k1?k3??,k2?2?22?2??1??2m,?2??1m

k1k2?Z1?Z,Z2??x1??j?z?E0e ??j?zEx 1?R1E0e

设 E?jk2(z?d)?Ex 2?E20ejk2(z?d)?Ex 2?R23E20e??j?(z?d)Ex 3?E30ed=0.5m 时：d??22

Zin?Z,R1?0,R23?由z=0边界条件得

1?,E0=5 3??E0?R1E0?E20ej2?d?R23E20e?j2?d?E0??E20(ej??R23e?j?)

E20??1?R1?315E0??E0???1?R2344

由z=d边界条件得

E20?R23E20?E30

E30?(1?R23)E20?第一层：E1?E10e?jk1z?x??415?(?)??5 34?5e?j?z ?xE1?j?z?10e?jk1z?y?H1?ye，??1

Z24?

第二层：

?E2?x?15?j2?(z?d)1j2?(z?d)(e?e) 43?1?j2?(z?d)1j2?(z?d)?H2?y(e?e) 16?3第三层：

?(?5)e?j?(z?d) E?x1?(?H?y)e?j?(z?d)

24?

d=0.25m时：d42Z2131Zin??Z,R1??,R23?

Z3453??E0?R1E0?E20ej2?d?R23E20e?j2?d

??2

由z=0边界条件得

?2?jE0?E20(j?) 533?E20??jE10??3j,

5由z=d边界条件得

E20?R23E20?E30

4E30?E20??4j

3第一层：

3?5(e?j?z?ej?z) E1?x513?H1?y(e?j?z?ej?z) ??4 24?5第二层：

1?(?3j)(e?j2?(z?d)?ej2?(z?d)) E2?x3?j1?(H2?y)(e?j2?(z?d)?ej2?(z?d) 20?3第三层：

?(?4j)e?j?(z?d) E3?x?j?j?(z?d) )e30?19.频率为f=30GHz的均匀平面波垂直从z<0的空气中垂直投射到z>=0的介质(εr=2, ?(H3?yμ

r=1)中.求空气中的驻波比.如果要使空气中无反射波,可在介质上覆盖另一种非磁性介质材料,求该介

质材料的节电常数εr及厚度. 解：Z3?12Z,Z1?Z

R?Z3?Z1??0.1716Z3?Z1??1?R1?R=1.4143

得 ?r2??r1?r3，εr=2

c0.01?0??0.01m,?2?= 0.0071m

f2?2? 0.0018m d=4由： Z2?Z1Z320.上题中如果频率增加了10%,其他参数不便,覆盖的介质材料还能否消除空气中的反射波?为什么?如果有反射波,驻波比有多大? 解：

不能，因为Zin与频率有关, 如果频率增加了10%,介质材料厚度不等于四分之一波长，这时，输入阻抗为

Zin=

Z3?jZ2tan(k2d)Z2=(0.99 - j0.0533)Z

Z2?jZ3tan(k2d)Zin?Z?-0.0043 - 0.0269j

Zin?ZR?|R|=0.027 ??1?R1?R=1.056

下 图分别是介质板的厚度从0变化到半个波长（?的值。

:0??）时，反射系数（左图）和驻波比（右图）

0.180.160.140.120.10.080.060.040.0201.451.41.351.31.251.21.151.11.051020406080100120140160180020406080100120140160180 21.有效值为1V/m的圆极化均匀平面波,从空气中以θi=π/6的入射角度投射到εr=4, μ

r =1的理想介质中.求反射波及折射波.

解：设为z<0空气，波数为k1,则：k2?2k1

?r??i??/6,sin?i?0.5, cos?i?0.866

sin?t?2???E?E//?E? ?i?i?jk1(xsin?i?zcos?i)?cos?i?z?jE0e?jk1(xsin?i?zcos?i) ?sin?i)e E??yE//?E0(x?r?r?jk1(xsin?i?zcos?i)??jR?E0e?jk1(xsin?i?zcos?i) ?sin?i)e E??yE//?R//E0(?xcos?i?z?t?t?jkt(xsin?t?zcos?t)?cos?t?z?jT?E0e?jk2(xsin?t?zcos?t) ?sin?t)e E??yE//?T//E0(xtg(?i??t)= 0.2828

tg(?i??t)??1sin?i?0.25,?t?0.2527，cos?t=0.9682

对平行极化：

R\?T\?cos?i(1?R//)=0.6415

cos?t??0.5z?)e?jk1(0.5x?0.866z) E//i?(0.866x??0.5z?)e?jk1(0.5x?0.866z) E//r?0.2828(?0.866x?0.9682?z?0.25)e?j2k1(x0.25?z0.9682) E//t?0.6415(x

对于垂直极化：

R???sin(?i??t)=-0.3819

sin(?i??t)T?iE?rE?tE?

?1?R?? 0.6181 ?je?jk1(x0.5?0.866z)) ?y?(?0.3819j)e?jk1(x0.5?z0.866) ?y?e?j2k1(x0.25?0.9682y) ?j0.6181yr22.圆极化波从空气中斜投射到εr=4, μ

=1的介质中,为了使反射波为线极化波,入射角度应为多少?是

哪种极化方向的线极化波?

