三升四暑期班 2

讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思讲义编写组

目 录

第一讲 速算与巧算 ……………………………………..……………………. 2 第二讲 应用题综合（一） ……………………………………..………………9 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 第十三讲 第十四讲 第十五讲

学而思教育 应用题综合（二）………………………………..……………………14 行程问题初步 ……………………………..…………………………..19 奇数与偶数 ………………………………..…………………………..24 计数问题 …………………………………..…………………………..29 体育比赛中的数学 ………………………..…………………………..34 期中测试 …………………………………..…………………………..38 余数与周期 …………………………………..………………………..40 简单的抽屉原理 ……………………………..………………………..45 巧求周长 ………………………………..……………………………..50 数字谜 …………………………………..…………………………....55 趣题巧解 …………………………..………………….……………..60 逻辑推理 ………………………..………………….………………..64 期末测试 ……………………………..………….……………….….68

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第一讲 速算与巧算

亲爱的同学们，你想一见到算式就能张口说出得数吗？你想让自己变得更聪明吗？学了今天的速算技巧后你就可以梦想成真了！还等什么？来吧，一起出发！

你还记得吗？ 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变. 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加， 再与第一个数相加，它们的和不变. 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变， 即a×b=b×a,其中a，b为任意数. 4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数 相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c).

1. 计算：378+26+609

分析：原式=（378+22）+（600+9）+（26-22）

=400+600+9+4 =1013.

[拓展] 计算：1998+198+18

分析：原式=（2000-2）+（200-2）+（20-2） =2220-6 =2214.

2. 计算：1000-90-80-20-10

分析：原式 =1000-（90＋80＋20＋10）

=1000-200 =800.

3. 计算：1）63×11 ； 2） 852×11

分析：在这个数的首尾之间添上相邻两数依次相加的和（和满10要进1）. 即“两边一拉，中间相加”. 1）63×11=693 （其中9是6+3），

2）852×11=9372（7=5+2 3=5+8末尾 9=8+1）.

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4. 计算 ：15×15 ；25×25 ；35×35

分析：建议教师先介绍个位数字为5的数的平方速算规律：首数加1的和乘以首数，尾数相乘，两积连起来即为所求的积.15×15=225 ；25×25=625 ；35×35=1225．

暑假精讲

1. 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变.在连除时，可以交换除 数的位置，商不变，即a÷b÷c=a÷c÷b 2. 乘除法混合运算的性质 （1）在乘除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同数字前面的运算符号一起交换位置， 例如a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a (2)在乘除混合运算中，去掉括号的规则以及去括号的情形 a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c (3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即 (a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c).

在乘除运算中，要做到既正确又迅速，首先要熟练地掌握乘除的各种运算定律，性质和运算中积商的变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件，选用合理，灵活的计算方法，下面我们通过一些例题介绍一些运算的速算和巧算的方法.

【例1】 计算：456×2×125×25×5×4×8

分析：解题关键是观察题目可以发现25×4得100，125×8得1000，将它们分别合并便可达到速算

原式=456×（2×5）×（25×4）×（125×8）

=456×10×100×1000 =456000000.

[巩固] 计算：19×25×64×125

分析：原式=（25×4）×（125×8）×（19×2） = 100×1000×38 =3800000.

【例2】 计算：5÷(7÷11) ÷(11÷15) ÷(15÷21)

分析：原式=5÷7×11÷11×15÷15×21

=5×（11÷11）×（15÷15）×（21÷7） =5×3 =15.

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[前铺] 计算：5400÷25÷4

分析：根据除法性质知一个数分别除以两个数，等于除以这两个数的积. 原式=5400÷（25×4）

=5400÷100 =54.

【例3】 计算：333333÷37÷3-3625÷125+125×50

分析：运用a÷b÷c=a÷(b×c) . 原式=333333÷（37×3）-29+6250

=333333÷111+（6250-29） =3003+6221 =9224.

【例4】 53×46+71×54+82×54

分析：可以把53，199拆分.

原式=（54-1）×46+71×54+82×54

=54×46+71×54+82×54-46 =54×（46+71+82）-46 =54×199-46

=54×（200-1）-46 =54×200 =54-46

=10800-100 =10700.

【例5】 （873×477-198）÷（476×874+199）

分析：观察到873与874，476与477的关系，可以考虑把整数进行拆分. 原式=[873×（476+1）-198] ÷[476×（873+1）+199]

=[873×476+873-198] ÷[476×873+476+199] =[873×476+675] ÷[476×873+675] =1.

【例6】 1111111111×9999999999

分析：原式=1111111111×（10000000000-1）

=11111111110000000000-1111111111 =11111111108888888889.

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【例7】 99999×26+33333×24

分析：原式=99999×26+33333×3×8

=99999×26+99999×8 =99999×（26+8） =（100000-1）×34 =3399966.

【例8】 计算：1+1×2×2+l×2×3×3+l×2×3×4×4+l×2×3×4×5×5

分析：原式=1×(2-1)+l×2×(3-1)+1×2×3×(4-1)+1×2×3×4×(5-1)+l×2×3×4×5×(6-1)

=l×2-1+l×2×3-1×2+l×2×3×4-1×2×3+l×2×3×4×5-1×2×3×4+l×2×3×4×5×6-l×2×3×4×5 =l×2×3×4×5×6-l =720-l =719．

【例9】 计算：2006+2005-2004-2003+2002+2001-2000-1999+1998+?+5-4-3+2+1

分析：（法1）我们观察可以发现，题目中每4个数一组可以相互抵消，将这些数先分组，简化计算. 原式=2006+（2005-2004-2003+2002）+（2001-2000-1999+1998）+?+（5-4-3+2）+1

=2006+0+0+?+0+1 =2007.

（法2）根据符号规律，可以4个数一组.

原式=（2006+2005-2004-2003）+?+（6+5-4-3）+2+1

=4×（2004÷4）+3 =2007.

[拓展] 计算：1992-1-2+3+4-5-6+7+8-?-1989-1990+1991 分析：原式=（1992+1991-1990-1989）+?+（4+3-2-1） =4×（1992÷4） =1992.

