广东省惠州市2016年高考数学三模试卷(理科)含答案解析

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2016年广东省惠州市高考数学三模试卷（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M={x |x 2=x }，N={x |lgx ≤0}，则M ∪N=（ ）

A ．[0，1]

B ．（0，1]

C ．[0，1）

D ．（﹣∞，1]

2．已知复数z=

+2i ，则z 的共轭复数是（ ） A ．﹣1﹣i B ．1﹣i C ．1+i D ．﹣1+i

3．已知函数f （x ）是偶函数，当x ＞0时，

，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f （x ）的单调性相同的是（ ）

A ．y=﹣x 2+1

B ．y=|x +1|

C ．y=e |x|

D ．

4．已知函数

在一个周期内的图象如图

所示，则=（ ）

A ．1

B ．

C ．﹣1

D ．

5．下列四个结论：

①若p ∧q 是真命题，则￢p 可能是真命题；

②命题“?x 0∈R ，x 02﹣x 0﹣1＜0”的否定是“?x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≥0”；

③“a ＞5且b ＞﹣5”是“a +b ＞0”的充要条件；

④当a ＜0时，幂函数y=x a 在区间（0，+∞）上单调递减．

其中正确结论的个数是（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

6．过点A （3，1）的直线l 与圆C ：x 2+y 2﹣4y ﹣1=0相切于点B ，则

=（ ）

A ．0

B ．

C ．5

D ． 7．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为=0.8x ﹣155，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为

）

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8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）

A ．

B ．

C ．1

D ．

9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

10．若实数x ，y 满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，则函数z=2ax +by 在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（ ）

A ． B

．

C

．

D ．

11

．

如图所示，已知△

EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，

EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为（ ）

A ．

B ．8π

C ．16π

D ．64π

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12．已知方程x 3+ax 2+bx +c=0的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则a 2+b 2的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．[5，+∞）

D ．（5，+∞）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若随机变量ξ～N （2，1），且P （ξ＞3）=0.158，则P （ξ＞1）= ． 14．在二项式（x ﹣）n 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是 ．

15．抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点M （1，m ） （m ＞0）到其焦点的距离为5，双曲线

的左顶点为A ．若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于 ． 16．已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为 ．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=70，且a 1，a 2，a 6成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值． 18．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策

7080100位，得到数据如表： 70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为

X ，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．

（参考公式：，其中n=a +b +c +d ）

19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM

（Ⅰ）求证：AD ⊥BM

（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为

．

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20．在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别为椭圆C ：

=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C 上的一点，满足，且△EF 1F 2的周长为．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设点M 是线段OF 2上的一点，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 距离的取值范围．

21．已知函数f （x ）=（x ﹣1）2+a （lnx ﹣x +1）（其中a ∈R ，且a 为常数）

（1）若对于任意的x ∈（1，+∞），都有f （x ）＞0成立，求a 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若方程f （x ）+a +1=0在x ∈（0，2]上有且只有一个实根，求a 的取值范围．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB=BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ．

（Ⅰ）求证：AC ?BC=AD ?AE ；

（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE 的长．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ=2sin θ．

（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点P 的直角坐标为（1，0），圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|PA |+|PB |的值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f （x ）=|x +a |+|x +|（a ＞0）

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（I ）当a=2时，求不等式 f （x ）＞3的解集；（Ⅱ）证明：f （m ）+．

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2016年广东省惠州市高考数学三模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M={x |x 2=x }，N={x |lgx ≤0}，则M ∪N=（ ）

A ．[0，1]

B ．（0，1]

C ．[0，1）

D ．（﹣∞，1]

【考点】并集及其运算．

【分析】求解一元二次方程化简M ，求解对数不等式化简N ，然后利用并集运算得答案．

【解答】解：由M={x |x 2=x }={0，1}，

N={x |lgx ≤0}=（0，1]，

得M ∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．

故选：A ．

2．已知复数z=

+2i ，则z 的共轭复数是（ ） A ．﹣1﹣i B ．1﹣i C ．1+i D ．﹣1+i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】根据复数的运算性质将z 化简，从而求出z 的共轭复数．

