第二讲 函数的单调性与最值

含答案

第二讲 函数的单调性与最值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

若函数f(

x)在区间D上是________或________，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

含答案

1. f(x)＝x2－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max＝________. 2x

2.函数f(x)＝[1,2]的最大值和最小值分别是________________.

x＋1

3.已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2的解集为________________________________________________________________. 4.下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( ) 1A.f(x)＝

xC.f(x)＝e2

B.f(x)＝(x－1)2

D.f(x)＝ln(x＋1)

1 <f(1)的实数x的取值范围是 ( ) 5.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f x

A.(－1,1)

B.(0,1)

D.(－∞，－1)∪(1，＋∞

)

C.(－1,0)∪(0,1)

题型一 函数单调性的判断及应用

例1 已知函数f(x)＝x＋1－ax，其中a>0. (1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；

(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数； (3)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求a的取值范围.

含答案

x

已知f(x)＝ (x≠a).

x－a

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围.

题型二 求函数的单调区间

例2 求函数log1(x2 3x 2)的单调区间.

2

求函数yx＋x－6的单调区间.

题型三 抽象函数的单调性及最值

例3 已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，2

f(1)＝－.

3

(1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值.

含答案

x

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f y ＝f(x)－f(y)，当

x>1时，有f(x)>0. (1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性并加以证明. (3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域.

A组 专项基础训练题组

一、选择题

1.(2010·北京)给定函数①y＝x，②y＝log1(x 1)，③y＝|x－1|，④y＝2x1，其中在区

＋

1

2

2

间(0,1)上单调递减的函数的序号是 ( )

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

a

2.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )

x＋1A.(－1,0)∪(0,1) C.(0,1)

B.(－1,0)∪(0,1] D.(0,1]

3.已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2

＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值 A.一定大于0 C.等于0 二、填空题

4.函数f(x)＝x－2x－3的单调增区间为______________________________________. 5.设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0； ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0； f x1 －f x2 ③>0；

x1－x2f x1 －f x2 ④<0.

x1－x2

其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________.(填序号)

( )

B.一定小于0 D.正负都有可能

含答案

6.已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是__________. 三、解答题

11

7.已知函数f(x)(a>0，x>0)，

ax

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数； 1 1

2上的值域是 2 ，求a的值. (2)若f(x)在 2 2

ax

8.试讨论函数f(x)＝x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0).

x－1

B组 专项能力提升题组

一、选择题

b

1.若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )

xA.增函数

B.减函数

C.先增后减

x

D.先减后增

a x>1

2.已知f(x)＝ a是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为

4－x＋2 x≤1 2( )

A.(1，＋∞) C.(4,8)

B.[4,8) D.(1,8)

2

x＋4x， x≥0，

3.已知函数f(x)＝ 若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是 ( ) 2

4x－x， x<0，

A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－1,2) C.(－2,1)

D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

含答案

二、填空题 4.已知函数f(x)____________.

5.若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是____________.

ax＋1

6.设函数f(x)＝(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是__________.

x＋2a

ex－2 x≤0

7.已知函数f(x)＝ (a是常数且a>0).对于下列命题：

2ax－1 x>0

－

3－ax

(a≠1).若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是a－1

①函数f(x)的最小值是－1； ②函数f(x)在R上是单调函数；

1 ③若f(x)>0在 2 上恒成立，则a的取值范围是a>1；

x1＋x2f x1 ＋f x2

④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f 其中正确命题的序号是

2 2<________.

三、解答题

8.已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有f a ＋f b

成立. a＋b

(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它； 11

(2)解不等式：f(xf()；

2x－1

(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围.

第二讲 答案

要点梳理

1.(1)f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 上升的 下降的 (2)增函数 减函数 区间D 2.(1)f(x)≤M (2)f(x0)＝M (3)f(x)≥M (4)f(x0)＝M 基础自测

4

1.[1,4] 8 2.1 3.(－3,0) 4.A 5.C

3题型分类·深度剖析

例1 (1)解 由2f(1)＝f(－1)，

含答案

可得22－2a2＋a，得a＝

. 3

(2)证明 任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，

f(x1)－f(x2)x1＋1－ax1x2＋1＋ax2＝x1＋1－x2＋1－a(x1－x2)

＝

2

x21－x2x1＋1＋x2＋1

a(x1－x2)

