2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（陕西卷·文科）（附答

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

文科数学（必修+选修Ⅰ）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．sin330等于（ ） A．??3 2

B．?1 2C．

1 2D．

3 2，2，3，4，5}，集合A?{1，3}，B?{3，4，5}，则集合eU(A?B)?（ ） 2．已知全集U?{1A．{3}

5} B．{4，

4，5} C．{3，，2，4，5} D．{13．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的

方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ） A．30 B．25 C．20 D．15 4．已知{an}是等差数列，a1?a2?4，a7?a8?28，则该数列前10项和S10等于（ ） A．64

B．100

C．110

D．120

5．直线3x?y?m?0与圆x2?y2?2x?2?0相切，则实数m等于（ ） A．?33或3

B．?33或33 C．3或?3

D．?3或33 6．“a?1”是“对任意的正数x，2x?A．充分不必要条件 C．充要条件

x?3a≥1”的（ ） xB．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件 ，f?17．已知函数f(x)?2，则(x)是f(x)的反函数，若mn?16（m，n?R+）

f?1(m)?f?1(n)的值为（ ）

A．10

B．4

C．1

D．?2

8．长方体ABCD?A1BC11D1的各顶点都在为1的球面上，其中AB:AD:AA1?2:1:3，则A，B两点的球面距离为（ ） A．

π 4B．

π 3C．

π 2D．

2π 3x2y2?9．双曲线2?2?1（a?0，b?0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30ab的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）

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A．6 B．3 C．2

D．

3 310．如图，???，????l，A??，B??，A，B到l的距离分别是a和b，AB与

?，?所成的角分别是?和?，AB在?，?内的射影分别是m和n，若a?b，则（ ）

A．???，m?n C．???，m?n

B．???，m?n D．???，m?n

A l a ?

b B ? 11．定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy(x，y?R)，f(1)?2，则f(?2)等于（ ）

A．2 B．3 C．6 D．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输

1，2）1}（i?0，信息．设定原信息为a0a1a2，，传输信息为h0a0a1a2h1，其中ai?{0，h0?a0?a1，h1?h0?a2，?运算规则为：0?0?0，0?1?1，1?0?1，1?1?0，

例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A．11010 B．01100 C．10111 D．00011

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c?则a? ．

2，b?6，B?120?，

1?2?14．?1??的展形式中2的系数为 ．（用数字作答）

xx??15．关于平面向量a，b，c．有下列三个命题：

7b=a?c，则b?c．②若a?(1，k)，b?(?2，6)，a∥b，则k??3． ①若a?③非零向量a和b满足|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为60．

其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）

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已知函数f(x)?2sinxxxcos?3cos． 442（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令g(x)?f?x???π??，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 3? 18．（本小题满分12分）

一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．

（Ⅰ）连续摸球2次，求第一次摸出黑球、第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率． 19．（本小题满分12分）

?BAC?90，三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，D为BC中点． A1A?平面ABC，A1A?3，AB?AC?2AC11?2，

（Ⅰ）证明：平面A1AD?平面BCC1B1； （Ⅱ）求二面角A?CC1?B的大小． 20．（本小题满分12分） 已知数列{an}的首项a1?B1 A B D A1 C1

?C

22an，2，?． ，an?1?，n?13an?1?1?（Ⅰ）证明：数列??1?是等比数列；

?an?（Ⅱ）求数列??n??的前n项和Sn． ?an?第 3 页 共 11 页

21．（本小题满分12分）

已知抛物线C：y?2x2，直线y?kx?2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

????????（Ⅱ）是否存在实数k使NA?NB?0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分14分）

设函数f(x)?x3?ax2?a2x?1，g(x)?ax2?2x?1，其中实数a?0． （Ⅰ）若a?0，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当函数y?f(x)与y?g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时，记g(x)的最小值为h(a)，求h(a)的值域；

（Ⅲ）若f(x)与g(x)在区间(a，a?2)内均为增函数，求a的取值范围．

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

文科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案

一、1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．A

7．D 8．C 9．B 10．D 11．A 12．C 二、13．2 14．84 15．② 16．96 三、17．解：（Ⅰ）?f(x)?sinxx?xπ??3cos?2sin???． 22?23??f(x)的最小正周期T?2π?4π． 12当sin??xπ??xπ? ????1时，f(x)取得最小值?2；当sin????1时，f(x)取得最大值2．