解：只有平行极化波才会出现无反射或全折射现象，所以反射波为垂直极化的波。

?b?sin?1?2?1??2=63.43

r023.电场有效值为1V/m的垂直极化波从介质(εr=1.5, μ入射角为θc,θc=1)中斜投射到空气中,求临界角θc,并分别求

?π/12时的反射波及折射波.

?1.5k2，按书中的坐标：

解：设空气中波数为k2，则k1?i?E0e?jk(xsin?i?zcos?i) E?yθc=arcsin?21?arcsin?54.70 ?11.5sinθc=0.8165,cosθc=0.5774 当?i=θc时:

R?=1

T?=2

?e?jEr?y1.5k2(x0.8165?z0.5774)

1.5k2(x0.8165?z0.5774)?0.5774?z?0.8165)e?jHr?0.0032(x?2e?jkx Et?y2

?0.0053e?jk2x Ht?z当?i=θc-

?=39.7时: sin?i= 0.6388 , cos?i=0.7694 12?1sin?i?0.7824 ,?t=51.48 , cos?t=0.6228 , sin?t=

?2sin(?i??t)??=0.2044 R=

sin(?i??t)T?=1?R?=1.2044

?0.2044e?j1.5k2(x0.8165?z0.5774) Er?y?0.5774?z?0.8165)e?jHr?0.00065(x?1.2044e?jk(x0.7829?z0.6221) Et?y21.5k2(x0.8165?z0.5774)

?0.0053e?jk2x Ht?z当?i=θc+sin?t=

?=69.7时: sin?i= 0.9379 , cos?i=0.3469 12sin?i?1.1487, cos?t=-j0.5652

0Z2cos?i?(?ja)Z10.3469Z2?j0.5652Z1?? -0.5985 + 0.8011j=ej126.83

Z2cos?i?(?ja)Z10.3469Z2?j0.5652Z1?1?2由式(6.8-24)

R??2Z2cos?i0.6938Z2j63.380T???0.8961e

Z2cos?i?(?ja)Z10.3469Z1?0.5652Z1??ej126.83e?jEr?y001.5k2(x0.9379?z0.3469)

?0.8961ej63.38e?jk2x0.9379e?0.5652k2z Et?y24.推导垂直极化波斜投射到理想导体界面上后的合成电磁场(7-7-9)式.

略 25.频率为

f=300MHz的线极化均匀平面电磁波从空气中垂直投射到的有耗媒质中.求界面上的反射系数,驻

波比,反射系数及透射波.

解：设空气的特性阻抗为Z0，有耗媒质的特性阻抗为Zc????(1?j)??，入射波为

iEx?E0e?jkz

则界面上的反射系数,驻波比为,

R?Zc?Z0Zc?Z0， ??1?R1?R

反射波及透射波为

rEx?RE0ejkz

tEx?TE0e?jkcz

其中 T?2ZcZc?Z0 ，kc????(1?j???)

第七章 导行电磁波

7-1 如果Ez,Hz已知,由无源区的麦克斯韦方程,求圆柱坐标系中E?,E?,H?,H?。

?????jkzz?jkz解： 设E?E0(?,?)e；H?H0(?,?)ez

?????E?H??jkzE；??jkzH 则 ?z?z在圆柱坐标系中展开无源区的麦克斯韦方程

??????H?j??E；??E??j??H

这两个矢量方程包含6个标量方程，即

1?Hz1?Ez?jkzH??j??E? (1) ?jkzE???j??H? (4)

???????Hz?E?jkzH???j??E? (2) ?jkzE??z??j??H? (5)

????1??H??H?1??E??E???j??Ez (3) ???j??Hz (6)

??????????由(1)和(5)式得

E????Ez?Ezkz?Hz11?Hz1(jk?j??)H??(j???j) z???????????kc2kc2由(2)和(4)式得

E??kz?Ez?Hz?Hz11???Ez(?j?j??)H?(j?jk) ?z22??????????kckc2式中 kc?k2?kz2

?V0?e??z?V0?e??z

7-2证明（7.2-6） 式为(7.2-4)式的解。

证明：

由（7.2-6） 式V(z)可得：V''(z)?(V0?e??z?V0?e??z)?2?V(z)?2

d2V2??V?0 即 (7.2-4)式 因此 2dz

7-3同轴线内导体外径为d求特性阻抗。 解：同轴线特性阻抗Z

7-4型号为SYV－5－2－2的同轴电缆内导体外径为0.68mm, 外导体内径为2.2mm, 内外导体之间为

?3.04mm, 外导体内径为7mm, 内外导体之间为?r?2.2的非磁性介质，

?60?rb17/2ln?60ln?33.74?。 ?ra2.23.04/2?r?1.99 的非磁性介质，求特性阻抗。

解：特性阻抗Z

7-5特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为ZL?60?rb12.2/2ln?60ln?49.93? ?ra1.990.68/2?50?。求：（1）终端的反射系数；（2）传输线上的电

压驻波比；（3）距终端l??/8,?/4,3?/8,?/2,?处的输入阻抗。

ZL?Z50?751???； 解：（1）终端的反射系数??Z?ZL75?505（2）电压驻波比??1??1???6/5?1.5； 4/5ZL?jZtan?lZ?jZLtan?l

（3）距终端l输入阻抗Zin其中?l所以，

?Z?2?/??l?2?l/?

Zin(?/8)?69.23?28.84j? Zin(?/4)?112.5?

Zin(3?/8)?69.23?28.84j?

Zin(?/2)?50? Zin(?)?50?

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