向量模型在数学复习中的应用

向量模型在数学复习中的应用

无锡市第三高级中学 顾晓骅 214026

向量是数学中非常重要的概念，在新课标中，向量以两个不同的层次平面向量与空间向量进入教材，向量的应用非常广泛，它是三角、代数、解析几何、立体几何等多种学科联系的纽带。作为一种数学或物理模型，具有很强的工具性。向量不仅是一个数学运算的对象，更是一种数学模型，一种数学观念。引进向量来处理问题，有时很快捷，也很简洁明了。在历年的高考中，向量多次作为被考察的对象，地位逐年上升，形式也产生变化。教育部考试中心任子朝先生指出“向量已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。” 因此，高三数学复习要重视向量的这种模型作用。本文结合多年的高三复习经验，谈一点个人的想法。

(1) 向量知识在代数中的应用 利用向量数量积的一个重要性质|a·变形为|a·b| |a|·|b|，b|2 |a|2·|b|2可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时有效地提高学生的观察分析能力和想象能力。

例1：设x,y R,求证x4 y4x2 y2 x3 y3 2

分析 不等式左边可以看作两向量 x2,y2, x,y 模平方的积，不等式右边可看作两向量

a x2,y2,b x,y 内积的平方，所以有

x3 y cos x4 y4x2 y2

223

22 例2：设x R,求函数y x x 1 x x 1的值域。

分析： 由函数的结构，可将其变形为向量模的形式，然后再利用向量模的性质进行解题：

221 1 3 22 x , y x x 1 x x 1 x 2 2 2 2 22

1 1 则有y , x ,构建向量

x , 22 22

因为

1,0 y 1. 1，1 。所以函数y x x 1 x x 1的值域为 22

（2）向量知识在立体几何中的应用

现行立体几何最大的变化是引进空间向量，空间向量已是立体几何中的重要内容，它改变了以往立体几何中

单一的逻辑证明的思维方法和解题方法，因为用向量来运算避免了繁琐的定性分析，使问题得到了大大简化。 例3： 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中， BAC

2， BAA1 2 3

CAA1

3,AB AC 1,AA1 2,点O是B1C与BC1的交点。 （1）求AO与BC所成的角； （2）平面ABC与平面B1BC1C是否垂直？为什么？ 分析： 已知条件集中在A处，故选择,,AA一组基底。 1为

解：（1）设 , ,AA 1 ,D为BC的中点，则

11 , , 22

所以 11

22

1

1 1 1

332

1 4

212

3

) 43326 (b a)2 2,

22,

所以cos< , > =

3,所以AO与BC所成的角为3. 33(2)

因为 1 ,所以AD 1 1 ) 0 2 2 2

所以

,故AD

BC,又 BB1

AA1 1

2

=12 cos cos) 0,所以 BB1AD BB1, 233

于是AD 面BCC1B1,所以面 ABC 面BCC1B1。

像本题用向量解几何题的思路和方法，是向量应用的上乘之作，其实这种用法的出发点非常朴素；向量的纯粹运算用的只是向量之间的互相表示。另外本题如果建立空间直角坐标系来用向量的数量积，或用传统立体几何方法求解，那都是一件繁事。又如2004年江苏高考卷立几题的第二问也可采用向量法来解，更显简洁。我们要鼓励学生灵活选用不同的方法解决立体几何问题。

（3） 向量知识在解析几何中的应用

高考命题中对知识综合性的考查，往往在知识网络交汇点上设计试题，注重学科的内在联系和综合，而向量

则是三角函数、解析几何等多学科知识的交汇点。因此也是高考的命题热点。

例4 已知定点F为（0,a）（a≠0），点PM分别在x,y轴上，满足 0，点N满足 。

（1） 求点N的轨迹方程C

AGB（2） 过F作一条斜率为k的直线l，l与曲线C交于AB两点，设G（0,a），

解(2)：由题意知，直线l的方程为y=kx+a,代入x2=4ay得x2 -4akx-4a2=0

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4ak，x1x2= -4a2。

∴y1+y2=(kx1+a)+(kx2+a)=k(x1+x2)+2a=4ak2+2a，

y1y2=(kx1+a)(kx2+a)=k2x1x2+ak(x1+x2)+a2= -4a2k2+4a2k2+a2=a2.

∵G(0,-a),∴GA=(x1,y1+a),GB=(x2,y2+a). ∴ =x1x2+(y1+a)(y2+a)=x1x2+y1y2+a(y1+y2)+a

=-4a+a+a(4ak+2a)+a=4ak 0.

2222222 ，求证:0< 2

cos 0，∴cos 0，∴0

2.

又点G(0,-a)不在直线l上，∴A,B,G三点不共线.∴0<

2.

此题由角的范围想到角的余弦值的正负，进而想到向量的数量积公式，转化为直线和圆锥曲线的关系，思路可谓自然。在此过程中，向量连接起三角与解析几何，起到了桥梁的作用。

在数学的复习中，教师要有意识地以向量的知识为抓手，精心组织起以向量为中心的知识的交汇网络，在教材中充分挖掘素材，让学生在运用中逐渐感知、理解、掌握。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4ni1.html