2018年湖北省随州市中考数学试卷

2018年湖北省随州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1．（3.00分）（2018?随州）﹣的相反数是（ ） A．﹣ B． C．﹣2 D．2

2．（3.00分）（2018?随州）如图是一个由4个相同正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

3．（3.00分）（2018?随州）下列运算正确的是（ ） A．a2?a3=a6 B．a3÷a﹣3=1

C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2 D．（﹣a2）3=﹣a6

4．（3.00分）（2018?随州）如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（ ）

A．25° B．35° C．45° D．65°

5．（3.00分）（2018?随州）某同学连续6次考试的数学成绩分别是85，97，93，79，85，95，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A．85 和 89

B．85 和 86

C．89 和 85

D．89 和 86

6．（3.00分）（2018?随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则

的值为（ ）

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A．1 B． C．1 D．

7．（3.00分）（2018?随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ）

A． B．

C． D．

8．（3.00分）（2018?随州）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．

9．（3.00分）（2018?随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）

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A．33 B．301 C．386 D．571

10．（3.00分）（2018?随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论： ①2a+b+c＞0； ②a﹣b+c＜0； ③x（ax+b）≤a+b； ④a＜﹣1．

其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二.填空题（本大题共6小题、每小题3分，共18分，只需要将结果直接填在答卡对应题号处的横线上）

11．（3.00分）（2018?随州）计算：

﹣|2﹣2

|+2tan45°= ．

12．（3.00分）（2018?随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 度．

第3页（共33页）

13．（3.00分）（2018?随州）已知一组解，则a+b= ．

是关于x，y的二元一次方程组的

14．（3.00分）（2018?随州）如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C，若tan∠AOC=，则k的值为 ．

15．（3.00分）（2018?随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为 ．

16．（3.00分）（2018?随州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断： ①AC垂直平分BD；

②四边形ABCD的面积S=AC?BD；

③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形； ④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为

；

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⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为

．

其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）

三、解答题（本人题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）

17．（6.00分）（2018?随州）先化简，再求值：且满足不等式组

．

，其中x为整数

18．（7.00分）（2018?随州）己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若

+

=﹣1，求k的值．

19．（9.00分）（2018?随州）为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了30名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，己知成绩x（单位：分）均满足“50≤x＜100”．根据图中信息回答下列问题： （1）图中a的值为 ；

（2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩x在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为 度；

（3）此次比赛共有300名学生参加，若将“x≥80”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀“的学生大约有 人：

（4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92分，若从成绩在“50≤x＜60”和“90≤x＜100”的学生中任选2人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概

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率．

20．（8.00分）（2018?随州）随州市新?水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD． （1）求最短的斜拉索DE的长； （2）求最长的斜拉索AC的长．

21．（8.00分）（2018?随州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点． （1）求证：MD=MC； （2）若⊙O的半径为5，AC=4

，求MC的长．

22．（11.00分）（2018?随州）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20

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元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：

天数（x） 每件成本p（元） 1 7.5 3 8.5 6 10 10 12 任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=

设李师傅第x天创造的产品利润为W元．

（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围： （2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？

（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？

23．（11.00分）（2018?随州）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.化为分数形式

由于0.=0.777…，设x=0.777…① 则10x=7.777…②

②﹣①得9x=7，解得x=，于是得0.=． 同理可得0.==，1.=1+0.=1+=

根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】

（1）0.= ，5.= ； （2）将0.

化为分数形式，写出推导过程；

【能力提升】

（3）0.1= ，2.0

= ；

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（注：0.1=0.315315…，2.0【探索发现】

=2.01818…）

（4）①试比较0.与1的大小：0. 1（填“＞”、“＜”或“=”） ②若已知0.8571=，则3.1428= ． （注：0.857l=0.285714285714…）

24．（12.00分）（2018?随州）如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值： （3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

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2018年湖北省随州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1．（3.00分）（2018?随州）﹣的相反数是（ ） A．﹣ B． C．﹣2 D．2

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：﹣的相反数是， 故选：B．

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2．（3.00分）（2018?随州）如图是一个由4个相同正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

3．（3.00分）（2018?随州）下列运算正确的是（ ） A．a2?a3=a6 B．a3÷a﹣3=1

C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2 D．（﹣a2）3=﹣a6

【分析】根据同底数幂的乘法、完全平方公式及同底数幂的除法、幂的乘方逐一

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计算可得．

【解答】解：A、a2?a3=a5，此选项错误； B、a3÷a﹣3=a6，此选项错误；

C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，此选项错误； D、（﹣a2）3=﹣a6，此选项正确； 故选：D．

【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、完全平方公式及同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则．

4．（3.00分）（2018?随州）如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（ ）

A．25° B．35° C．45° D．65°

【分析】过点C作CD∥a，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD． ∵a∥b， ∴CD∥b， ∴∠2=∠DCB． ∵∠ACD+∠DCB=90°， ∴∠1+∠2=90°， 又∵∠1=65°， ∴∠2=25°． 故选：A．