【例10】 计算：（11×10×9×?×3×2×1）÷（22×24×25×27）

分析：原式= （11×2÷22）×（10×5÷25）×（9×6÷27）×（8×3÷24）×7×4

=2×2×7×4 =112.

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【例11】 计算：9×17+91÷17-5×17+45÷17

分析：[前铺]分配律的逆运算是个难点，建议教师先从简单题讲清楚再讲本题. 计算1： 36×19+64×19

=（36+64）×19 =1900.

计算2： 36×19+64×144

=36×19+64×（19+125） =（36+64）×19+64×125 =1900+8×8×125 =1900+8000 =9900.

例题原式=9×17-5×17+91÷17+45÷17

=（9-5）×17+（91+45）÷17 =4×17+136÷17 =68+8 =76.

【例12】 计算：765×213÷27+765×327÷27

分析：原式=765×（213+327）÷27

=765×540÷27 =765×20 =15300.

【例13】 计算：（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7

分析：[前铺]建议教师先讲解拆数法：123456=1×100000+2×10000+3×1000+4×100+5×10+6×1，234561=2×100000+3×10000+4×1000+5×100+6×10+1×1，?

１２３４５６或者观察竖式发现：每个数位上的和=（1+2+3+4++5+6）×相应的数量单位.讲

２３４５６１清楚拆数这个问题，题目就迎刃而解了.

３４５６１２　　原式=（1+2+3+4+5+6）×(100000+10000+1000+100+10+1) ÷7

４５６１２３=21×111111÷7

５６１２３４=3×111111

＋）６１２３４５=333333.

【例14】 计算：12121212÷3030303

分析：[前铺]建议教师先给学生讲清楚周期性数字的规律.如123123=123×1001，123123123=123×1001001，?

分析：原式 =12×1010101÷（3×1010101）

=（12÷3）×（1010101÷1010101） =4×1=4.

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[拓展] 计算：（4545+5353）÷4949

分析：原式=（45×101+53×101）÷（49×101） =（45+53）×101÷49÷101 =（45+53）÷49 =2.

【例15】 2004×200320032003-2003×200420042004

分析：原式=2004×2003×100010001-2003×2004×100010001=0.

附加内容

【附1】 计算：99999×22222+33333×33334

分析：原式=99999×22222+33333×（33333+1）

=99999×22222+99999×11111+33333 =99999×33333+33333 =33333×（99999+1） =33333×100000 =3333300000.

【附2】 计算：888×125÷（1000÷73）+999×73

分析：原式=8×125×111÷（1000÷73）+999×73

=1000×111÷1000×73+999×73 =73×（111+999） =1110×（70+3） =77700+3330 =81030.

大显身手

1. 25×17×32×125

分析：原式=（25×4）×17×（8×125）=1700000 .

2. 1）57×99 ；2） 17×999

分析：1）原式= 5643 ；2）原式=16983.

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3. 15000÷125÷15

分析：原式=15000÷15÷125=1000÷125=8.

4. 56000÷（14000÷16）

分析：原式= 64.

数学迷宫

仔细看看图中有几只猴子？

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第二讲 应用题综合（一）

春季班同学们已经学习了平均数的应用题，其中包括以两组数的平均数和它们的总平均数间的关系为内容的问题．求解时应恰当选取基准数并注意权重．暑假我们学习的平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数.解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数.首先，让我们先回顾一下吧！

你还记得吗？

1. 小强为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每天做4道数学竞赛训练题.星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道.那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？

分析：综合列式为4×7-(3×3＋13)＝6(道).

2. 小明家先后买了两批小猪，养到今年10月.第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克.小明家养的猪平均多重？

分析：两批猪的总重量为66×3＋42×5＝408(千克).两批猪的头数为3＋5＝8(头)，故平均每头猪重408÷8＝51(千克).

3. 中强期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分.问：英语得了多少分？

分析：英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为(92＋90＋4)÷2＝93(分)，由此可求出英语成绩.综合列式为(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分).

4. 有5个数的平均数是26，如果把其中的一个数改为18，则平均数变成22，未改动前的这个数是多少？

分析：5个数的平均数从26变成22，平均每个数减少了4，一共减少了4×5=20，说明原来那个数减少20变为18，所以原来的数是38.

暑假精讲

【例1】 学而思三升四竞赛班50人考试，全班平均分为85分，其中有40的人及格，及格人的平均分是93分，那么不及格人的平均分是多少分？

分析：不及格人的平均分是（85×50-93×40）÷（50-40）=53（分）．

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【例2】 某一幢居民楼里原有3户安装空调，后来又增加一户.这4台空调全部打开时就会烧断保险丝，因此最多同时使用3台空调.这样，在24小时内平均每户最多可使用空调几小时？

分析：平均每户最多可用空调24×3÷4=18（小时）.

【例3】 一个房间里有9个人，平均年龄是25岁；另一个房间里有11个人，平均年龄是45岁．两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是几岁？

分析：（25×9+45×11）÷（9+11）=36（岁）.

【例4】 某校有100名学生参加第四届小学“祖冲之杯”数学竞赛，平均分数是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么该校参赛男同学比女同学多几人？

分析：参赛女同学人数为：[100×(63-60)] ÷(70-60)=30(人)，所以参赛男同学比女同学多100-30-30=40（人）.

下面我们要学习一类新的应用题——盈亏问题.

盈亏问题就是把一定数量的物品分给若干对象，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求被分配的物品数与分配的对象数.解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额(盈数+亏数)，由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差.需要注意的是，两种分配方案的结果会出现一盈一亏、两盈、两亏等情况，所以我们要灵活把握.

【例5】 六一儿童节到了，李老师给同学们准备了一些漂亮的贴画作礼物，如果每人分3张就会多出29张，如果每人分5张则少19张，那么李老师给几个学生发礼物呢？

分析：学生的人数：(29+19)÷(5-3)=24(个).

【例6】 杨老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元．这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？

分析：买5本多3元，买7本少1.8元.盈亏总额为3＋1.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7-5＝2（本）书，因此每本书4.8÷2=2.4（元），顾老师共带钱2.4×5＋3＝15（元）.

