河北省保定市第三中学2015-2016学年高二数学4月月考试题 理

保定三中2015——2016学年度第一学期4月月考

高二数学（理）试题

考试时间120分钟 分值150分

一、选择题（每题5分，共60分） 1．已知复数z?A.1?i

2i，则z的共轭复数是 （ ） 1?i

B.1?i

C.i

D.?i

2．等差数列{an}的前n项和Sn，若a1?2,S3?12，则a6?( )

A.8 B.10 C.12 D.14

?x?2?0?3．设变量x,y 满足约束条件?x?y?3?0 ，则目标函数z?x?6y的最大值为（ ）

?2x?y?3?0?（A）3 （B）4 （C）18 （D）40

24．设x?R ，则“x?2?1 ”是“x?x?2?0 ”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 5．设a=log36,b=log510,c=log714，则（ ）

A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 6．若tan?+1 =4,则sin2?=（ ） tan?A、1111 B、 C、 D、 5342x2y27．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的一条渐近线过点2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线y2?47x ab??的准线上，则双曲线的方程为（ ） x2y2x2y2x2y2x2y2??1 （B）??1（C）??1（D）??1 （A）2128282134438．在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0)B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D?ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A．S1?S2?S3 B．S2?S1且S2?S3 C．S3?S1且S3?S2 D．S3?S2且S3?S1

1

9．若a?0且a?1,则函数y?(a?1)x2?x与函数y?logax在同一坐标系内的图像可能是( )

10．已知点P在曲线y=

4上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) ex?1(A)?0,?π3π??3π??π??ππ? (B) (C) (D),,π? ,??????244442????????2lnx?lnx?lnx211．设1?x?2，则,??,2的大小关系是（ ）

x?x?x2lnx?lnx?lnx2?lnx?lnxlnxA、??2 B、??????2

xxxxxx????222lnxlnx2?lnx?lnx?lnx?lnxC、? D、2?? ??2???xxxx?x??x?22?1?x?1,(x?1)f(x)??4??lnx,(x?1)则方程f(x)?ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是12．已知函数（ ） 11111(0,)(0,)[,e)[,)e B．4e C．4 D．4A．

二、填空题（每题5分，共20分）

13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生

中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 14．1?i?i2?i3????i2014? ． 15．?1?1(x2?1?x2)dx? ．

16．若等差数列{an}满足a7?a8?a9?0,a7?a10?0，则当n? 时，{an}的前n项和最大. 三、解答题（共70分）

17．（本小题满分10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求角C 18．（本小题满分12分）已知函数f(x)?ax3?x2?ax(a,x?R)． （1）当a?1时，求函数f(x)的极值；

2

（2）若f(x)在区间[0,??)上单调递增，试求a的取值或取值范围

19．（本小题满分12分）已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且a1?1，S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn?1，求数列{bn}的前n项和． anan?120．（本小题满分12分）在四棱锥P?ABCD中，侧面PCD?底面ABCD，PD?CD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，?ADC?90?，AB?AD?PD?1，CD?2.

P D A

B C

（Ⅰ）求证：BC?平面PBD；

????????（Ⅱ）设Q为侧棱PC上一点，PQ??PC，试确定?的值，使得二面角Q?BD?P为45?.

21．（本小题满分12分）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. (Ⅰ) 求抛物线C的方程；

(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程； (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值. 22．（本小题满分12分）已知函数f(x)?kx，g(x)?32.2lnxx

（1）求函数g(x)?lnx的单调递增区间； x（2）若不等式f(x)?g(x)在区间（0,+?)上恒成立，求k的取值范围； （3）求证：

ln2ln3lnn1????? 4442e23n 3

保定三中2015——2016学年度第一学期4月月考

高二数学（理）答案

1．A【解析】解：因为z?2i2i(1?i)??1?i，因此共轭复数为1-i 1?i(1?i)(1?i)1?3?2d?12,?d?2.所以a6?2?(6?1)?2?12.故选C. 22．C试题分析：假设公差为d,依题意可得3?2?3．C