?23??23?π??xπ????．又g(x)?f?x??．

3??23??（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?2sin?x?1?π?π??xπ??g(x)?2sin??x?????2sin????2cos．

23?3??22??2?x?x??g(?x)?2cos????2cos?g(x)．

2?2??函数g(x)是偶函数．

218．解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有A9种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有2种结果，则所求概率 A32A42341A32A41P???）（或． P??112986A96111A2A2A2（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为2，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的2A9A921A2A2概率为，则摸球次数不超过3的概率为

A9211221A2A2A2A2A7P2?2?2?22?．

A9A9A912第 5 页 共 11 页

19．解法一：（Ⅰ）?A1A?平面ABC，BC?平面ABC，

?A1A?BC．

在Rt△ABC中，AB?AC，D为BC中点，

?BC?AD．又AA1?AD?A，

?BC?平面A1AD，又BC?平面BCC1B1，

?平面A1AD?平面BCC1B1．

（Ⅱ）如图，作AE?C1C交C1C于E点，连接BE， 由已知得AB?平面ACC1A1．

?AE是BE在平面ACC1A1内的射影．

由三垂线定理知BE?CC1，

??AEB为二面角A?CC1?B的平面角．

过C1作C1F?AC交AC于F点， 则CF?AC?AF?1，C1F?A1A?3，

??C1CF?60?．

在Rt△AEC中，AE?ACsin60??2?32?3． 在Rt△BAE中，tanAEB?AB223AE?3?3． ??AEB?arctan233， 即二面角A?CC231?B为arctan3． 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则A(0，0，，0)B(2，0，，0)C(0，2，，0)A1(0，0，3)，C1(01，，3)，?D为BC的中点，?D点的坐标为(11，，0)．

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A1 C1

B1

E

A

F C

B

D （第19题，解法一）

z A1 C1 B1 A B D C y x （第19题，解法二）

?????????????AD??110，3)，BC?(?2，2，0)． ，，0?，AA1?(0，?????????AD?BC?1?(?2)?1?2?0?0?0，

???????? AA?0?(?2)?0?2?3?0 ?01?BC?BC?AD，BC?AA1，又A1A?AD?A，

?BC?平面A1AD，又BC?平面BCC1B1，?平面A1AD?平面BCC1B1．

????（Ⅱ）?BA?平面ACC1A1，取m?AB?(2，0，0)为平面ACC1A1的法向量， ?????????设平面BC1的法向量为n?(l，m，n)，则BC?n?0，CC1?n?0．

?3??2l?2m?0，???l?m，n?m，

3???m?3n?0，?3?，?如图，可取m?1，则n??11?，?， 3??2?1?0?1?cos?m，n??3?032??3?22?02?02?12?12???3??21， 7?二面角A?CC1?B为arccos20．（Ⅰ）?an?1?21． 72ana?11111，??n???，

an?12an22anan?1??11?1211?1???1?，又a1?，??1?， an?12?an3a12????数列?1?1?是以1为首项，1为公比的等比数列．

22?an?（Ⅱ）由（Ⅰ）知

111111nn?1??n?1?n，即?n?1，??n?n． an222an2an2123n?2?2???n， ① 2222112n?1n则Tn?2?3???n?n?1， ② 22222设Tn?第 7 页 共 11 页

①?②得

1?1?1???1111nn1n2?2n?Tn??2???n?n?1??n?1?1?n?n?1，

1222222221?2?Tn?2?1nn(n?1)?1?2?3???．又， 2n?12n2?n?2?nn(n?1)n2?n?4n?2??n． ?数列?? 的前n项和Sn?2?n?2222?an?21．解法一：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x12)，B(x2，2x22)，把y?kx?2代入y?2x2得

2x2?kx?2?0，

k，x1x2??1， 2x?xk?xN?xM?12?，

24由韦达定理得x1?x2?y M 2 B 1 N O 1 x A ?kk2?N点的坐标为?，?48??． ?k2k??设抛物线在点N处的切线l的方程为y??m?x??，