【例7】 学校组织四年级师生去参观清华、北大，原计划租用45个座位的客车，但这样有5人没座，如果租用同样数量的55个座位的客车，则正好多出1辆车.那么，原计划租用45座客车几辆？

分析：租55个座位的客车，正好多出1辆车，也就是少了一车的人，即55人，所以，原计划租用的客车数量(55+5)÷(55-45)=6(辆).

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【例8】 兰兰参加暑假的英语夏令营，老师为她们安排住宿，如果每个房间住5人，则多出18人，如果每个房间住7人，则有2个房间空着.那么，参加英语夏令营的同学有几人？

分析：房间数量：(18+7×2)÷(7—5)=16(个)，参加夏令营的人数：16×5+18=98(人).

【例9】 海尔兄弟约好在动物园门口见面，弟弟从家去动物园，如果每分钟走30米，就要迟到5分钟，如果每分钟走40米，可以提前2分钟到动物园，那么，海尔兄弟家到动物园的距离是几米？

分析：迟到5分钟相当于少走了：30×5=150(米)，提前2分钟到相当于多走了：40 ×2=80(米)，所以，如果不迟到也不早到，弟弟走的时间为：(150+80)÷(40-30)= 23(分钟)，家到学校的距离为：30×(23+5)=840(米).

【例10】 早晨陈奶奶去超市买菜，如果她买6千克鱼肉则还差10元．如果买8千克猪肉则还剩2元．已知每千克鱼肉比猪肉贵5元．那么陈奶奶带了多少钱?

分析：由于每千克鱼肉比猪肉贵5元，6千克鱼肉应该比6千克猪肉贵：6×5=30(元)，这时，买6千克猪肉应该剩下：30—10=20(元)，所以，每千克猪肉的价钱为：(20—2)÷(8—6)=9(元)，陈奶奶所带钱数：8×9+2=74(元).

【例11】 百货商店委托搬运站运送100只花瓶．双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元．问：搬运过程中共打破了几只花瓶?

分析：假设100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费1×100=100(元)．实际上只得到92元，少得100-92=8(元)．搬运站每打破一只花瓶要损失1+1=2(元)．因此共打破花瓶8÷2=4(只)．

附加内容

【附1】 100名学生参加数学竞赛，平均分数是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么该校参赛男同学比女同学多几人？

分析：参赛女同学人数为：[100×(63-60)] ÷(70-60)=30(人)．所以参赛男同学比女同学多100-30-30=40（人）．

【附2】 学而思竞赛班举行歌唱比赛，五位评委打分．计分时，先去掉一个最高分和一个最低分，在算出平均分作为该选手的最后得分．下面是嘟嘟同学的得分：79，83，86，81，■（第五个分数被盖上了），最后得分82．请你算算第五位评委打多少分？

分析：如果第五位评委的分数是最高分获最低分，那么另一个去掉的分数就是79或86，剩下的3个分数的平均分不等于82，不合题意.所以第五位评委的分数是没有被去掉的，去掉的是79和86，第五位评委的分数是82×3-（83+81）=82（分）.

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【附3】 乐乐从家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟．于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟．问：乐乐家离学校有多远?

分析：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时， 他离学校还有50×8=400(米)；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走(50+10)×5=300(米)．所以盈亏总额，即总的路程相差

400+300=700(米)．两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为700-10=70(分)，也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟．所以乐乐家到学校的距离为50×(2+70+8)=4000(米)．

【附4】 四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔? 分析：如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支)．

大显身手

1. 暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了记录．如果他在暑假的最后一天游670米，则平均每天游495米；如果最后一天游778米，则平均每天游498米；如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游多少米？

分析：（778-670）÷（498-495）=108÷3=36（天），说明小强一共游了36天.要想平均游500米的话，他最后一天应该游670+36×（500-495）=670+180=850米.

2. 甲班51人，乙班49人，某次考试2个班全体同学的平均成绩是81分，乙班平均分比甲班高7分，那么乙班的平均成绩是多少分？

分析：甲、乙2班总分为81×（51+49）=8100（分），由于乙班平均分比甲班高7 分，如果甲班每人提高7分，那么2班平均分即为乙班现在的平均分（8100+7×51）÷（51+49）=84.57（分）.

3. 用绳子量一口井的深度，把绳子折两折来量，多50厘米；折三折来量，还差30厘米，求绳长和井深各是多少？

分析：根据题意，（50×2+30×3）÷（3-2）=190（厘米）.（190+50）×2=480（厘米）或（190-30）×30=480（厘米）.

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4. 王老师带班里的学生去颐和园春游，他们租了一些船在昆明湖上划船，如果增加1条船，正好每条船坐4人，如果减少1条船，正好每条船坐6人，那么，他们总共有几人去了颐和园？

分析：这道题也可以理解为：原来每条船坐4人正好，后来减少了2条船，每条船坐6人．所以，租的船的数量为：6×(1+1)÷(6—4)=6(条)，去颐和园的总人数为：6×4=24(人).

成长故事

永远看得起自己

有一天某个农夫的一头驴子，不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办法救出驴子，但几个小时过去了，驴子还在井里痛苦地哀嚎着．

最后，这位农夫决定放弃，他想这头驴子年纪大了，不值得大费周章去把它救出来，不过无论如何，这口井还是得填起来．于是农夫便请来左邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋了，以免除它的痛苦．

农夫的邻居们人手一把铲子，开始将泥土铲进枯井中．当这头驴子了解到自己的处境时，刚开始哭得很凄惨．但出人意料的是，一会儿之后这头驴子就安静下来了．农夫好奇地探头往井底一看，出现在眼前的景象令他大吃一惊：当铲进井里的泥土落在驴子的背部时，驴子的反应令人称奇──它将泥土抖落在一旁，然后站到铲进的泥土堆上面！

就这样，驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底，然后再站上去．很快地，这只驴子便得意地上升到井口，然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！

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第三讲 应用题综合（二）

年龄问题和还原问题春季班都学习过基础的知识：年龄问题的解题要点是分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系.关键抓住“年龄差”不变.应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式解决；还原问题我们学习了用倒推法解单、多个变量的还原问题.今天我们再提高和拓展一下.来吧，我们出发！

你还记得吗？

1. 小明今年8岁，他与爸爸、妈妈年龄的和是81岁，多少年后他们的平均年龄是34岁？这时，小明是多少岁？

分析：三人的平均年龄是34岁时，三人的年龄和为：34×3=102（岁），经过的时间是：（102-81）÷3=7（年），这时小明的岁数：8+7=15（岁）．

2. 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？

分析：今年爸爸与儿子的年龄差为“48—20=28”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法．当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，他们的年龄差是儿子年龄的4倍，所以儿子的年龄是：（48—20）÷（5—1）＝7（岁），由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍．

3. 一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少12克．第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克．问蚂蚁家原有食物多少克?