【解答】解：∵z=+2i=+2i=1﹣i +2i=1+i ，

则z 的共轭复数是：1﹣i ，

故选：B ．

3．已知函数f （x ）是偶函数，当x ＞0时，

，则在（﹣2，0）上，下列函数中与

f （x ）的单调性相同的是（ ）

A ．y=﹣x 2+1

B ．y=|x +1|

C ．y=e |x|

D ． 【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断．

【分析】先判断函数f （x ）的单调性和奇偶性，然后进行判断比较即可．

【解答】解：∵f （x ）是偶函数，当x ＞0时，，

∴当x ＞0时函数f （x ）为增函数，

则在（﹣2，0）上f （x ）为减函数，

A ．在（﹣2，0）上y=﹣x 2+1为增函数，不满足条件．

B ．y=|x +1|在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣2，0）上不单调，不满足条件．

C ．f （x ）在（﹣2，0）上是单调递减函数，满足条件．

D ．当x ＜0时，f （x ）=x 3+1是增函数，不满足条件．

故选：

C

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4．已知函数

在一个周期内的图象如图

所示，则=（ ）

A ．1

B ．

C ．﹣1

D ．

【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】由图知，A=2，易求T=π，ω=2，由f （）=2，|φ|＜，可求得φ=，从而可得函数y=f （x ）的解析式，继而得f （

）的值． 【解答】解：由图知，A=2，且T=

﹣=， ∴T=π，ω=2．

∴f （x ）=2sin （2x +φ），

又f （）=2，

∴sin （2×+φ）=1，

∴

+φ=2k π+（k ∈Z ），又|φ|＜， ∴φ=，

∴f （x ）=2sin （2x +

）， ∴f （）=2sin =1，

故选：A ．

5．下列四个结论：

①若p ∧q 是真命题，则￢p 可能是真命题；

②命题“?x 0∈R ，x 02﹣x 0﹣1＜0”的否定是“?x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≥0”； ③“a ＞5且b ＞﹣5”是“a +b ＞0”的充要条件；

④当a ＜0时，幂函数y=x a 在区间（0，+∞）上单调递减． 其中正确结论的个数是（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】①根据复合命题真假关系进行判断

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②根据含有量词的命题的否定进行判断

③根据充分条件和必要条件的定义进行判断

④根据幂函数单调性的性质进行判断

【解答】解：①若p ∧q 是真命题，则p ，q 都是真命题，则￢p 一定是假命题，故①错误；

②命题“?x 0∈R ，x 02﹣x 0﹣1＜0”的否定是“?x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≥0”，故②错误； ③当a ＞5且b ＞﹣5时，a +b ＞0，即充分性成立，

当a=2，b=1时，满足a +b ＞0，但a ＞5且b ＞﹣5不成立，即③“a ＞5且b ＞﹣5”是“a +b ＞0”的充充分不必要条件，故③错误；

④当a ＜0时，幂函数y=x a 在区间（0，+∞）上单调递减．故④正确，

故正确结论的个数是1个，

故选：B ．

6．过点A （3，1）的直线l 与圆C ：x 2+y 2﹣4y ﹣1=0相切于点B ，则

=（ ）

A ．0

B ．

C ．5

D ． 【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．

【分析】先求出圆心和半径，再根据过点A （3，1）的直线l 与圆C ：x 2+y 2﹣4y ﹣1=0相切

于点B 得到

=0，再根据向量的运算即可求出． 【解答】解：由圆C ：x 2+y 2﹣4y ﹣1=0配方为x 2+（y ﹣2）2=5．∴C （0，2），半径r=．

∵过点A （3，1）的直线l 与圆C ：x 2+y 2﹣4y ﹣1=0相切于点B ，

∴

=0， ∴

=（+）?=||2+=5， 故选：C ．

7．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为=0.8x ﹣155，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为

）

【考点】线性回归方程．

【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出x 、y 的平均数，即可求出m 值．

【解答】解：根据题意，计算=×=200，

=×（1+3+6+7+m ）=，

代入回归方程=0.8x ﹣155中，

可得=0.8×200﹣155=25，

解得m=8．

故选：D ．

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8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）

A ．

B ．

C ．1

D ．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．

【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，

其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，

三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，

∴几何体的体积V=×1×1×2﹣××1×1×2=．

故选：A ．

9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

【考点】程序框图．

【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．

【解答】解：第一次循环：

，n=2； 第二次循环：

，n=3； 第三次循环：

，n=4； …

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第n 次循环：

=，n=n +1

令解得n ＞15 ∴输出的结果是n +1=16

故选：C ．

10．若实数x ，y 满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，则函数z=2ax +by 在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】几何概型；简单线性规划．

【分析】利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N ，再计算事件函数z=2ax +by 在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n ，最后即可求出事件发生的概率．

