北邮 工程数学（线性代数）综合练习题整理

《线性代数》部分

一、判断题：

001.四阶行列式 D=

c0002.n阶行列式D=

0b00000d0a0= abcd. 0000?0101?1?? (√ )

?100?0100?01000=?1?2??n.

(

)

?2000?3?0?n?11

( ( (

?1?n3.设A为n阶矩阵,k为不等于零的常数,则kA?kA.

) ) )

4.设A,B均为n阶矩阵,则(A?B)2?A2?2AB?B2. 5.若n阶矩阵A,B满足AB=0,则有A=0或者B=0.

6.对n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B,使AB=E(E为n阶单位矩阵),则A可逆且有A 7.设A,B均为n阶矩阵且A?B,则A,B均可逆. 8.若n阶矩阵A,B均为可逆矩阵,则A+B仍为可逆矩阵. 9.设A,B均为n阶可逆矩阵,则?(AB)???1?B.

1??2

(√ ) ( ) ( ) (

√)

?(B?1A?1)?.

10.若n阶矩阵A为对称矩阵,则A为可逆矩阵. 11.若n阶矩阵A为正交矩阵,则A为可逆矩阵. ( ) (√ )

??1??12.若n阶可逆矩阵A=?????2?1??1??????1A?,则????????n??????.

???1??n?(√ )

13.若存在ki?0(i?1,2,?,m)使式子k1?1?k2?2??km?m?0成立,则向量组?1,?2,?,?m线性无关.

(

)

(

)

14.若向量组?1,?2,?,?m线性相关,则?m可用?1,?2,?,?m?1线性表示.

15.设?i(i?1,2,?,n)为基本单位向量组,则?1,?2,?,?n线性无关.

( √)

1

16.若?1,?2,?,?r(r?m)是向量组?1,?2,?,?m的一个极大无关组,则?i(i?1,2,?,m)均可用

?1,?2,?,?r线性表示.

(√ )

(

)

(√)

17.等价向量组所含向量个数相同.

18.若?1,?2,?,?r(r?m)是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价. 19.若m?n矩阵A有一个r(r

(√ ) )

24若线性方程组AX=0(A为n阶矩阵,X同上)满足A?0,则此方程组无解. (

25.若线性方程组AX=B(A,X同24题,B=(b1,b2,?,bn)?)满足A?0,此方程组有无穷多解.

(

)

(

)

26.若?1,?2都是AX=B(A,X,B同23题)的解,则?1??2仍是此方程组的解.

二、填空题：

10 01. 四阶行列式D??20?372. 五阶矩阵A????1 3?223?5 1?_____________________.

2?6 411 7?8?301????32?A1???45??,A2??0?10?,则

???001????A1?00??, 其中 A2??A1?_______, A2?________, A?_____________.

23. 设A,B均为n阶矩阵,且A?2,B??3,则AB=_______________.

4. 设矩阵A?aij??3?3?10?1????32 1??,则a12的余子式为_________________,a12的代数余子式为

?01 1???________________,A的顺序主子式为__________________________.

2

?abc???5. 设三阶矩阵A??bca?,则kA-E =________________(k为不等于零的常数,E为三阶单位矩阵),若

?cab???A?2,则kA=________________.此时A在等价关系下的标准形为____________________.

6. 已知

?1?(1,0,0),?2?(1,0,2),?3?(1,2,3),当a1,a2,a3为任意常数时,向量组

?1?(1,a1,0,0),?2?(1,a2,0,2),?3?(1,a3,2,3)线性________关(相关还是无关). ?3_______(能还是不能)用?1,?2线性表示.

7.设?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(1,0,1),??(?2,1,2),则向量?用向量?1,?2,?3线性表示的表达式为_______________________.向量组?1,?2,?3,?_____________(是或不是)线性相关.

8. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________.

?1??9. 设A为五阶矩阵,且A?3,则A?__________,A?___________,其中A 为A的伴随矩阵.

?A1?A?10.设矩阵?0?0??11??12??1?A,????其中则A?,A?,1= ，1?13?2?10?A2???????1?1A2= ，A= 。

11 .设A为n阶正交矩阵,则Rank(A) =__________________, A?1?_______,A? __________________.