分析：（倒推法）教师可画线段图帮助学生理解．如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是43-12=3l(克)；这样，第一天运出后剩下的重31×2=62(克)．那么，一半的重量是62—12=50(克)，原有食物50×2=100(克)． 即 [(43-12)×2-12]×2=100(克).

4. 小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少? 分析：（倒推法）把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去．所以正确的和是123+50- 4=169．即：123+(80-30)- (9-5)=169.

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暑假精讲

【例1】 父亲15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄．当父亲的年龄是儿子的4倍时，父亲多少岁?

分析：父亲比儿子大15+12=27岁．儿子是27÷(4—1)=9岁．父亲是9×4=36岁．

【例2】 姐姐对妹妹说：“当我是你今年的岁数时，你才6岁．”妹妹对姐姐说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将2l岁．”求姐姐和妹妹今年各几岁?

分析：姐姐和妹妹的年龄差为(21—6)÷3=5(岁)．妹妹今年的年龄为6+5=11(岁)．姐姐今年的年龄为11+5=16(岁)．

【例3】 小明一家有4人：爷爷、爸爸、妈妈和小明．爷爷比爸爸大26岁，妈妈比小明也大26岁．已知这家人今年的年龄之和为126岁，而5年前的年龄之和为107岁，那么小明与他爷爷的年龄之差是几岁？

分析：5年来，小明家的年龄之和增加了126-107=19岁．这家现有4口人，而19<4×5，这说明小明还不满5岁，他今年只有19-3×5=4岁．于是今年妈妈4+26=30岁，爷爷和爸爸的年龄之和为126-4-30=92岁．又爷爷比爸爸大26岁，因此今年爷爷(92+26)÷2=59岁，他比小明大59-4=55岁．

【例4】 达达1999年上二年级，如果把他出生年份的前两位与后两位看成两个两位数，已知第二个两位数比第一个两位数大73，求达达1999年的年龄．

分析：根据已知条件知，达达的出生年份的前两位数组成的两位数是19，那么，他出生年份的后两位数组成的两位数为19+73=92，因此，达达是1992年出生的．由此可知，1999年时达达的年龄是7岁.

【例5】 甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是64岁，甲21岁，乙17岁．甲18岁时，丙的年龄是丁的3倍．丁现在的年龄是多少岁?

分析：（法1）当甲18岁时，乙的年龄为17—3=14(岁)．丁现在的年龄为(64—18—14)÷(1+3)=32÷4=8(岁)． （法2）甲18岁是3年前，所以4人总年龄是64-3×4=52（岁），所以丙丁年龄和为52-18-14=20（岁），丁就是20÷（1+3）=5（岁），现在的年龄是5+3=8（岁）.

【例6】 一个箱子里放着乒乓球．一个小朋友往外拿乒乓球，拿的规则是：每次总是拿出箱中所有乒乓球的一半然后再放回去1个．按此规则拿了597次之后，箱子里还剩2个乒乓球．箱子里原有乒乓球多少个？

分析：前一次的一半是2-1=1（个），依次倒推，原有2个.

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【例7】 新天地广场运进一批新款式彩色电视机，第一天售出总数的一半多10台，第二天售出剩下的一半多20台，还剩95台．这批新款彩电有多少台?

分析：根据题意可画出线段示意图进行倒推还原．

由示意图可知：95台加上20台正好是剩下的一半，所以用(95+20)×2=剩下的台数；剩下的台数加上10台，正好是总数的一半，于是可求出这批彩电的台数．

[(95+20)×2+10]×2=480（台）.

【例8】 村姑卖蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二十个蛋．这篮鸡蛋有多少个?

从上面线段图可以看出：最后剩下20个再加上第三次卖出的再余下的一半以外的2个，就是再余下的一半，由此可求出再余下的是：(20+2)×2=44(个)．44个再加上第二次卖出余下的一半以外的2个就是余下的一半，因此可求出余下的是：(44+2)×2=92(个)．92个再加上第一次卖出一篮的一半以外的2个就是全篮的一半，因此可求出全篮鸡蛋的个数是(92+2)×2=188(个)．

【例9】 A，B，C三位小朋友都有若干本图书，如果A将自己的书给B，C，使B，C的书各增加一倍i然后B又将现有的图书给A，C，使A，C现有的图书各增加一倍；最后C再将自己已有的图书给A，B，使A，B的图书各增加一倍，这时三人的图书都是240本．A，B，C三位小朋友原来各有图书多少本?

分析：如图：

A B C

第一次 390 210 120

第二次 60 420 240

第三次 120 120 480

240 240 240

【例10】 三人存款不等，只知如果甲给乙40元，乙又给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这时三人都有240元．三人原来各有存款多少元？

分析：甲原有：240-20+40=260（元）；乙原有：240-70+30-40=160（元）；丙原有：240+20+70-30=300（元）.

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附加内容

【附1】 林林1999年上四年级，他出生年份的各位数字之和是最大的一位数的3倍，问他1999年几岁？

分析：他出生于1989年，1999年时他10岁.

【附2】 有代号为A，B，C，D的四位小朋友共有课外读物200本．为了广泛阅读，A给B 13本；B给C 18本；C给D 16本；D给A2本，这时四个人的本数相等．他们原来各有多少本课外读物?

分析：根据已知条件知道，四个小朋友共有课外读物200本，经过互相交换之后这200本的总数没有变化，当四个人的本数相等时，每个人的本数是200÷4=50(本)，用倒推的解题方法，可从“50本”人手，把收进的减去，把给出的加上，就可得到各人原有读物的本数：A原有读物本数：50+13—2=61(本)；B原有读物本数：50+18—13=55(本)；C原有读物本数：50+16—18=48(本)；D原有读物本数：50+2—16=36(本)．

大显身手

1. 小樱今年16岁，小桃今年11岁，几年后，小樱和小桃的年龄之和是45岁?