【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，

∵函数z=2ax +by 在点（2，﹣1）处取得最大值，

∴直线z=2ax +by 的斜率k=﹣≤﹣1，即2a ≥b ．

∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a ，b ），则这样的有序整数对共有6×6=36个

其中2a ≥b 的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个

则函数z=2ax +by 在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为

=．

故选：D ．

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11．如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，

EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为（ ）

A ．

B ．8π

C ．16π

D ．64π

【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．

【分析】设球心到平面ABCD 的距离为d ，利用△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平

面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E 到平面ABCD 的距离为

，从而R 2=（）2+d 2=12+（﹣d ）2，求出R 2=4，即可求出多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积．

【解答】解：设球心到平面ABCD 的距离为d ，则

∵△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°， ∴E 到平面ABCD 的距离为

， ∴R 2=（

）2+d 2=12+（﹣d ）2，

∴d=，R 2=4， ∴多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=16π．

故选：C ．

12．已知方程x 3+ax 2+bx +c=0的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则a 2+b 2的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．[5，+∞）

D ．（5，+∞）

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；简单线性规划．

【分析】利用抛物线的离心率为1，求出c=﹣1﹣a ﹣b ，分解函数的表达式为一个一次因式与一个二次因式的乘积，通过函数的零点即可推出a ，b 的关系利用线性规划求解a 2+b 2的取值范围即可．

【解答】解：设f （x ）=x 3+ax 2+bx +c ，由抛物线的离心率为1，可知f （1）=1+a +b +c=0，故c=﹣1﹣a ﹣b ，

所以f （x ）=（x ﹣1）[x 2+（1+a ）x +a +b +1]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，

故g （x ）=x 2+（1+a ）x +a +b +1，有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，

故有g （0）＞0，g （1）＜0，即a +b +1＞0且2a +b +3＜0，

利用线性规划的知识，可确定a 2+b 2的取值范围是（5，+∞）．

故选D ．

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二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若随机变量ξ～N （2，1），且P （ξ＞3）=0.158，则P （ξ＞1）= 0.842 ．

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【分析】根据随机变量ξ～N （2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P （ξ＞1）=P （ξ＜3），即可求概率．

【解答】解：∵随机变量ξ～N （2，1），

∴正态曲线关于x=2对称，

∵P （ξ＞3）=0.158，

∴P （ξ＞1）=P （ξ＜3）=1﹣0.158=0.842．

故答案为：0.842．

14．在二项式（x ﹣）n 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是 ﹣56 ．

【考点】二项式定理．

【分析】先求出n ，在展开式的通项公式，令x 的指数为2，即可得出结论．

【解答】解：∵在二项式（x ﹣）n 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，

∴n=8，

展开式的通项公式为T r+1=?（﹣1）r ?x 8﹣2r ，

令8﹣2r=2，则r=3，∴展开式中含x 2项的系数是﹣

=﹣56． 故答案为：﹣56．

15．抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点M （1，m ） （m ＞0）到其焦点的距离为5，双曲线

的左顶点为A ．若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于

．

【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

【分析】

由题意可求抛物线线y 2=2px 的准线，从而可求p ，，进而可求M ，由双曲线方程可求A ，根据双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则由斜率相等可求a

【解答】解：由题意可知：抛物线线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣4

∴p=8

则点M （1，4），双曲线

的左顶点为A （﹣，0），

所以直线AM 的斜率为k=

， 由题意可知：

∴ 故答案为：

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16．已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为 2

．

【考点】

余弦定理；正弦定理．

【分析】在△

ABC 和△

ACD

中使用余弦定理求出

cosB ，

cosD

的关系，得出四边形的面积S 关于sinB ，sinD 的函数表达式，利用余弦函数的性质求出S 的最大值．

【解答】解：设AC=x ，在△ABC 中，由余弦定理得：x 2=22+42﹣2×2×4cosB=20﹣16cosB ，

同理，在△ADC 中，由余弦定理得：x 2=32+52﹣2×3×5cosD=34﹣30cosD ，

∴15cosD ﹣8cosB=7，①

又平面四边形ABCD 面积为， ∴8sinB +15sinD=2S ，②

①2+②2得：64+225+240（sinBsinD ﹣cosBcosD ）=49+4S 2，

∴S 2=60﹣60cos （B +D ），

当B +D=π时，S 取最大值=．

故答案为：2．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=70，且a 1，a 2，a 6成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值．

【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

【分析】（Ⅰ）根据等差（等比）数列对应的前n 项和、通项公式和性质，列出关于a 1和d 方程，进行求解然后代入通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅱ）的结果求出S n ，代入b n 进行化简后，利用基本不等式求出最小项以及对应的项数．