12. 设E为四阶单位矩阵,则初等矩阵E(1,3)=_______________, E(2(3))=________________. 13. 设

A

为四阶矩阵且A?2,B

是由

A

交换

2,3

行得到的等价矩阵,则

Rank(A)_______Rank(B)(等于,大于或小于). B?______,14. 齐次线性方程组x1?2x2?3x3?0的一个基础解系为___________________________,其全部解为____________________________________. 15. 设线性方程组为??x1?2x2?1,它的导出组的一个基础解系为_________________

?x3?x4?2n?1,?1,?2(?1??2)_______________________,此方程组的全部解为________________________________. 16.

设

m?n矩阵A的秩为都是线性方程组

AX=B(X=(x1,x2,?,xn)?,B?(b1,b2,?,bm)?)的解,则它的一个基础解系为___________,全部解为________________________________________________.

3

17. 设向量组??(0,2,?1),??(0,t,1),??(1,12?t,0),则实数t =________时,?,?,? 线性相关.

三、单项选择题：

1．下列5级排列是偶排列的是（ A ）。 A．32415 B．41523 C．51324 D．23154

1111?1?1?2000?002．n 阶行列式D?0?300?00???????=（ C ）。

0000?000000??n0A．??1?2??n B．?1?2??n C．(?1)n?1?1?2??n D．(?1)n?1?2??n

a11a12a13ka11ka12ka133．设3阶行列式a21a22a23?2，则 ka21ka22ka23?（ D ）。 a31a32a33ka31ka32ka33A．2k B．6k C．18k D．2k3

4． 已知4阶行列式D中的第2行的元素依次为1，0，-1，2，它们的余子式依次为3，8，5，4，则D =（ A．6 B．10 C．-10 D．-6

?5．如果线性方程组?3x1?kx2?x3?0?4x2?x3?0有非零解，则k =（ C ）。 ??kx1?5x2?x3?0 A．0或1 B．1或-1 C．-1或-3 D．-1或3 6．n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（ D ）。

A．A = 0 B．A≠ 0 C．| A| = 0 D．|A|≠ 0 7．如果n阶矩阵A，B均可逆，则必有（ D ）。

A．(A?B)?1?A?1?B?1 B．(A?B)?1?A?1?B?1

C．(AB)?1?A?1B?1 D．(AB)?1?B?1A?1

8．如果n阶矩阵A可逆，则(2A)?1=（ A ）。

4

B ）。 A．

1?111A B．2A?1 C．(A)?1 D．A

2229．设A，B都为n阶矩阵，如果|AB|= 0，则必有（ C ）。

A．AB = 0 B．A = 0或 B = 0 C．| A| = 0或| B | = 0 D．AB?0

?ab?10．当ad - cb =1时，?。 ?cd??=（ B ）

??A．???1?a?c???d?d?b??? B． C．????c??ca???bd??b???a?b???? D． ????a???c?d?11．设A为m×n矩阵，如果r(A) = r （< min( m, n )），则（ B ）。

A．A有一个r阶子式不等于零，一个r + 1阶子式等于零。 B．A有一个r阶子式不等于零，所有r + 1阶子式都等于零。 C．A的所有r阶子式都不等于零，一个r + 1阶子式等于零。 D．A的r阶子式不全为零，一个r + 1阶子式等于零。

12．向量组?1,?2,?,?m(m ? 2)线性相关的充分必要条件是（ A ）。

A．?1,?2,?,?m中至少有一个向量可以用其余向量线性表示。 B．?1,?2,?,?m中有一个零向量。

C．?1,?2,?,?m中的所有向量都可以用其余向量线性表示。 D．?1,?2,?,?m中每一个向量都不能用其余向量线性表示。

13．向量组?1，?2，?,?s的部分组?j1，?j2，?,?s的一个极大无关组，则其?,?jr (r?s)是向量组?1，?2，必须满足（ C ）。

A．?j1，?j2，?,?s中至少有一个向量可以用?j1，?j2，?,?jr线性无关，?1，?2，?,?jr线性表示。 B．?1，?2，?,?s线性相关，?1，?2，?,?s中所有向量都可以用?j1，?j2，?,?jr线性表示。 C．?j1，?j2，?,?s中所有向量都可以用?j1，?j2，?,?jr线性无关，?1，?2，?,?jr 线性表示。 D．?j1，?j2，?,?s中所有向量都不可以用?j1，?j2，?,?jr线性无关，?1，?2，?,?jr线性表示。 14．设A为n阶矩阵，XT。 ?(x1,x2,?,xn)T，如果| A | = 0，则齐线性方程组AX = 0（ B ）