分析：小樱和小桃今年年龄和为16+11=27(岁)．小樱和小桃经过45—27=18(年) 两人的年龄之和是45岁时． 这时，小樱和小红每人经过的年数都为：18÷2=9(年)．

2. 已知明明今年2岁，爸爸今年28岁，那么请问11年后爸爸的年龄是小明的年龄的多少倍?

分析：(28+11)÷(2+11)=39÷13=3（倍）．

3. 小龟问老龟：“老爷爷，您今年多少岁?”老龟说：“把我的年龄加上20，再缩小2倍之后减去15，再扩大3倍，正好是105岁．你能算出我今年多少岁吗?”

分析：（法1）根据题意，从最后一个条件105岁开始倒推：最后的数扩大3倍是105岁，如果没扩大3倍，应该是105÷3=35(岁)；这个35岁是减去15得到的，如果没减去15，应该是35+15=50(岁)；这个50岁是缩小2倍后得到的，如果没有缩小2倍，应该是50×2=100(岁)；这个100岁是老龟的年龄加上20后得到的，那么老龟的年龄应该是80岁． （法2）设老龟今年x岁．依题意有[(x+20)÷2—15]×3=105．解得x=80．

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4. 小红、小芳、小明三人分苹果，小红得的比总数的一半多1个，小芳得的比剩下的一半多1个，小明得8个．问原来共有苹果多少个?

分析：小明得8个是因为小芳得到剩下的一半多1个，如果小芳只得了剩下的一半，那么小明应得8+1=9(个)，也就是得了剩下的另一半，这样也就说明了小芳得了10个，因此可以算出小红取去后剩下的是9×2=18（个）.根据同样的道理，如果小红得的是总数的一半，那么剩下的应该有18+1=19(个).那么苹果总数应该是19×2=38(个)．即[(8+1)×2+1]×2=38(个).

成长故事

老鹰和火鸡

有一群火鸡看着老鹰张著翅膀自由自在地在天上翱翔，十分的羡慕．于是和老鹰的头头商量是否能够派一个教练来教他们飞行的方法，老鹰头头爽快的答应下来．

老鹰教练很有耐心地教导火鸡张开翅膀学飞行：翅膀张开，用力地拍！火鸡们在老鹰教练的大力指导下拼命地张着翅膀、用力地拍，它们好高兴自己会飞了，虽然飞得不是很高，但是它们已经会飞了！ 太阳西下，该是下课回家的时候了，老鹰教练对它们说：你们今天好棒！你们都飞得很好，你们可以飞了！太阳下山了，我也要回家了！结果呢？老鹰是飞着回家，火鸡仍然是走路回家．

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第四讲 行程问题初步

在春季班时我们已经学习了简单的行程问题——相遇问题的基本类型（两人单次直线相遇），同学们，你们还记得做行程问题的基本工具是什么吗？没错，就是画“线段图”.今天我们将学习更加复杂的相遇问题.先来回顾一下相遇问题的基础知识吧！

你还记得吗？

1. 孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？

分析：建议教师画线段图．我们可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程：(200+150)×2=700(千米)，又因为还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离：700+500=1200(千米)．

2. 甲乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离．

分析：这题不同的是两车不“同时”．（法1 ）求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和．这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来．48×（1＋5）＝288（千米），5O×5＝25O（千米），288＋25O＝538（千米）．

（法2 ）还可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程．（48＋5O）×5＝49O（千米），49O＋48＝538（千米）．

3. 甲乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？

分析：240÷（240÷4+240÷6）＝2.4（小时）．

4. 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车分别往南和往北驶去，南辕先生出发2小时后北辙先生才出发，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?

分析：两人虽然不是相对而行，但是题目要求的仍是路程和．50×2+（50+60）×5=650（千米）．

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暑假精讲

【例1】 两地相距3200米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行78米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？

分析：（法1）[3200-（82+78）×15] ÷（82+78）=5(分钟）； （法2） 3200 ÷（82+78）-15=5(分钟）．

【例2】 李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点3千米．问全程长多少千米?

分析：根据题意，画个草图，能帮助我们找出数量关系．依题意作行程草图如下：

李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮实际多走了3×2=6(千米)．由已知李明每小时比王亮多走18—16=2(千米)，那么多少小时李明比王亮多行6千米呢?需要6÷2=3(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程就容易求出了．相遇时李明比王亮多行的路程3×2=6(千米)，李明比王亮每小时多行的路程18-16=2(千米)，两人相遇时间6÷2=3(小时)，全程(18+16)×3=102(千米).

【例3】 甲乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少行3千米．两地相距多少千米？

分析：两人行驶的时间为3÷（5-4）=3小时，所以两地相距(5+4)×3=27千米.

【例4】 两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟?

分析：甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标．当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时间．乙到达目标时所用时间：900÷100=9(分钟)甲9分钟走的路程：80×9=720(米)甲距目标还有：900—720=180(米)相遇时间：180÷7(100+80)=1(分钟)，共用时间：9+1=10(分钟).

简便解：画图可知两人总共走了2个全程，所以总全程为1800，所以时间为1800÷(80+100)=10分钟．

【例5】 一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地相背而行．甲每分钟走66米，乙每分钟走59米．经过几分钟才能相遇?

分析：500÷（66+59）=500÷125=4分钟.

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【例6】 甲乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行45千米．甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达B、A两地后， 立即按原路原速返回．两车从开始到第二次相遇共用6小时．求A、B两地的距离．

分析：甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个AB间的路程，第一次相遇后继续前进，各自到B、A两地后，又共同行完一个AB间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个AB间的路程．因此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行3个AB间的路程．甲、乙速度和42+45=87(千米)，3个AB间路程87×6=522(千米)，A、B相距522÷3=174(千米).

【例7】 阿呆和阿瓜同时从距离20千米的两地相向而行，阿呆每小时走6千米，阿瓜每小时走4千米. 阿瓜带着一只小狗，狗每小时走10千米．这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时候，它就掉头朝阿瓜这边走，碰到阿瓜时又朝阿呆那边走，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米?