＝(x1－x2)

x1＋x2 a . x1＋1x2＋1

∵0≤x1<x1＋1，0<x2x2＋1，

∴x＋1x＋112

x＋x又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减. (3)解 任取1≤x1<x2， f(x1)－f(x2) ＝(x1－x2)

x＋x a ， x1＋1x2＋1

∵f(x)单调递增，所以f(x1)－f(x2)<0. 又x1－x2<0， 那么必须

－a>0恒成立. x1＋1＋x2＋1x1＋x2

222

∵1≤x1<x2 2x21≥x1＋1,2x2>x2＋1， 2x1≥x1＋1，2x2x2＋1. 相加得2(x1＋x2)>x1＋1＋x2＋1

22

，∴0<a. 22x＋1x＋112

x1＋x2

变式训练1 (1)证明 任设x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝

xx x1＋2x2＋2

2 x1－x2 ＝ x1＋2 x2＋2

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增. (2)解 任设1<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝

xxx1－ax2－a

含答案

a x2－x1 ＝ x1－a x2－a ∵a>0，x2－x1>0，

∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知0<a≤1.

例2 解 令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log1u与u＝x2－3x＋2的复合函

2

数.令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.

∴函数y＝log1(x2 3x 2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞).

2

3

又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝.

2

∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数. 而y＝log1u在(0，＋∞)上是单调减函数，

2

∴y＝log1(x2 3x 2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1).

2

变式训练2 解 令u＝x2＋x－6，y＝x＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的 复合函数.

由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.

∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而yu在(0，＋∞)上是增函数.

∴yx＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞). 例3 (1)证明 方法一 ∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， ∴令x＝y＝0，得f(0)＝0. 再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x). 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0， f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2). 又∵x>0时，f(x)<0，

而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2). 因此f(x)在R上是减函数. 方法二 设x1>x2，

则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2). 又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

含答案

∴f(x)在R上为减函数. (2)解 ∵f(x)在R上是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3). 而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2. ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式训练3 解 (1)∵当x>0，y>0时， xf y＝f(x)－f(y)，

∴令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0. (2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， x 则f(x2)－f(x1)＝f x ，

1

xx∵x2>x1>0.>1，∴f x1>0. x1

∴f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数. (3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数. ∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)， x ∵f(4)＝2，由f y ＝f(x)－f(y)， 16 知f 4 ＝f(16)－f(4)， ∴f(16)＝2f(4)＝4，

∴f(x)在[1,16]上的值域为[2,4]. 课时规范训练 A组

1.B 2.D 3.A 4.[3，＋∞) 5.①③ 6.(1，＋∞) 7.(1)证明 设x2>x1>0，设x2－x1>0， x1x2>0，∵f(x2)－f(x1) 11 11＝ ax2－ ax1 11x2－x1＝－， x1x2x1x2

∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的.

1 11

，2上的值域是 2 ，又f(x)在 2 上单调递增， (2)解 ∵f(x)在 2 2 2 1 12

∴f f(2)＝2.∴易得a＝ 2 25

含答案

8.解 设－1<x1<x2<1， 则f(x1)－f(x2)＝

axax x1－1x2－1

a x2－x1 x1x2＋1 ＝. x1－1 x2－1

2∵－1<x1<x2<1，∴x2－x1>0，x21－1<0，x2－1<0.－1<x1x2<1，

∴x1x2＋1>0. x2－x1 x2x1＋1 ∴ x1－1 x2－1

因此，当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)，此时函数在(－1,1)上为减函数； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)，此时函数在(－1,1)上为增函数. B组

1.B 2.B 3.C 4.(－∞，0)∪(1,3] 5.a>0且b≤0 6.[1，＋∞) 7.①③④

8.解 (1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2， 则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数， ∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) f x1 ＋f －x2 ＝(x1－x2)，

x1＋ －x2

f x1 ＋f －x2

由已知得>0，x1－x2<0，

x1＋ －x2 ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[－1,1]上单调递增. (2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，

1

∴ －1≤x21，

1 －1≤ x－11.

11

x＋，2x－1

3

∴－x<－1.

2

(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增. ∴在[－1,1]上，f(x)≤1. 问题转化为m2－2am＋1≥1， 即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立.

含答案

下面来求m的取值范围. 设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.

①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立.

②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0， ∴m≤－2，或m≥2.

∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.

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