【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解

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答此题的关键．

5．（3.00分）（2018?随州）某同学连续6次考试的数学成绩分别是85，97，93，79，85，95，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A．85 和 89

B．85 和 86

C．89 和 85

D．89 和 86

【分析】根据众数、中位数的定义即可判断；

【解答】解：将数据重新排列为79、85、85、93、95、97， 则这组数据的中位数为故选：A．

【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是次数出现最多的数；

6．（3.00分）（2018?随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则

的值为（ ）

=89，众数为85

A．1 B． C．1 D．

【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S

四边形BCED

，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．

【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴（

）2=

．

∵S△ADE=S四边形BCED，

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∴∴

==

，

=

=

﹣1．

故选：C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

7．（3.00分）（2018?随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据兔子的路程在一段时间内保持不变、乌龟比兔子所用时间少逐一判断即可得．

【解答】解：由于兔子在图中睡觉，所以兔子的路程在一段时间内保持不变，所以D选项错误；

因为乌龟最终赢得比赛，即乌龟比兔子所用时间少，所以A、C均错误； 故选：B．

【点评】本题主要考查函数图象，解题的关键是弄清函数图象中横、纵轴所表示的意义及实际问题中自变量与因变量之间的关系．

8．（3.00分）（2018?随州）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）

第12页（共33页）

A． B． C． D．

【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率． 【解答】解：如图，连接PA、PB、OP； 则S半圆O=

=

，S△ABP=×2×1=1，

由题意得：图中阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP） =4（

﹣1）=2π﹣4，

=

，

∴米粒落在阴影部分的概率为故选：A．

【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．

9．（3.00分）（2018?随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）

第13页（共33页）

A．33 B．301 C．386 D．571

【分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得． 【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=为n2， 当n=19时，

=190＜200，当n=20时，

=210＞200，

，第n个正方形数，第n个正方形数为

所以最大的三角形数m=190；

当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200， 所以最大的正方形数n=196， 则m+n=386， 故选：C．

【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n个三角形数为1+2+3+…+n=

10．（3.00分）（2018?随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论： ①2a+b+c＞0； ②a﹣b+c＜0； ③x（ax+b）≤a+b； ④a＜﹣1．

其中正确的有（ ）

第14页（共33页）

，第n个正方形数为n2．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．

【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣∴b=﹣2a，

∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧， 而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧， ∴当x=﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，所以②正确； ∵x=1时，二次函数有最大值， ∴ax2+bx+c≤a+b+c，

∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；

∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，

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=1，

∴AO=EO=3，

∵S△BDE=×BD×OE=×BE×DF， ∴DF=

=

，

∵BF⊥CD，BF∥AD， ∴AD⊥CD，EF=

∵S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF， ∴×5h=（5+5+）×解得h=

，故⑤错误；

﹣×5×

，

=，

故答案为：①③④．

【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用图形面积的和差关系进行计算．

三、解答题（本人题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）

17．（6.00分）（2018?随州）先化简，再求值：且满足不等式组

．

，其中x为整数

【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，由x为整数且满足不等式组【解答】解：=

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可以求得x的值，从而可以解答本题．

==由

，

得，2＜x≤3，

∵x是整数， ∴x=3， ∴原式=

．

【点评】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．

18．（7.00分）（2018?随州）己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若

+

=﹣1，求k的值．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的取值范围；

（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3、x1x2=k2，结合得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，

∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0， 解得：k＞﹣．

（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根， ∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2， ∴

+

=

=﹣

=﹣1，

+

=﹣1即可

解得：k1=3，k2=﹣1，

经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根．

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又∵k＞﹣， ∴k=3．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合=﹣1找出关于k的分式方程．

19．（9.00分）（2018?随州）为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了30名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，己知成绩x（单位：分）均满足“50≤x＜100”．根据图中信息回答下列问题： （1）图中a的值为 6 ；

（2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩x在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为 144 度；

（3）此次比赛共有300名学生参加，若将“x≥80”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀“的学生大约有 100 人：

（4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92分，若从成绩在“50≤x＜60”和“90≤x＜100”的学生中任选2人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率．

+

【分析】（1）用总人数减去其他分组的人数即可求得60≤x＜70的人数a； （2）用360°乘以成绩在70≤x＜80的人数所占比例可得； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可得；

（4）先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出有C的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）a=30﹣（2+12+8+2）=6， 故答案为：6；

第23页（共33页）

（2）成绩x在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为360°×故答案为：144；

=144°，

（3）获得“优秀“的学生大约有300×故答案为：100；

=100人，

（4）50≤x＜60的两名同学用A、B表示，90≤x＜100的两名同学用C、D表示（小明用C表示）， 画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中有C的结果数为6， 所以小明被选中的概率为

=．

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图和频率分布直方图．

20．（8.00分）（2018?随州）随州市新?水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD． （1）求最短的斜拉索DE的长； （2）求最长的斜拉索AC的长．