分析：要求狗走的路程，由于狗在两人之间要跑多少个来回，每一次所用的时间是多少，这些量无法确知，所以不可能把每次狗与两人相遇走的路程分别求出再相加．仔细分析整个过程，抓住其中不变的关系：不论狗在两人之间跑了多少个来回，狗走的路程所用的总时间等于两人相遇所用的时间．所以，只要求出两人相遇所用的时间，就可以求出狗所走的路程．这样，问题就转化为求志强与蓝利亚两人相遇时间的问题．相遇时间20÷(6+4)=2（小时)，狗共跑路程10×2=20(千米).

【例8】 甲骑自行车每小时行18千米，乙步行每小时行6千米，如果两人同时在同一地点同一方向出发，甲走了48千米到达某地，立即按原路返回，在途中和乙相遇.问：从出发到相遇共经过多少时间？

分析：由题意知，甲走了48千米到达某地说明全程为48千米，甲乙从出发到相遇共行了两个全程，则再依两人的速度和，求出相遇时间.所以甲乙速度和为18+6=24（千米）.甲乙的相遇时间为48×2÷24=4（小时）.

【例9】 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行54千米。汽车每小时行48千米.两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回.汽车到甲地立即返回.两车在距离中点108千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？

分析：第二次相遇距中点108千米，说明两车共有108×2=216（千米）的路程差，由此可知两车共行216÷（54-48）=36（小时）.又因为第二次相遇两车共走了3个全程，所以走一个全程用36÷3=12（小时）.记可求出甲乙两地的路程是（54+48）×12=1224（千米）.

附加内容

【附1】 甲乙两人同时从AB两地相向而行，第一次相遇在距A地的75米，两人到达AB后又立即返回，第二次相遇距离B地50千米．求AB两地的距离．

分析：相同时间内（两个人都没有停过），两个人每走过与全程的距离相等的时候，所经过的距离都和第一次相遇时所走过的距离是相等的．在第二次相遇时两个人一共走了相当于三个全程的距离，这时甲应该是走过了75×3=225（千米），而从图上可知甲走过全程后又走过50米，所以全程距离应该是225-50＝175千米.

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【附2】 有一个自行车队，以每小时35千米的速度前进，甲选手突然发力，以每小时45千米的速度前进，车队速度不变，当甲选手行进了10千米后掉头返回，问再过多久可以与自行车队相遇？

分析：甲走10千米的时间为10?45?22（小时 ）， 车队走的时间也是（小时 ）， 车队走的路程是： 99270702035???（千米），此时车队与甲相距10?（千米），甲掉头返回与车队相遇的时间为

9999201?(35?45)?（小时 ）． 936

大显身手

1. 某工程兵修铁路开凿山洞的长是300米，两个班从两端开始凿山洞，甲班每天凿出5米，乙班每天凿出6米，同时开凿多少天后，还差80米没有凿通？

分析：（300-80）÷（5+6）=20（天）.

2. 两列货车从相距450千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行38千米，乙货车每小时行40千米，同时行驶4小时后，还相差多少千米没有相遇？

分析：450-（38+40）×4=138（千米）.

3. 甲乙两列客车同时由相距680千米的两地相对出发，甲客车每小时行42千米，经过8小时后相遇．问乙列客车每小时行多少千米？

分析：680÷8-42=43（千米/时）.

4. 甲乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？相遇时两列火车各行多少千米？

分析：（366-37×2）÷（37+36）=4（小时）.

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成长故事 砌墙工人的命运

三个工人在砌一堵墙． 有人过来问：“你们在干什么？” 第一个人没好气地说：“没看见吗？砌墙．” 第二个人抬头笑了笑，说：“我们在盖一幢高楼．” 第三个人边干边哼着歌曲，他的笑容很灿烂开心：“我们正在建设一个新城市．” 10年后，第一个人在另一个工地上砌墙；第二个人坐在办公室中画图纸，他成了工程师；第三个人呢，是前两个人的老板．

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第五讲 奇数与偶数

春季班我们在学习能被2，3，5整除的数的特征时介绍能被2整除的数的个位数是0，2，4，6，8，称为偶数；不能被2整除的数的个位数是1，3，5，7，9，称为奇数.那么今天我们就具体来学习一下奇数与偶数的重要性质.

你还记得吗？

1. 不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数： (1)1＋2＋3＋?＋9＋10； (2)1＋3＋5＋?＋21＋23；

分析：(1)奇数；(2)偶数.

2. 不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？

分析：根据奇偶数的运算性质：因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数.又因为429是奇数，所以(524+42-429)是奇数.

提示：在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数的个数是奇数，则结果是奇数.

3. 1×3×5×7×9×11×12×13的积是偶数还是奇数？

分析：1，3，5，7，9，11，13都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇数??推知1×3×5×7×9×11×13为奇数.因为12为偶数，所以(1×3×5×7×9×11×13)×12为偶数，即1×3×5×7×9×11×12×13为偶数.

4. 在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？

分析：由于1，2，3，4，?，197，198，199是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：(1，2)，(3，4)，?，(197，198)，还剩一个199，共有198÷2=99(对)，还剩一个奇数199.所以奇数的个数=198÷2+1=100(个)，偶数的个数=198÷2=99(个).因为每对中的偶数比奇数大1，99对共大99，而199-99=100，所以奇数之和比偶数之和大，大100.

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暑假精讲

奇数和偶数的表示方法： 偶数表示方法：如果我们用n表示整数，n=0，1，2，3，??那么2×n就表示偶数，简写成2n． 奇数表示方法：因为2n为偶数，比2n多1或少1的数为奇数．所以我们用2n+1或2n-1表示 奇数．

【例1】 有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意一刀，假设剪出偶数个断口．问：这根毛线被分成的段数是偶数还是奇数？

分析：奇数．分成的线段数比断口数多1．

【例2】 有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有面码之和能否是1999？

分析：不可能．每张纸上的两个页码之和是奇数，20个奇数之和是偶数．

【例3】 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55??的排列规律:前两个数是1，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波契数列，在斐波契数列前2004个数中共有几个偶数？

分析：根据奇数，偶数交替变化的规律，可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶?这样的变化规律，所以2004个数有2004÷3=668个偶数.

