每天一题（三角函数）- 含答案

每天一题（三角函数）

1.在?ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A?600，c?（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）若a?7，求?ABC的面积.

3a 7

B. 2（Ⅰ）求cosB； （Ⅱ）若a?c?6，?ABC面积为2，求边长b.

2.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知sin(A?C)?8sin2【解析】（Ⅰ）由题设及A?B?C??得sinB?8sin22?241-cosB），故sinB?（

15 171581417（Ⅱ）由cosB=得sinB?，故S?ABC?acsinB?ac，又S?ABC=2，则ac?

1717217217152222由b?a?c?2accosB?(a?c)?2ac(1?cosB)?36?2??(1?)?4得b?2

217

33.在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知a?b，a?5,c?6，sinB?.

5π（Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求sin(2A?)的值.

4上式两边平方，整理得 17cosB-32cosB+15=0，解得 cosB=1（舍去），cosB=

4.在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA?4bsinB，ac?5(a2?b2?c2). （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求sin(2B?A)的值.

4532525. sin(2B?A)?sin2BcosA?cos2BsinA??(?)????55555

???5.设函数f(x)?sin(?x?)?sin(?x?)，其中0???3.已知f()?0.

626（Ⅰ）求?；

（Ⅱ）将函数y?f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象

向左平移

??3?个单位，得到函数y?g(x)的图象，求g(x)在[?,]上的最小值.

444【解析】（Ⅰ）f(x)?sin(?x??)?sin(?x??)?3sin?x?3cos?x?3sin(?x??)

62223??????k?,k?Z，又0???3，于是??2 由f()?0得

663????（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?3sin(2x?)，所以g(x)?3sin(x??)?3sin(x?).

34312?3???2?因为x?[?,]，所以x??[?,]，

441233???3当x???，即x??时，g(x)取得最小值?.

12342

6.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知sinA?3cosA?0，a?27，b?2。 （Ⅰ）求边长c； （Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD?AC,求△ABD的面积。

a27.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知?ABC的面积为

3sinA（Ⅰ）求sinBsinC的值； （Ⅱ）若6cosBcosC?1，a?3，求?ABC的周长

8.在?ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，面积为S．已知2S?(a?b)2?c2 （Ⅰ）求sinC； （Ⅱ）若a?b?10，求S的最大值.

1【解析】（Ⅰ）条件可化为2absinC?a2?b2?c2?2ab …2分

211由余弦定理可得sinC?cosC?1，sinC?1?cosC …6分

22144两边平方sin2C?sinC?1?cos2C?1?sin2C，解得sinC?0（舍）或sinC?，故sinC? 8分

455122a?b2（Ⅱ）S?absinC?ab?()?10 当且仅当a?b?5时，面积S取最大值10 …12分

2552

9.在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，acosC?3asinC?b?c?0。 （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a?7，求?ABC周长的取值范围。

【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：acosC?3asinC?b?c?0?sinAcosC?3sinAsinC?sinB?sinC ?sinAcosC?3sinAsinC?sin(a?C)?sinC?3sinA?cosA?1?sin(A?30?)? ?A?30??30??A?60?……………………………6分

12（Ⅱ）由已知：b?0,c?0， b+c＞a=7

31222 由余弦定理?(b?c)?(b?c)?(b?c)（当且仅当b?c时等号成立）

44 ∴(b+c)2≤4×49,又49?b2?c2?2bccos 从而?ABC的周长的取值范围是(14,21].

?10.如图，在?ABC中，，AC?25，B?4?3?(b?c)2?3bc，b+c＞7,∴7＜b+c≤14，

cosC?25 5（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）记BC的中点为D，求中线AD的长．

【解析】（Ⅰ）由cosC?25，C是三解形内角，得sinC?1?cos2C?1?(25)2?5……2分

5552225310 ……2分 ?5???44252510（Ⅱ）在?ABC中，由正弦定理BC?AC,BC?ACsinA?25?310?6 ……2分

sinAsinBsinB10221 ?CD?BC?3，又在?ADC中，AC?25,cosC?25， ……2分

25sinA?sin[??(B?C)]?sin(B?C)?sin?cosC?cos?sinC? 由余弦定理得，AD?AC2?CD2?2AC?CD?cosC?20?9?2?25?3?25?5 ……2分

5

11.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2cosC(acosB+bcosA)?c. （Ⅰ）求角C的值； （Ⅱ）若c?7，?ABC的面积为33，求?ABC的周长． 2解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得，2cosC?sin?cos??sin?cos???sinC， 即2cosCsin??????sinC．故2sinCcosC?sinC．可得cosC?133?（Ⅱ）由已知，absinC?．又C?，所以ab?6．

2231?，所以C?． 23由已知及余弦定理得，a2?b2?2abcosC?7．故a2?b2?13，从而?a?b??25． 所以???C的周长为5?7．

12.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a2?c2?b2?2ac. （Ⅰ）求?B 的大小；（Ⅱ）求2cosA?cosC 的最大值.