4．A【解析】x?2?1??1?x?2?1?1?x?3,x2?x?2?0?x??2或x?1，所以“x?2?1 ”是“x2?x?2?0 ”的充分不必要条件，故选A. 5．D试题分析：a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，又因为

log32?lg2lg2lg2，log52?，log72?，所以a?b?c，故选D． lg3lg5lg71sin?cos?sin2??cos2?116．D【解析】因为tan???????4，所以.sin2??. 12tan?cos?sin?sin?cos?sin2?2x2y2bb37．D【解析】双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的渐近线方程为y??x，由点2,3在渐近线上，所以?，aaba2双曲线的一个焦点在抛物线y2?47x准线方程x??7上，所以c?7，由此可解得a?2,b?3，所以双曲??x2y2??1，故选D. 线方程为438．D 试题分析：三棱锥D?ABC在平面xoy上的投影为?ABC，所以S1?2，

D1，?OAD1，设D在平面yoz、则D?ABC在平面yoz、zox平面上的投影分别为D2、zox上的投影分别为?OCD2、

因为D1(0,1,2)，D2(1,0,2)，所以S2?S1?2，故选D. 9．A试题分析：当a?1时，抛物线开口向上，对数函数单调递增，又抛物线对称轴x?1?0，故选A.

2(a?1)?4ex?4?4?10．D【解析】 ∵y′=?x=, ?′=x21?e?1??e?1?ex?x?2e由于e+

x

11x

≥2当且仅当e=即x=0时等号成立,∴-1≤y′<0,即-1≤tanα<0, exex由正切函数图象得α∈?,π?.故选D.

?4??3π? 4

11．A试题分析：令f(x)?x?lnx(1?x?2)，则f?(x)?1?1x?1??0，所以函数y?f(x)(1?x?2)为增函xx2lnx?lnx?lnx数，∴f(x)?f(1)?1?0，∴x?lnx?0?0?.又?1，∴???xx?x?2lnx2lnx2lnx?xlnx(2?x)lnx?lnx?lnxlnx????0，∴???2， ?222xxxxxx?x?211，设切点为(x0,y0)，∴切线方程为y?y0?(x?x0)，∴xx01111

y?lnx0?(x?x0)，与y?ax相同，∴a?，lnx0?1?0，∴x0?e，∴a?.当直线与y?x?1平行

4ex0x0111113时，直线为y?x，当x?1时，lnx?x?ln1??0，当x?e时，lnx?x?lne?e?0，当x?e时，

4444411111所以y?lnx与y?x在(1,e)，所以直线在y?x和y?xlnx?x?lne3?e3?0，(e,e3)上有2个交点，

4444e11之间时与函数f(x)有2个交点，所以a?[,)，故选B.

4e12．B试题分析：∵y?lnx，∴y'?13．60．

14．i试题分析：由i??1,i24n?1,i4n?1?i,i4n?2??1i4n?3??i,又2014?4?503?2，可得

1?i?i?i????i15．?232014?i.

112?122．试题分析：?x2dx?x3|1，而根据定积分的定义可知1?xdx表示圆心在原点的单位圆上??1??1?1323312?2?半部分半圆的面积，∴?(x?1?x2)dx??，故填：?．

?1323216．8试题分析：由等差数列的性质，a7?a8?a9?3a8，a8?0，又因为a7?a10?0，所以a8?a9?0所以a9?0，所以S8?S7，S8?S9，故数列{an}的前8项最大. 17．C=? 6【解析】解：因为 cos(A?C)?cosB?1,?cos(A?C)?cos(A?C)?1,?2sinAsinC?1??a?2c?sinA?2sinCa>c,所以A>C,所以C为锐角，C=611联立方程组可知sin2C=?sinC=42?5??C=或66

32/218．（1）当a?1时，f(x)?x?x?x，∴f(x)?3x?2x?1，

令f/(x)?0，则x1?1，x2??1， 3x、f/(x)和f(x)的变化情况如下表

5

x (??,?1)

?1

(?1,113) 3 (13,??) f/(x)

+ 0 ?

0 +

f(x)

?