84??mkk2??0， 将y?2x代入上式得2x?mx?4822?直线l与抛物线C相切，

?mkk2????m?8????m2?2mk?k2?(m?k)2?0，?m?k．

8??42即l∥AB．

????????（Ⅱ）假设存在实数k，使NA?NB?0，则NA?NB，

|MN|?又?M是AB的中点，?由（Ⅰ）知yM?1|AB|． 2111(y1?y2)?(kx1?2?kx2?2)?[k(x1?x2)?4] 222?k21?k2???4???2． 2?2?4k2k2k2?16?MN?x轴，?|MN|?|yM?yN|??2??．

488第 8 页 共 11 页

|x1?x2|?1?k?(x1?x2)?4x1x2 又|AB|?1?k?22212?k?2k?1?k2?16． ?1?k????4?(?1)?2?2?2k2?1612??k?1?k2?16．解得k??2．

84????????即存在k??2，使NA?NB?0．

2解法二：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x12)，B(x2，2x2)，把y?kx?2代入y?2x2得

k2x2?kx?2?0．由韦达定理得x1?x2?，x1x2??1．

2?kk2x1?x2k?，?N点的坐标为?，?xN?xM?24?48?2?．?y?2x，?y??4x， ??抛物线在点N处的切线l的斜率为4?k?k，?l∥AB．

4????????k（Ⅱ）假设存在实数，使NA?NB?0．

???????kk2????kk2?22由（Ⅰ）知NA??x1?，2x1??，NB??x2?，2x2??，则

48?48????????????k??k??2k2??2k2?NA?NB??x1???x2????2x1???2x2??

4??4??8??8??k??k??2k2??2k2????x1???x2???4?x1???x2??

4??4??16??16??k??k??k??k??????x1???x2????1?4?x1???x2???

4??4??4??4?????kk2??k2???x1x2??x1?x2?????1?4x1x2?k(x1?x2)??

416??4???kkk2??kk2????1??????1?4?(?1)?k???

4216??24???k2??3????1????3?k2?

16??4???0，

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3k2??1??0，??3?k2?0，解得k??2．

416????????即存在k??2，使NA?NB?0．

22．解：（Ⅰ）?f?(x)?3x2?2ax?a2?3?x?又a?0，

??a??(x?a)， 3??当x??a或x?aa时，f?(x)?0；当?a?x?时，f?(x)?0， 33a??a???f(x)在(??，?a)）和?，???内是增函数，在??a，?内是减函数．

3??3??（Ⅱ）由题意知x?ax?ax?1?ax?2x?1．

即x[x2?(a2?2)]?0恰有一根（含重根）．?a?2≤0，即?2≤a≤2， 又a?0，?a?[?2，0)?(0，2]．

当a?0时，g(x)才存在最小值，?a?(0，2]．

232221?1??g(x)?a?x???1?，

a?a??12??h(a)?1?，a?(0，2]．?h(a)的值域为?1??． ???，a2???a)和?，（Ⅲ）当a?0时，f(x)在(??，???内是增函数，g(x)在?，???内是增

函数．

2?a?3???1?a????a?0，?a?由题意得?a≥，解得a≥1．

3?1?a≥．?a???)内是增函数，g(x)在???，?内是增函数． 当a?0时，f(x)在???，?和(?a，??a?3???1?a?第 10 页 共 11 页

??a?0，?a?由题意得?a?2≤， 解得a≤?3．

3?1?a?2≤．?a??3]?[1，??)． 综上可知，实数a的取值范围为(??，

B卷选择题答案：

1．C 2．A 7．D 8．B

3．C 4．B 5．C 6．A 9．C 10．D 11．A 12．D 第 11 页 共 11 页

??a?0，?a?由题意得?a?2≤， 解得a≤?3．

3?1?a?2≤．?a??3]?[1，??)． 综上可知，实数a的取值范围为(??，

B卷选择题答案：

1．C 2．A 7．D 8．B

3．C 4．B 5．C 6．A 9．C 10．D 11．A 12．D 第 11 页 共 11 页

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