【解答】解：（I ）设公差为d 且d ≠0，则有，即， 解得或（舍去），

∴a n =3n ﹣2．

（II ）由（Ⅱ）得， =，

∴b n =

==3n +﹣1≥2﹣1=23， 当且仅当3n=，即n=4时取等号，

故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23．

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18．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策

7080100位，得到数据如表： （Ⅰ）以这个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3

位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由． （参考公式：

，其中n=a +b +c +d ）

【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．

【分析】（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为，且X ～B （3，），由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望．

（Ⅱ）求出K 2=3.030＞2.706，从而有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且

X ～B （3，），

P （X=0）==

， P （X=1）==， P （X=2）==， P （X=3）=

=

，

∴E （X ）=3×=2．

（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关， K 2=

=

≈3.030＞2.706，

所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．

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19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM

（Ⅰ）求证：AD ⊥BM

（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为

．

【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可证明AD ⊥BM

（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．

【解答】（1）证明：∵长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点， ∴AM=BM=2，∴BM ⊥AM ．

∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM=AM ，BM ?平面ABCM

∴BM ⊥平面ADM

∵AD ?平面ADM ∴AD ⊥BM ；

（2）建立如图所示的直角坐标系，设，

则平面AMD 的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，

0，0），

设平面AME 的一个法向量为=（x ，y ，z ），则， 取y=1，得x=0，z=

，

则=（0，1，）， ∵cos ＜，＞=

=，∴求得，

故E 为BD 的中点．

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20．在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别为椭圆C ：

=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C 上的一点，满足，且△EF 1F 2的周长为．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设点M 是线段OF 2上的一点，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 距离的取值范围．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（1）由已知F 1（﹣c ，0），设B （0，b ），则E （﹣c ，

），，2a +2c=2+2，由此能求出椭圆C 的方程．

（2）设点M （m ，0），（0＜m ＜1），直线l 的方程为y=k （x ﹣1），k ≠0，由，得：（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出点M 到直线距离的取值范围．

【解答】（本小题满分12分）

解：（1）由已知F 1（﹣c ，0），设B （0，b ），即

=（﹣c ，0），=（0，b ），

∴=（﹣c ，），即E （﹣c ，）， ∴，得，①…

又△PF 1F 2的周长为2（），

∴2a +2c=2+2，②…

又①②得：c=1，a=，∴b=1，

∴所求椭圆C 的方程为： =1．…

（2）设点M （m ，0），（0＜m ＜1），直线l 的方程为y=k （x ﹣1），k ≠0，

由，消去y ，得：（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2=0，

设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），PQ 中点为N （x 0，y 0），

则，∴y 1+y 2=k （x 1+x 2﹣2）=，

∴， =，

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即N （），…

∵△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，∴MN ⊥PQ ，

即=﹣1，

∴m=∈（0，），…

设点M 到直线l ：kx ﹣y ﹣k=0距离为d ，

则d 2==＜=，

∴d ∈（0，），

即点M 到直线距离的取值范围是（0，）．…

21．已知函数f （x ）=（x ﹣1）2+a （lnx ﹣x +1）（其中a ∈R ，且a 为常数）

（1）若对于任意的x ∈（1，+∞），都有f （x ）＞0成立，求a 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若方程f （x ）+a +1=0在x ∈（0，2]上有且只有一个实根，求a 的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．

【分析】（1）求导f ′（x ）=2（x ﹣1）+a （﹣1）=（x ﹣1）（2﹣），且f （1）=0+a （ln1﹣1+1）=0，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得；

（2）化简f （x ）+a +1=（x ﹣1）2+a （lnx ﹣x +1）+a +1，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得．

【解答】解：（1）∵f （x ）=（x ﹣1）2+a （lnx ﹣x +1），

∴f ′（x ）=2（x ﹣1）+a （﹣1）=（x ﹣1）（2﹣）；

且f （1）=0+a （ln1﹣1+1）=0，

①当a ≤2时，f ′（x ）＞0在（1，+∞）上恒成立，

故f （x ）＞=f （1）=0；

②当a ＞2时，

可知f （x ）在（1，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；

故f （）＜0；

综上所述，a ≤2；

（2）f （x ）+a +1=（x ﹣1）2+a （lnx ﹣x +1）+a +1，

当a ＜0时，f （x ）+a +1在（0，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数；

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且（（x ﹣1）2+a （lnx ﹣x +1）+a +1）=+∞，