第24页（共33页）

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长； （2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=3

，则AB=3BD=15

，在Rt△ABH

中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长． 【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴DE=

BE=

×6=3

．

m；

答：最短的斜拉索DE的长为3（2）作AH⊥BC于H，如图2， ∵BD=DE=3

，

=15

，

∴AB=3BD=5×3

在Rt△ABH中，∵∠B=45°， ∴BH=AH=

AB=

×15

=15，

在Rt△ACH中，∵∠C=30°， ∴AC=2AH=30．

答：最长的斜拉索AC的长为30m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．

21．（8.00分）（2018?随州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN

第25页（共33页）

为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点． （1）求证：MD=MC； （2）若⊙O的半径为5，AC=4

，求MC的长．

【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；

（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．

【解答】解：（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，

∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°， ∵OM⊥AB，

∴∠OAC+∠ODA=90°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ACM=∠ODA=∠CDM， ∴MD=MC；

（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴BC=

，

，

∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AOD∽△ACB，

第26页（共33页）

∴，即，

可得：OD=2.5，

设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52， 解得：x=即MC=

， ．

【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．

22．（11.00分）（2018?随州）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：

天数（x） 每件成本p（元） 1 7.5 3 8.5 6 10 10 12 任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=

设李师傅第x天创造的产品利润为W元．

（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围： （2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？

（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？

【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：

（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题； （3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题． 【解答】解：（1）设p与x之间的函数关系式为p=kx+b，

第27页（共33页）

，解得，，

即p与x的函数关系式为p=0.5x+7（1≤x≤15，x为整数）， 当1≤x＜10时，

W=[20﹣（0.5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260， 当10≤x≤15时，

W=[20﹣（0.5x+7）]×40=﹣20x+520， 即W=

（2）当1≤x＜10时，

W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324， ∴当x=8时，W取得最大值，此时W=324， 当10≤x≤15时， W=﹣20x+520，

∴当x=10时，W取得最大值，此时W=320， ∵324＞320，

∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元； （3）当1≤x＜10时，

令﹣x2+16x+260=299，得x1=3，x2=13， 当W＞299时，3＜x＜13， ∵1≤x＜10， ∴3＜x＜10， 当10≤x≤15时，

令W=﹣20x+520＞299，得x＜11.05， ∴10≤x≤11，

由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元），

即李师傅共可获得160元奖金．

【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解不等式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．

第28页（共33页）

；

23．（11.00分）（2018?随州）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.化为分数形式

由于0.=0.777…，设x=0.777…① 则10x=7.777…②

②﹣①得9x=7，解得x=，于是得0.=． 同理可得0.==，1.=1+0.=1+=

根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）0.= （2）将0.

，5.=

；

化为分数形式，写出推导过程；

【能力提升】 （3）0.1=

，2.0

=

； =2.01818…）

（注：0.1=0.315315…，2.0【探索发现】

（4）①试比较0.与1的大小：0. = 1（填“＞”、“＜”或“=”） ②若已知0.8571=，则3.1428= （注：0.857l=0.285714285714…）

【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形式，如果循环节有n位，则这个分数的分母为n个9，分子为循环节． 【解答】解：（1）由题意知0.=、5.=5+=故答案为：、（2）0.

．

，

；

=0.232323……，

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设x=0.232323……①， 则100x=23.2323……②， ②﹣①，得：99x=23， 解得：x=∴0.

=

， ；

（3）同理 0.1=

=

，2.0，

=2+=

故答案为：

（4）①0.==1 故答案为：= ②3.1428=3+故答案为：

=3+=

【点评】本题考查了规律探索和简单一元一次方程的应用，解答时注意按照阅读材料的示例找到规律．

24．（12.00分）（2018?随州）如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值： （3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x

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轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，

m），代入所设解析式求解可得；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解．

【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0）， ∴OA=1， ∴OC=3OA，

∴点C的坐标为（0，3），

将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：

，

解得：

，

∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， 所以点G的坐标为（1，4）．

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k， 过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，

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∵△A′B′G′为等边三角形， ∴G′D=

B′D=

m，

m），

则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：

，

解得：∴k=1；

（舍），，

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2）， ∴PQ=OA=1，

∵∠AOQ、∠PQN均为钝角， ∴△AOQ≌△PQN，

如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，

则∠QHN=∠OMQ=90°， 又∵△AOQ≌△PQN，

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∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN， ∴∠MOQ=∠HQN，

∴△OQM≌△QNH（AAS）， ∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1， 解得：x=当x=

（负值舍去）， 时，HN=QM=﹣x2+2x+2=

+

，点M（

，﹣1）；

，0），

∴点N坐标为（或（如图3，

﹣

，﹣1），即（

，﹣1），即（1，﹣1）；

同理可得△OQM≌△PNH，

∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1， 解得：x=﹣1（舍）或x=4，

当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，

∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）； 综上点M1（

，0）、N1（

，﹣1）；M2（

，0）、N2（1，﹣1）；

M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4o16.html