几何代数06-07试题含答案

06-07 第二学期 几何代数期终考试试卷

一． (30%)填空题（ I 表示单位矩阵）

1.向 量

(1, 0, 1), ( 1,1, 0), (1,1, k ) 共 面时参数 k 的值为 -2 ，此时，与这三个

2. 向量组

1 0 1 1 0 1 1 , , 1 ,

2 1 1 3 1

1 0 2

于 2 ，这个向量组的一极大线性无关组是 ；

(不唯一,任意两个线性无关的向量均是其极大无关组) 3.

假设矩阵 A 1 2 (2,

t) ，若1是 A 的特征值，则参数

t 的值为 2 ；

4.

二次型 f ( x, y, z) x 2 2 z 2

2xy 的正、负惯性指

数分别为 2 和 1 ，下列图形中，能表示二次曲面

-8-

f ( x, y, z) 1

的图形的标号为

D ：

（ A ）

，（ B ）

，

（ C ）

，

（ D ）

；

y 0

向量都正交的一个单位向量是 为

z x 2 y 2 ；

1 1

6.

若 向 量 组

1 1 1 2 b

a 1, b 2 ；

a

2 1 3 c 0 0

7. 若 A 0 1 b 与 0 B 相似，则

1 0

0 0 a 0 0 1

-9-

1 1 1

3 3 3 ； 与

a, b, c

。

二． （10%）已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，问：当参

数

p 取何值时，向量组

1 2 2 3 , 2 1 2 2 ,

3 3 2 4 , 4 p 1 4

也线性无关？p 解: . 8

三． （ 15% ） 假 设

p, q

是参数，空间直角坐标系中平面

1, 2 , 3 的方程分别如下：

1 : x y 2 z 1，

2 : 2x py z 2 ，

3 : 3x 5 y 2z q

（1） 问：当

p, q 取何值时,

这三个平面的公共点构成一

直线？

（2） 当它们的公共点构成一直线时，求直线的方向向量，- 10 -

并给出该直线的对称方程。

解: (1) p=4, q=3 时, 这三个平面的公共点构成一直线.

(2) 直线的方向向量为 (-9,3,6) 或 (-3,1,2),直线的

对称方程为

x 1 y z

3 1 2

.

2 1 2

四． （15%）设 P 1 0 0 0 1 0 ， 0

1 0 0 0 1

，并 0 0 1

且及 AP P ，求 A A99 。 A 0 1 0

1 2 0 ;

解:

0 0 1

A (P P ) P P P P A

0 1 1 0

2 0 99 1 99 99 1 1

0 0 1

2 2

五．

（15%）已知二次型

f ( x1, x2 , x3 ) x1 x2 x3 4 x1x2 。

（1）

写出二次型 f 的矩阵；

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（2）

求一个正交变换 x Qy ，把 f

化为标准形, 并给

出该标准形；

（3）

假设 a 0 ，求 t 2x max

f (x1, x2 , x3 ) 的

1 x2 x3 a

值．

1 2 0

解: (1)

二次型的矩阵A 2 1 0

;

0 0 1

1

0 (2)

1 Q

0 0 0 1 ;

标准型为 f 3 y2 2

1 y2 y3 .

(3) t=3a.

六． （15%）证明题：

1.

已 知 矩 阵

a b

A c d

I ， 其 中 ，

a d 2, ad bc 1。证明： A 不与任何对角阵

- 12 -

相似．

证明: 先由 迹( A) 2, 1 ,求出 A 的特征值均等于 1;

再利用反证法:假设 A 相似于对角阵,则 A 相似于单位阵,则 A 为单位阵,矛盾; 所以 A 不相似于对角阵.

2.

假设

s n 矩阵 A 的秩等于 r ，并且非齐次线性方程组 Ax b （ b ）有解。证明： Ax b 有并且只 有 n r 1个线性无关的解向量．

证：设 ξ 为 Ax=b 的一个特解. 因为 A 的秩为 r, 所以可设 η1 ,η2 ,…,ηn-r 为 Ax=θ 的一个基础解系. 则断言：

ξ，ξ+η1 , ξ+η2 , …, ξ+ηn-r

为 Ax=b 的一组线性无关解. 首先，易证它们是 Ax=b 的一组解. 其 次，

证它们线性无关：设 k0 ξ+k1 (ξ+η1 )+k2 (ξ+η2 )+ …+kn-r(ξ+ηn-r )= θ. 整理可得

(k0 +k1 +k2 +...+kn-r )ξ+ k1 η1 + k2 η2 +...+kn-r ηn-r= θ. （*）

此时，若 k0 +k1 +k2 +...+kn-r≠0，则 ξ=-(k0 +k1 +k2 +...+kn-r)-1 [k1 η1 + k2 η2 +...+kn-r ηn-r], 易得 Aξ=θ, 与 b≠θ 矛盾！于是 k0 +k1 +k2

+...+kn-r=0.

从而由（*）得到 k1 η1 + k2 η2 +...+kn-r ηn-r= θ. 又因为 η1 ,η2 ,…,ηn-r 为 Ax=θ 的一个基础解系，它们是线性无关的，所以 k1= k2= ...= kn-r=0. 联立 k0 +k1 +k2 +...+kn-r=0, 可得 k0 =0. 这样就证得 ξ，ξ+η1 , ξ+η2

, …, ξ+ηn-r 为 Ax=b 的一组线性无关解.

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下证 Ax=b 只可能有 n-r+1 个线性无关解. 因为 Ax=b 任一

个解都可表示为

x = ξ+ l1 η1 + l2 η2 +...+ ln-r ηn-r

其中 l1 , l2 , ..., ln-r 为一组常数， 以及

A – B = (MT) -1 (E- )M-1.

因此 A-B 与对角阵 E- 相似. 假设 = diag{ d1, d2 , …, dn }. 又因为 A-B 是正定的, 所以其特征值均为正数，即 E- 的对角元素均为正 数. 则有 1>di (i=1,2,…,n). 于是不难得到 -1-E 是正定的. 注意到

x = ξ+ l1 η1 + l2 η2 +...+ ln-r ηn-r

=(1 -l1 -l2 -...-ln-r )ξ+ l1 (ξ+η1)+ l2 (ξ+η2)+...+ ln-r (ξ+ηn-r)，

所以 Ax=b 任一个解都可由 ξ，ξ+η1 , ξ+η2 , …,

ξ+ηn-r 这样一

组线性无关解进行线性表示. 于是任给 Ax=b 一个线性无关的解向 量组，也可由 ξ，ξ+η1 , ξ+η2 , …, ξ+ηn-r 进行线性表示，则解 向量组的秩不会超过 n-r+1， 自然解向量组的个数也不会超过 n-r+1.

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3.

若A、B 都是可逆的实对称矩阵，且 A、B、A B

都是正定矩阵，证明： B

1

A 1 也是正定矩阵．

证：先证明下述结论：

给定两个同阶的正定矩阵 A 和 B, 则一定存在一个可逆阵 M 使 得

MTAM=E，

MT BM= ， 是对角阵.

事实上，A 正定=>存在可逆 P 使 P TAP=E；对于 P TBP, 其是对称 的, 所以存在正交阵 Q 使得 QT(P TBP)Q= ， 是对角阵；而 QT(P TAP)Q =Q TEQ=E. 于是可取 M=PQ 使上述结论成立.

从上述结论可得 A=(MT) -1EM-1, B=(MT) -1 M-1. 那么

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B-1 – A-1 = M -1MT - MEMT = M( -1-E)MT, 所以 B-1 – A-1 与 -1-E 是合同的，自然也是正定的.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4o84.html