【例4】 用数字1，3，0可以组成多少个奇数和偶数?

分析：因为偶数的个位是偶数，所以只有0可作个位数组成偶数；因为奇数的个位是奇数，所以只有1和3可作个位数组成奇数．偶数有：0，10，30，130，310共5个；奇数有：1，3，13，31，103，301共6个．注意0不可以作首位数．

【例5】 任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？

分析：不能．两数和为999，各位数相加时必定没有向上进位，又因为新三位数与原三位数只是三个数字的排列顺序不同，所以把两个三位数的个位、十位、百位数字加在一起一定是偶数，而9+9+9=27是奇数，矛盾．

【例6】 有12张卡片，其中有三张上面写着1，三张写着3，三张写着5，三张写着7．问：能否从中选出五张，使它们上面的数字之和为20？为什么？

分析：不能．5个奇数的和是奇数，不可能等于20．

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【例7】 在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和 列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8．问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多?

分析：此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少．然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜．我们应该从整体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多1个．所以前8行中奇偶数一样，余下第9行奇数行，答案可脱口而出．偶数多．

[拓展] 如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：a=5×3=15．问填入的81个数中是奇数多还是偶数多?

分析：奇数行奇数多1个偶数行全是偶数，显然偶数多得多．

【例8】 小明爷爷钓鱼回来，小明问：“爷爷您今天钓了多少鱼呀?”爷爷说：“我今天甩出鱼杆和提起鱼杆共100次，可是有17次提起鱼杆时没钓着鱼，其余每提一次就钓了一条鱼，你说我今天钓了多少鱼呀?

分析：小明爷爷每甩出一次鱼杆都要收回来一次，所以甩出鱼杆次数和收回鱼杆次数相等．其总次数必为偶数，故可被2整除．于是收回鱼杆次数为100÷2=50(次)，收回鱼杆50次有17次没钓着鱼，所以共钓鱼50-17=33（条）.

奇数和偶数的运算性质

奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数；

奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数；

奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数

奇偶数加减法的几个常见结论．

结论1：任意个偶数的和是偶数．

我们根据偶数加法的性质，可以把任意个偶数两两结合在一起相加之后再相加，如果还多

1个就接着加．即：(偶数+偶数)+(偶数+偶数)+?+(偶数+偶数)=偶数+偶数+?+偶数=(偶

数+偶数)+?+偶数=偶数+偶数=偶数.

结论2：奇数个奇数的和为奇数．

假设有2n+1个奇数，那么我们把前面2n个奇数两两结合在一起相加，由奇数加法性质可

知，它们都是偶数，再把这些偶数加起来还是偶数，最后与剩下的一个奇数相加，所以结

果为奇数．

结论3：两个数的和加上这两个数的差，得到的一定是偶数

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【例9】 1+2+3+4+5+6+7+?+99+100+99+98+97+96+??+7+6+5+4+3+2+1是奇数还是偶数？

分析：1-99都出现了2次因此是偶数，而100是偶数，所以这个和是偶数．

【例10】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．

分析：由结论3可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999．

【例11】 桌子上有11个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的6个，问能否经过若干次翻动，使得11个杯子的开口全都向下？

分析：不能，杯子要翻过来的翻奇数次，11个杯子都要翻过来，要把所有被子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动6个，那总次数是偶数，偶数不可能等于奇数，因此不能把11个杯子的开口全都向下．

【例12】 一次聚会时，大家互相握手，则握过奇数次手的人数必定是偶数.请你想一想为什么？

分析：两人握手一次，每人算一次就是2次，所以握手的总次数必定是偶数.和的奇偶性由加数中奇数的个数决定，握手次数之和为偶数说明加数中有偶数个奇数，即握过奇数次手的人数是偶数.

附加内容

【附1】 甲，乙，丙三名选手参加长跑比赛．起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲与乙，甲与丙的位置次序共交换13次．比赛结果甲是第几名？

分析：注意到和奇数相邻的一定是偶数，和偶数相邻的一定是奇数甲每和乙丙交换一次位置次序，自己名次的奇偶性就发生一次变化变化了13次相当于变化一次，甲开始在第一，名次是奇数，变化一次后变为偶数名次只可能是1，2，3，这里面只有2是偶数，因此比赛结果甲是第2名．

【附2】 沿江有1，2，3，4，5，6号六个码头，相邻两码头间的距离都相等．早晨有甲、乙两船从1号码头出发，各自在这些码头间多次往返运送货物．傍晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码头．请说明甲、乙两船的航程不相等．

分析：以相邻两码头间的距离为单位，则乙船从1号码头出发又回到1号码头，其航程必为偶数个单位；甲船从1号码头出发，最终泊在6号码头，其航程必为奇数个单位．

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大显身手

1. 用数字9，8，0可以组成多少个奇数和偶数？

分析：3个奇数9，89，809；8个偶数 0，8，80，90，98，980，890，908.

2. 两个自然数的乘积是奇数，那么这两个数的和是奇数还是偶数？请说明理由.

分析：偶数. 乘积是奇数则说明两个数都数奇数.

3. （古趣题）三十六口缸，分作九船装，只准装单，不准装双．问：怎样运走这些缸？

分析：根据奇数的运算性质知，9个奇数的和仍是奇数，36是偶数，所以不能.

4. 如果有9个人坐在3行3列的座位上，要想把这9个人同时调到各自的临座上（每个座位的前后左右位置上）．是否可能？

分析：不可能，因为奇数和偶数不相等

成长故事

有一天，著名科学家爱因斯坦先生被邀请作演讲嘉宾．他的司机对他开玩笑说：“我经常听到你在车中预备演讲，听得多了，我也可以一字不漏地背念出来．”爱因斯坦听罢就说：“那就好极了，我昨日整天都在做研究工作，疲倦得很，况且邀请我演讲的机构与我素未谋面，你大可替我演讲，我做你的司机好了．”演讲当晚，司机果然一字不漏地念出爱因斯坦惯说的演讲内容，令在场的人佩服不已，连坐在观众席最后排的爱因斯坦，也频频点头称是．可是，演讲完结后，突然有一位年青科学家，追问了一个颇为深入的问题，那当然是司机的演讲以外的资料，全场都等待着这位冒牌科学家的答复．出乎意料之外，他竟然气定神闲地开始回答说：“年青人，请恕我直言，你刚才的问题实在太简单，甚至可以说是个蠢问题，假如你不信的话，我可以证明给你看．这问题简单得连我的司机也懂得如何回答．”跟着，司机便邀请爱因斯坦上台作答，并且在掌声雷鸣之下离开会场．