A．无解 B．有非零解 C．仅有零解 D．不能确定是否有非零解

5

15．三元线性方程组x1?x2?x3?1的全部解为（ A ）。

?1???1???1???????A．0?k11?k20 （k1,k2为任意常数） ???????0??0??1????????0???1???1???????B．?1??k1?1??k2?0? （k1,k2为任意常数）

?1??0??1????????1???1???1???????C．?1??k1?1??k2?0? （k1,k2为任意常数）

?0??0??1????????1???1???1???????D．?1??k1?1??k2?0? （k1,k2为任意常数）

?1??0??1???????四、计算题：

1112?x21.解方程

232?1212.设D?00?1?1 1?131132323?0.

1x18?x112, 求 D. 0211000011?000?00?01?0?0?10?0000?1101100.

3.计算n阶行列式 D =

4.设矩阵A，B分别为

?23 1???1?3?1?????2?1A=00?1,B? 0 1 1.求 (AB?B). ?????10 2???1 0 1????? 6

?A15.设A???0??3 01?0??32????1?,A?,A?0?10,A. 其中试求1??2???A2??45??0 01???6.求x，y，t，u，使得3???xy??x6??4??????12u?????tu?????t?ux?y??. 3???0 1?1??1?33?????7.求矩阵X使XA=B，其中A?2 1 0,B?4 32. ?????1?1 1??1?25?????8.设X为n阶矩阵且满足AX - B = 0,试求X,其中

?111???011??001?A??????000???000??111101?n??123?n?1???1?012?n?2n?1???001?n?3n?2?1??,B???. ????????000??1?12?????1?01??000??9.设向量组?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,1,3),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1),,试求此向量组的秩和它的一个极大无关组.

?1?010．设A=??3??0

?1 2 0 7321003251?0??,求Rank（A）. 0??1?五、求解下列各题：

?1??1?01.讨论齐次线性方程组AX=0，其中A=????0??0?01100001?00?????000?10110001??0??x1???x0??,X??2?.

?????????x?0??n?1??1）当n为何值时，此方程组有唯一零解，或有非零解？

2）求出当n = 4时方程组的全部解.

2.当?取何值时，下面线性方程组有非零解，并求出此时的全部解.

?(??2)x1 ?3x2 ?2x3?0??x1?(??8)x2 ?2x3?0. ??2x1 ?14x2?(??3)x3?0?3.试讨论下面方程组中?取何值时,它有唯一解,无穷多解或无解,并求出有解时的全部解:

7

?(1??)x1?x2?x3?1??x1?(1??)x2?x3?1 ?x?x?(1??)x?123?14.设向量?1?(1??,1,1),?2?(1,1??,1),?3?(1,1,1??),??(0,?,?2),

1) 当?取何值时,?可用?1,?2,?3线性表示; 2) 当?取何值时,?不能用?1,?2,?3线性表示. 5.当a,b为何值时,方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?a?12345 ? 有无穷多解?并求此时的全部解.

x?2x?2x?6x?3345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?b?x1?4x2?2x3??1?2x?3x?x?5x??7?1234 ?3x?7x?x?5x??8234?1??x2?x3?x4??16.求线性方程组 的全部解.

7.求下面线性方程组的全部解:

?x1?3x2?6x3?2x4??7??2x?5x?10x?3x?10?1234 ?

x?2x?4x?023?1??x2?2x3?3x4??108.当a,b取何值时,下面三元线性方程组有唯一解,无穷多解或无解?

?ax1?x2?x3?4? ?x1?bx2?x3?3 ?x?2bx?x?423?1

六、证明题：

1.若n阶矩阵A满足A+ A- E = 0,其中E为n阶单位矩阵,试证矩阵A+E为可逆矩阵. 2.设A为n阶矩阵且A= 0 (n为自然数)，则E- A是可逆矩阵且

n2(E?A)?1=E?A?A2???An?1(其中E为n阶单位矩阵).

3.设?1,?2,?3线性无关,则?1??2,?2??3,?3??1亦线性无关.

