高考数学 考前知识要点复习八 圆锥曲线方程

- 1 - 高中数学第八章-圆锥曲线方程

考试内容：

椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．

双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．

抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．

考试要求：

（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．

（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．

（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．

（4）了解圆锥曲线的初步应用．

§08. 圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义： 为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,

2,

2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+

⑴①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上：

)0(12222 b a b y a x =+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：

)0(122

22

b a b x a y =+. ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程：122

22

=+b y a x 的参数方程为

???==θ

θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b

a c c F F -==.⑤准线：c

a x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e a c e =.⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(122

22

b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

ii.设),(00y x P 为椭圆)0(122

22

b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002

200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222

a

b c a b d -=和),(2a b c ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ?-=+=0201,ey a PF ey a PF

- 2 -

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆

)0(12

22

2 b a b y a x =+

的离心率是)(22b a c a

c

e -==

，方程t t b y a x (2

22

2=+是大于0的参数，

)0 b a 的离心率也是a

c

e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：

12

22

2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，

若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2

tan 2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2

cot 2θ?b .

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义：

的一个端点的一条射线

以无轨迹

方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-

⑴①双曲线标准方程：)0,(1),

0,(12

22

22

22

2 b a b

x a

y b a b

y a

x =-

=-

. 一般方程：

)0(122 AC Cy Ax =+.

⑵①i. 焦点在x 轴上：

顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b

y

a x 或

02

22

2=-

b

y a

x

ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c

a y 2

±=. 渐近

线方程：0=±b x

a y 或02222=-

b x a y ，参数方程：???==θθtan se

c b y a x 或?

??==θθsec tan a y b x .

②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a c

e =. ④准线距

c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系a

c

e b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线

方程

12

22

2=-

b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则： a

ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-

a

ex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径

要带符号计算，而双曲线不带符号）

▲asin αacos α,()bsin αbcos α(),N y

x

N 的轨迹是椭圆

▲

y x

M'

M

F 1

F 2

▲

y

x

M'

M

F 1

F 2

- 3 -

a

ey F M a ey F M a

ey MF a ey MF -'

-='+'

-='+=-=02010201 ⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：022

22=-b

y a x .

⑸共渐近线的双曲线系方程：

)0(2

22

2≠=-

λλb

y a

x 的渐近线方程为

02

22

2=-

b

y a

x 如果双曲线的渐

近线为0=±b y

a x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb

y a x .

例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=

且过)2

1

,3(-p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：

)0(422

≠=-λλy x

，代入)21,3(-得

12

82

2

=-y x . ⑹直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“?法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线12

22

2=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m = n ，则P 到两准线的距离

比为m ︰n.

简证：

e

PF e PF d d 21

21= = n

m . 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3. 设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

px y 22= px y 22-= py x 22= py x 22-=

▲

y

x

F 1

F 2

1

23453

3

- 4 -

图形

▲

y

x

O

▲

y

x

O

▲

y

x

O

▲

y

x

O

焦点 )0,2

(p

F )0,2

(p

F - )2

,0(p F )2

,0(p F - 准线 2

p x -= 2

p x =

2

p y -

= 2

p y =

范围 R y x ∈≥,0 R y x ∈≤,0 0,≥∈y R x 0,≤∈y R x

对称轴 x 轴

y 轴

顶点 （0，0）

离心率 1=e 焦点

12

x p

PF +=

12

x p

PF +=

12

y p

PF +=

12

y p

PF +=

注：①x c by ay =++2

顶点)244(2a

b

a b ac --.

②)0(22≠=p px y 则焦点半径2

P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2

P y PF +=.

③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.

④px y 22

=（或py x 22

=）的参数方程为???==pt y pt x 222（或?

??==2

22pt y pt

x ）（t 为参数）. 四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线； 当0=e 时，轨迹为圆（a

c

e =

，当b a c ==,0时）. 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.

椭圆

双曲线

抛物线 定义

1．到两定点F 1,F 2的距离

之和为定值

1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值

- 5 -

2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨

迹 2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的

轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨

迹.（0

2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨

迹.（e>1）

与定点和直线的距离相等

的点的轨迹.

图形

方

程 标准方程 12

2

22=+b y a x (b a >>0)

12

2

22=-b y a x (a>0,b>0)

y 2

=2px

参数

方程 为离心角）

参数θθθ(sin cos ?

??==b y a x 为离心角）

参数θθθ(tan sec ?

??==b y a x ?

??==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心 原点O （0，0） 原点O （0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴;

实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴

焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0)

F 1(c,0), F 2(─c,0)

)0,2

(p F 焦距 2c （c=2

2b a -）

2c （c=2

2b a +）

离心率 )10(<<=

e a

c

e )1(>=

e a

c

e e=1

准线

x=c

a 2

±

x=c

a 2

±

2

p x -

= 渐近线

y=±

a

b x

焦半径 ex a r ±=

)(a ex r ±±= 2

p x r +

= 通径

a b

2

2 a

b

2

2 2p 焦参数

c a 2

c

a 2

P

2. 等轴双曲线

3. 共轭双曲线

5. 方程y 2=ax 与x 2

=ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4nfe.html