极大值

极小值f(?1)?1

??

f(13)??527 即函数的极大值为1，极小值为?527； （2）f?(x)?3ax2?2x?a，

若f(x)在区间[0,??)上是单调递增函数， 则f?(x)在区间[0,??)内恒大于或等于零 若a?0，这不可能， 若a?0，则f(x)?x2符合条件， 若a?0，则由二次函数f?(x)?3ax2?2x?a的性质知

??2???3a?0，即??a?0，这也不可能， ?f(0)??a?0?a?0所以a?0

19．试题解析：（Ⅰ）由已知，得S22?S1?S4，即a1(4a1?6d)?(2a1?d)2 得 2a1d?d2d?0 得d?2，故an?2n?1n?N?,；

（Ⅱ）由已知可得b1n?(2n?1)(2n?1)，

Tn?11?3?1113?5?5?7???(2n?1)(2n?1) ?1?n2??(1?13)?(13?15)?(1111?5?7)???(2n?1?2n?1)???2n?1, n?N? 20．试题分析（Ⅰ）平面PCD?底面ABCD，PD?CD，所以PD?平面ABCD， 所以PD?AD,

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz.

P z Q D Cy

A x B

又由a1?1，

6

????????????????则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1). DB?(1,1,0)，BC?(?1,1,0)，所以BC?DB?0，BC?DB，又由PD?平面ABCD，可得PD?BC，所以BC?平面PBD.

（Ⅱ）平面PBD的法向量为???BC??(?1,1,0)，

???PC??(0,2,?1)，???PQ??????PC?，??(0,1)所以Q(0,2?,1??)，

设平面QBD的法向量为n=(a,b,c)，DB?????(1,1,0)，DQ?????(0,2?,1??)，

由n????DB??0，n?????DQ?0，所以，??a?b?0?2?b?(1??)c?0，

所以n=(?1,1,2???1)， 所以cos45??n????BC?n???BC??2?2， 22?(2?22??1)注意到??(0,1)，得??2?1.

21． 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x2?4cy,由0?c?2322?2结合c?0, 解得c?1. 所以抛物线C的方程为x2?4y. (Ⅱ) 抛物线C的方程为x2?4y,即y?14x2,求导得y??12x x2设A?x1x22111,y1?,B?x2,y2?(其中y1?4,y2?4),则切线PA,PB的斜率分别为2x1,2x2, 所以切线PA的方程为y?yxx211x11?2?x?x1?,即y?2x?2?y1,即x1x?2y?2y1?0

同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0

因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1 联立方程??x0x?2y?2y0?022?x2?4y,消去x整理得y2??2y0?x0?y?y0?0

由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x20?2y0,y1y2?y20 所以AF?BF?y21y2??y1?y2??1?y20?x0?2y0?1

7

又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,

192所以y2x21?2y2???0?0?2y0?0?2y0?5?2?y0?2???2 所以当y0??12时, AF?BF取得最小值,且最小值为92. 22．试题分析：解：（1）∵ g(x)?lnxx（x?0) ∴ g?(x)?1?lnxx2 令g?(x)?0，得0?x?e 故函数g(x)?lnxx的单调递增区间为(0,e) （2）由kx?lnxlnxlnxx，得k?x2,令h(x)?x2 则问题转化为k大于等于h(x)的最大值 又 h?(x)?1?2lnxx3 令 h?(x)?0时，x?e

当x在区间（0,+?）内变化时，h?(x)、h(x)变化情况如下表：

x （0,e） e （e，+?） h?(x) + 0 — h(x) ↗ 1↘2e 由表知当x?e时，函数h(x)有最大值，且最大值为

12e 因此k?12e （3）由（2）知

lnxx2?1lnx2e，∴ x4?12e?1x2（x?2) ∴

ln224?ln334???lnnn4?112e（22?132???1n2) 又∵

122?132???1n2?1111?2?2?3???(n?1)n

＝(1?1)?(122?1)???(1n?1?1n)?1?1n?1 ∴ln2ln3lnn1324?34???n4?2e

8

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