4.设向量组?1,?2,?,?m(1)与向量组?1,?2,?,?m,?(2)有相同的秩,则?可用?1,?2?,?m线性表示.

8

??x1?x2?a15.证明线性方程组 ??x3?x4?a2x

满足ab?1?a2?1?b2时有解.

1?x3?b1??x2?x4?b26.设A为正交矩阵,试证其伴随矩阵A?亦.

北京邮电大学高等函授教育、远程教育

《工程数学》综合练习解答

通信工程、计算机科学与技术专业（本科）

《线性代数》部分

一、判断题：

1.√ , 2.×, 3. ×, 4. ×, 5. ×, 6. √, 7. ×, 8. ×, 9. √, 12. √,13. ×, 14. ×, 15. √ 16. √ 17. ×, 18. √, 19. ×, 20. 23. √, 24. ×, 25. ×, 26. ×.

二、填空题：

1. 0;

2. 7, -3, -21;

3. -12;

4. 3, -3, 1,2,-2;

?? 5.?ka?1kbkc??kbkc?1ka??,

2k3, ?1?

?1???; ?kckakb?1????1??

6. 无关, 不能;

7.???4?1??2?2?3,

是;

??1?

8. A?0,

Rank(A)=n; 9.

1; 81 ;10. ? 3?22?3,??1??2 1?, ?2????10 0??0 1?? 10 0??11?1? 3?,

??1?22??2?? 0 00 2??; 11. n, A? ,?1; ? 0 01?1????0010??1000?12. ?0100?????0300???1000?,010?;

13. ?2, ?;

??0001??0?????0001???

9

10. ×, 11. ,21. ×, 22. ,

, √√√14.?1?(?2,1,0)?,?2?(?3,0,1)?,

k1?1?k2?2(k1,k2为任意常数);

15.?1?(2,1,0,0)?,?2?(0,0,?1,1)?,??(1,0,2,0)??k1?1?k2?2.(k1,k2为任意常数) 16.

?1??2, ?1?k(?1??2)(k为任意常数)

17. ?2.

三、单项选择：

题号 选项 1 A 2 C 3 D 4 B 5 C 6 D 7 D 8 A 9 C 10 B

题号 选项 11 B 12 A 13 C 14 B 15 A

四、计算题：

1 101?x21. 原式=

0 10?3 2 3 0 0?3(1?x2)(2x?8)?0

?3x?6?32?x求得 x??1,x?4.

1?1012. D=

0000111?1?4,

4101?? 故有 D=16.

210113. D按第一行展开?0000=1+(-1)

n?1

00??1?00110?0011??(?1)n?1???10000?11(n?1)阶000?

0000 ?1101(n?1)阶00?2,当n为奇数时=?.?0,当n为偶数时10

4. 原式=B?1(A?B)?1,其中

B?1??1?3?1???? 0 1 1????1 0 1????1? 1 3?2??,

???1?2 1??? 1 3?1???

???100??100???A+B=?010?, (A?B)?1??010?

?1??003??00???3??2?? 1 3??3???1?B?1(A?B)?1 =??1?2 ?

?3??1??? 1 3???3??所以

(AB?B2)?15. 由于

A1?7?0,A2??3?0, 则 A?A1A2?0所以 A1,A2,A均可逆,且有

2???7?, 3 ??7??1A1?5? 7??4????7?1A21??1 0??33?????0?1 0? ?0 0 1?????00 0 0? 0?? 0?? 1???3? 0?? 1??

A?1?5? 7???4?7???0??0??0??273 70001 030?10 06. 由题意可得 ???3x3y??x?4x?y?6??? ??????3t3u??t?u?12u?3? 则有

?3x?x?4?3y?x?y?6?, 求得x=2, y=4, t=1, u=3. ?3t?t?u?1???3u?2u?311

7. 由 XA=B可得X?BA, 其中A?1?1? 10 1??,

???21?2????31?2???则

?1?33?? 10 1???20 1???????X =4 32?21?2??85?6 ???????1?25???31?2???103?5????????18. 由AX=B及A?1?0可知X?AB,其中

?1??0?0?1A????0??0??1??0?0X????0??0??1??0?0=???0??0??110?00?110?00110?000000?110000?1100?00??000?10000?10?1??????1??00??0??0?0??,??1??1??0??123?n?1n????0??012?n?2n?1?0??001?n?3n?2????