2

?3?22?， cosA?sinA?cos(A?)，因为0??A?4224所以当?A?

?4时，2cosA?cosC取得最大值1.

13.已知函数f(x)?4tanxsin(??x)cos(x?)?3.

23?（Ⅰ）求f(x)的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[???,]上的单调性. 44

??? ????解：令z?2x?3,函数y?2sinz的单调递增区间是???2k?,?2k???,k?Z.?22??由??2?2k??2x??3???212?2k?,得??12?k??x?5??k?,k?Z. 12?124?????. ?5??，易知 设A????,??,B??A?B?x??k??x??k?,k?Z????,????44?12????时，??上单调递减. ????上单调递增，在区间??所以，当x??在区间fx???,?,?，????????44??124??412?

14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA?tanB)?（Ⅰ）证明：a+b=2c ； （Ⅱ）求cosC的最小值.

tanAtanB?. cosBcosA

?a?b?a?b???a?ba2?b2?c22???3?b?a??1?1， （Ⅱ）由（Ⅰ）知c?，所以cosC????22ab2ab8?ab?42222当且仅当a?b时，等号成立.故cosC的最小值为

15.在△ABC中，AC?6，cosB?，C?．

45π41. 2π?A?（Ⅰ）求AB的长； （Ⅱ）求cos???的值．

?6?【解析】（Ⅰ）?cosB?43，B为三角形的内角 ?sinB? 55ABAC ?AB?6，即：AB?52； ??sinCsinB2325A??（Ⅱ）cosA??cos?C?B??sinBsinC?cosBcosC ?cos2 1012sA?in7?26． 20又?A为三角形的内角 ?sinA?72π?3? ?co?sA???106?2?coAs?

cosAcosBcosC??. abc6（Ⅰ）证明：sinAsinB?sinC； （Ⅱ）若b2?c2?a2?bc，求tanB的值.

5cosAcosBcosC??【解析】（Ⅰ）由正弦定理及，可得sinAsinB?sinAcosB?cosAsinB?sin(A?B) abc在?ABC中，由A?B?C??得sinAsinB?sinC

634（Ⅱ）由余弦定理及b2?c2?a2?bc，得cosA?，sinA1?cos2A?

555443由（Ⅰ）sinAsinB?sinAcosB?cosAsinB得sinB?cosB?sinB，解得tanB?4

55516.在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。且

17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.

a2

（Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小.

4

1a21a2（II）由S?得absinC?，故有sin?sinC?sin2??sin?cos?，

2424因sin??0，得sinC?cos?．又?，C??0,??，所以C?当??C??2??．

?2时，??或???2；当C????2时，???4．

综上，???2?4．

18.在ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，ΔABD面积是ΔADC面积的2倍。

（Ⅰ）求

2sin?B； （Ⅱ）若AD = 1，DC?，求BD和AC的长。

2sin?C11AB?AD?sin?BAD，S?ADC?AC?AD?sin?CAD 22由S?ABD?2S?ACD，?BAD??CAD得AB?2AC

AC1sin?B?? 由正弦定理得

sin?CAB2（Ⅱ）由S?ABD:S?ADC?BD:DC得BD?2，

在?ABD和?ADC中，由余弦定理

AB2?AD2?BD2?2AD?BD?cos?ADB，AC2?AD2?DC2?2AD?DC?cos?ADC 得AB2?2AC2?3AD2?BD2?2DC2?6， 由（Ⅰ）得AB?2AC，所以AC?1

【解析】（Ⅰ）S?ABD?19.在?ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b?1，c?3 2?（Ⅰ）求角C的取值范围； （Ⅱ）求4sinC?cos(C?)的最小值

63a2?1?222a?b?c4?a?1?2a?1， ∴cosC?1 【解析】（Ⅰ）∵cosC??22ab2a28a28a?又∵C?(0,?)，∴0?C?

3?31（Ⅱ）4sinC?cos(C?)?4sinC?(?cosC??sinC)?23sinC?cosC?2sin2C?3sin2C?cos2C?1

622?2sin(2C??6)?1

∵0?C??3，∴

?6?2C??6?5?1??，∴?sin(2C?)?1，0?2sin(2C?)?1?1 6266于是，当C???时，4sinC?cos(C?)的最小值为0 3620.在?ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC． （Ⅰ）求C的大小； （Ⅱ）若

，求△ABC周长的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）∵（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC． ∴由已知，得∴（Ⅱ）∵

，∴

，由0＜C＜π，∴

，即a2+b2﹣c2=﹣ab，

．

，∴a=2sinA，b=2sinB．

设周长为l，则=∵

，∴2

＜2sin（A+

）+

≤2+

=

，∴△ABC周长的最大值为．

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