f （1）+a +1=a +1，f （2）+a +1=1+a （ln2﹣1）+a +1；

故a +1=0或1+a （ln2﹣1）+a +1＜0；

故a=﹣1或a ＜﹣；

当a=0时，f （x ）+a +1=（x ﹣1）2+1＞0，故不成立；

当0＜a ＜2时，

f （x ）+a +1在（0，]上是增函数，在（，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数； 且（（x ﹣1）2+a （lnx ﹣x +1）+a +1）=﹣∞，

f （1）+a +1=a +1＞0，

故方程f （x ）+a +1=0在x ∈（0，2]上有且只有一个实根，

当a=2时，f （x ）+a +1=（x ﹣1）2+2（lnx ﹣x +1）+2+1=（x ﹣1）2+2（lnx ﹣x +1）+3， 故f （x ）在（0，2]上是增函数；

且（（x ﹣1）2+2（lnx ﹣x +1）+3）=﹣∞，f （1）=3＞0；

故方程f （x ）+a +1=0在x ∈（0，2]上有且只有一个实根，

综上所述，a ＜﹣或a=﹣1或0＜a ≤2．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB=BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ．

（Ⅰ）求证：AC ?BC=AD ?AE ；

（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE 的长．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（I ）如图所示，连接BE ．由于AE 是⊙O 的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E 与∠ACB 都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB ．进而得到△ABE ∽△ADC ，即可得到．

（II ）利用切割线定理可得CF 2=AF ?BF ，可得BF ．再利用△AFC ∽△CFB ，可得AF ：

FC=AC ：BC ，进而根据sin ∠ACD=sin ∠AEB ，AE=

，即可得出答案． 【解答】证明：（I ）如图所示，连接BE ．

∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90°．

又∠E 与∠ACB 都是所对的圆周角，

∴∠E=∠ACB ．

∵AD ⊥BC ，∠ADC=90°．

第19页（共22页）

∴△ABE ∽△ADC ，

∴AB ：AD=AE ：AC ，

∴AB ?AC=AD ?AE ．

又AB=BC ，

∴BC ?AC=AD ?AE ．

解：（II ）∵CF 是⊙O 的切线，

∴CF 2=AF ?BF ，

∵AF=2，CF=2，

∴（2）2=2BF ，解得BF=4．

∴AB=BF ﹣AF=2．

∵∠ACF=∠FBC ，∠CFB=∠AFC ，

∴△AFC ∽△CFB ，

∴AF ：FC=AC ：BC ，

∴AC=

=． ∴cos ∠ACD=

， ∴sin ∠ACD=

=sin ∠AEB ， ∴AE==

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ=2sin θ．

（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点P 的直角坐标为（1，0），圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|PA |+|PB |的值．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（Ⅰ）把直线l 的参数方程消去参数t 可得，它的直角坐标方程；把圆C 的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．

（Ⅱ）把直线l 方程与圆C 的方程联立方程组，求得A 、B 两点的坐标，可得|PA |+|PB |的值．

第20页（共22页） 【解答】解：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），消去参数t 可得3x +y ﹣3=0．

圆C 的方程为ρ=2sin θ，即 ρ2=2ρsin θ，即 x 2+y 2=2y ，即 x 2+=3． （Ⅱ）由求得，或，

故可得A （，﹣）、B （﹣， +）．

∵点P （1，0），∴|PA |+|PB |=

+

=（2﹣）+（2+）=4．

[选修4-5：不等式选讲] 24．已知函数f （x ）=|x +a |+|x +|（a ＞0）

（I ）当a=2时，求不等式 f （x ）＞3的解集；（Ⅱ）证明：f （m ）+

．

【考点】带绝对值的函数．

【分析】（I ）当a=2时，去掉绝对值，再求不等式 f （x ）＞3的解集；

（Ⅱ）f （m ）+f （﹣）=|m +a |+|m +|+|﹣+a |+|﹣+|≥2|m +|=2（|m |+）≥4，可得结论．

【解答】（I ）解：当a=2时，f （x ）=|x +2|+|x +|， 不等式 f （x ）＞3等价于或或， ∴x ＜﹣或x ＞，

∴不等式 f （x ）＞3的解集为{x |x ＜﹣

或x ＞}； （Ⅱ）证明：f （m ）+f （﹣）=|m +a |+|m +|+|﹣+a |+|﹣+|

≥2|m +|=2（|m |+

）≥4，

第21页（共22页）

当且仅当m=±1，a=1时等号成立， ∴f （m ）+

．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4ntl.html