???????000???1?12?????1??000?01??1?11?11?1?0?10?011011??1?1?? ??1??1??011?1?? 0?1 ??00???1??1????22???9. 记 A????3??1?????4??0

1??11?0?1 3????100??00??1?1 ?1 ??0011011以上矩阵中有一个三阶子式 0?11?0,且所有的四阶子式都等于零,

0

故Rank(A)=3,即秩??1,?2,?3,?4??3,且它的一个极大无关组为?1,?2,?3.

12

3?1?1 ?02210. A???03?8 ?0?07故 Rank(A) = 4.

03250?1?1 3?31??0112?0????5?3 ??0011? 2?1??43?000??11?1??0??? 3??32??11?五、求解下列各题：

1. 1)

1011A按第一行展开?0000=1+(-1)

n?1

00??1?0??0110?0011??(?1)n?1???10000?11(n?1)阶000?0000 ?1101(n?1)阶00?2,当n为奇数时, =?0,当n为偶数时?所以,当n为奇数时,A?2?0,方程组有唯一零解;当n为偶数时,A?0方程组有非零解.

?1?12) 当n = 4时,A???0??0011000111??1?00????0??0??1??0010001?0?1 ?? 11??00??x1??x4?原方程组的同解方程组为 ?x2?x4

?x??x4?3令x4= 1得原方程组的基础解系为

(?1,1,?1,1)?,

则原方程组的全部解为k(-1,1,-1,1)(k为任意常数).

??22.

?3?2?2?(??3)2(??1)

??3A??1 2??8 14

当A?0,即??1或??3时,方程组有非零解. 其中当??1时,原方程组的同解方程组为

?x1?3x2?2x3?0 ?? x2?013

求得它的一个基础解系为(2,0,?1)?,

此时原方程组的全部解为k1(2,0,?1)?(k1为任意常数);

当??3时,原方程组的同解方程组为

?x1?3x2?2x3?0 ? 2x?x?0?23求得它的一个基础解系为 此时原方程组的全部解为

(1,?1,2)?,

k2(1,?1,2)?(k2为任意常数).

1??3.

11A?111??1??2(??3) 11??

1) 当??0且???3时,A?0方程组有唯一解,其同解方程组为

?x1?x2?(1??)x3?1 ?x?x?x23?1x1?x2?x3?1. ??3 求得

?1111??1111?????2) 当??0时, A??1111???0000?

?1111??0000?????此时Rank(A)=Rank(A)=1<3,方程组有无穷多解,其同解方程组为x1?x2?x3?1,求得它的全部解为

??(1,0,0)??k1(1,0,?1)??k2(1,?1,0)?(k1,k2为任意常数,)

111??11?21???2 ?1???01?10??2 113) 当???3时, A????? ?1??1?2 1????00 01?此时Rank(A)?3?Rank(A)?2,原方程组无解. 4. 设

??k1?1?k2?2?k3?3,即

?(1??)k1?k2?k3?0??k1?(1??)k2?k3?? ?2?k1?k2?(1??)k3?? (1)

14

1??方程组(1)的系数行列式A?11111111??1?(??3)0?0??2(??3) 11??00?当??0且??3时,A?0,方程组(1)有唯一解,此时?可用?1,?2,?3线性表示;

?1110??1110?????当??0时, A??1110???0000?,Rank(A)=Rank(A)=1<3,方程组(1)有无穷多解,此时?亦可

?1110??0000?????用?1,?2,?3线性表示;

110??00 01???2 ????01?14?, Rank

?2 1?3 当???3时, A?1(A)?3?

?????1??1?2 9????11?29?Rank(A)=2,此时方程组(1)无解,即?不能用?1,?2,?3线性表示.

5.

?1?3A???0??5121411231123 1?3 6?11??1?0a????3??0??b??011001200120011?63?? 0a??0b?2?显然,Rank(A)=2,当Rank(A)?Rank(A)?2时,此方程组有解且有无穷多解,即 当a=0且b=2时,方程组有无穷多解.它的同解方程组为

?x1?x2?1?x3?x4?x5 ? x?3?2x?2x?6x?2345令x3?x4?x5?0 时,可得原方程组的一个特解为 原方程组的导出组的同解方程组为

?0?(?2,3,0,0,0)?,

?x1?x2??x3?x4?x5 ? x??2x?2x?6x?2345可求得它的一个基础解系为?1?(1,?2,1,0,0)?,?2?(1,?2,0,1,0)?,?3?(5,?6,0,0,1)?. 则原方程组的全部解为???0?k1?1?k2?2?k3?3(k1,k2,k3为任意常数).

6.

?1?2A???3??0?4 2 0?3?1?5?7 1?5 1?1?1?1??1?4 20?1??01??7??1 ?1 ?1????

?8??0000 0?????1??0000 0?15

原方程组的同解方程组为 ??x1?4x2?2x3??1, 求得它的一个特解为

?x2?x3?x4??1?0?(?5,?1,0,0)?,其导出组的一个基础解系为?1?(2,1,1,0)?,?2?(4,1,0,1)?,

则原方程组的全部解为???0?k1?1?k2?2(k1,k2为任意常数)

7.

36?2?7??1?1??2 ?5 ?10 3 10??0???A???124 0 0??0???012?3?10???031006?2?7?2?1?4?? 0 1 3??0 0 0??x1?3x2?6x3?2x4??7?原方程组的同解方程组为 ? x2?2x3?x4?4

? x?3?4令x3?0,可求得方程组的一个特解为?0?(2,?1,0,3)?,

?x1?3x2?2x4??6x3?其导出组的同解方程组为 ? x2?x4??2x3,

? x?0?4令x3?1 ,可求得它的一个基础解系为??(0,?2,1,0)?, 则原方程组的全部解为???0?k?(k为任意常数).

a8.

11A?1b1?b(1?a)

12b1当b?0且a?1时,A?0,方程组有唯一解;

?a114???A?1013当b = 0时, ??, 显然,此时方程组无解;

?1014???114??1114??1????当a?1时,A?1b13?0b?10?1 ,其中

?????12b14??02b?100?????1当a = 1且b=时,

2

?1114???A??0101?, Rank(A)?Rank(A)?2?3,方程组有无穷多解, 2?0000???16

?1114?1??,0当a = 1且b?时,A?010Rank(A)?3?Rank(A)?2,此时方程组无解.

??2?000?1 ???综上所述: 当a?1且b?0时,方程组有唯一解;

1时,方程组有无穷多解; 21当b?0或当a?1且b?时,方程组无解.

2当a?1且b?2六、证明题：

21. 因为A?A?E?0,即A?A?E

也就是 故有 所以

A(A?E)?E

AA?E?1?0

A?E?0, 即A+E为可逆矩阵.

2. 由于(E?A)(E?A?A2???An?1)

=E?A?A???A=E?A?E

n2n?1?A?A2???An

(An?0)

由逆矩阵的定义可知,E?A可逆且 (E?A)?1?E?A?A2??An?1 . 3. 设 k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0

即(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0 由于

?1,?2,?3 线性无关,所以其系数必须满足

?k1?k3?0??k1?k2?0 ?k?k?03?210110?2?0, 所以上面方程组有唯一零解, 011由于A?1故有?1??2, ?2??3,?3??1 线性无关.

4. 设?1,?2,?,?r(r?m)为向量组(1)的一个极大无关组,则有

17

秩??1,?2,?,?m,??, ?1,?2,?,?m?= r =秩?也就是说,?1,?2,?,?r(r?m)也是向量组(2)的一个极大无关组.

所以,?可用?1,?2,?,?r线性表示,即??k1?1?k2?2???kr?r(r?m) 若r < m , 则??k1?1???kr?r?0?r?1???0?m 即当r?m时,?均可用?1,?2,?,?m线性表示.

?1??05.A??1??0?100a1??1??011a2??0?010b1??0???101b2???0100??101b2?

011b1?b2?a1??000a1?a2?(b1?b2)??a1显然,当 a1?a2?b1?b2 时,Rank(A)?Rank(A)?3,此时方程组必有解. 6.由于A为正交矩阵,故有AA??A?A,且A又因为

2?1,A??A?1,

A??AA?1,所以有

A?(A?)??(AA?1)(AA?1)?

??1?1=A(A)(A)?

2(A?1)

2=A?A?E

??同理可得(A)?A?E , 由正交矩阵的定义可知A亦为正交矩阵.

18

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4o4w.html