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第六讲 计数问题

今天我们要学习的计数问题，包括图形计数和数字计数等.计数问题，尤其是图形计数看起来不难，但大多数同学一做就错，通过今天的学习，相信你一定能有所收获！

暑假精讲

【例1】 数一数：右图中线段的总条数．

分析：（法1）我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数，

由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条 ． 由2个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF 4条． 由3个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF 3条． 由4个基本线段构成的线段有：AE、BF 2条． 由5个基本线段构成的线段有：AF 1条． 总数5+4+3+2+1＝15条．

（法2）按线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图

以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条． 以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条． 以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条． 以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条． 以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．

总数5+4+3+2+1＝15条．

【例2】 数一数，右图中共有多少个角?你能用两种方法解答这个问题么？

分析：（法1）我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样分类数：

由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF共5个． 由2个基本角构成的角有：∠AOC、∠BOD、∠COE、∠DOF共4个． 由3个基本角构成的角有：∠AOD、∠BOE、∠COF共3个． 由4个基本角构成的角有：∠AOE、∠BOF共2个． 由5个基本角构成的角有：∠AOF共1个． 角总数5+4+3+2+1=15(个)．

（法2）以角的起始边分类（注意保持方向的一致）：

以OA边为公共边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF共5个． 以OB边为公共边的角有：∠BOC、∠BOD、∠BOE、∠BOF共4个． 以OC边为公共边的角有：∠COD、∠COE、∠COF共3个． 以OD边为公共边的角有：∠DOE、∠DOF共2个． 以OE边为公共边的角有：∠EOF只1个． 角总数5+4+3+2+1=15(个)．

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【例3】 数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？

分析：（法1）

1个三角形组成的：△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF共5个； 2个三角形组成的：△AOC、△BOD、△COE、△DOF共4个； 3个三角形组成的：△AOD、△BOE、△COF共3个； 4个三角形组成的：△AOE、△BOF共2个； 5个三角形组成的：△AOF共1个； 共有5+4+3+2+1=15（个）.

（法2）我们先数下面的这条线有多少个线段，也就是有多少个三角形．

以A点为共同左端点的线段有5条，即有△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF共5个三角形； 以B点为共同左端点的线段有4条，即有△AOC、△BOD、△COE、△DOF共4个三角形； 以C点为共同左端点的线段有3条，即有△AOD、△BOE、△COF共3个三角形； 以D点为共同左端点的线段有2条，即有△AOE、△BOF共2个三角形； 以E点为共同左端点的线段有1条，即有△AOF共1个三角形； 共有5+4+3+2+1＝15（个）．

【例4】 数一数：下面三个图中长方形分别有多少个？

分析：（法1）以1个长方形组成的；以2个长方形组成的??教师可参看数线段、角、三角形的方法1． （法2）先数一数AB边上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的长，再数一数AD上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的宽，每一条长与一条宽搭配，就确定了一个长方形，这样就容易得出一共有多少个长方形了．

先来看图(1)，AB边上包含着的10条线段中的每一条(想一想为什么)，都可与线段AD对应，惟一确定一个长方形，所以图(1)中共有10×1=lO个长方形．

再来看图(2)，与图(1)不同的是在AD上增加了一个分点，这样就有3条线段时，这3条线段分别与AB边上不同的线段构成长方形，所以图(2)中共有10×3=30个长方形．

最后看图(3)，与上面的思路相同，由于AD边上有3+2+1=6条线段，所以图(3)中共有10×6=60个长方形．即：(1)(4+3+2+1)×1=10(个)；(2)(4+3+2+1)×(2+1)=30(个)；(3)(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个)．

【例5】 数一数：右图中有几个正方形？

分析：（法1）边长为1的正方形有12个，边长为2的正方形有6个，边长为3的正方形有2个，共20个．即4×3+3×2+2×1=20

（法2）请教师参看数长方形的法2．

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【例6】 数一数，右图中共有多少条线段？

分析：“个人”：BF、CG ； “集体1”：EH 系列，共3+2+1=6 （条）； “集体2”：AD 系列，共3+2+1=6 （条）； 所以共14条．

【例7】 数一数，右图中三角形共有几个？

分析：27个．

【例8】 从1-10里取2个不同的数，使得这2个数的和大于10，请问有多少种不同的取法？

分析：（法1）按较小的数来分类，

1） 若较小的数是1，则较大的数必须是10有1种取法 2） 若较小的数是2，则较大的数是9或10有2种取法 3） 若较小的数是3，则较大的数是8，9，10有3种取法 4） 若较小的数是4，则较大的数是7，8，9，10有4种取法 5） 若较小的数是5，则较大的数是6，7，8，9，10有5种取法 6） 若较小的数是6，则较大的数是7，8，9，10有4种取法 7） 若较小的数是7，则较大的数是8，9，10有3种取法 8） 若较小的数是8，则较大的数是9，10有2种取法 9） 若较小的数是9，则较大的数是10 有1种取法 综上所述，共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种不同取法．

（法2）若从大的开始考虑：先取10，那么另一个数就有1—9总共9个数字可以取 再取 9，那么另一个数就有2—8总共7个数字可以取

这样就是一个等差数列，所以总共就是9+7+5+3+1=25种．

【例9】 一个两位数的两个数字之和是7的倍数，这样的两位数有几个？

分析：数字之和是7的倍数有2种可能，要么是7要么是14，因此我们要分2类来枚举 第一类：数字和是7，那么这样的两位数有70 61 52 43 34 25 16 共7个； 第二类：数字和是14，那么这样的两位数有95 86 77 68 59共5个， 综上所述，这样的两位数有12个.

【例10】 一个两位数的数字之差是4的倍数，那么这样的两位数有几个？

分析: 这里要注意数字之差是4的倍数，那么这个差不仅可能是4和8，还可能是0,因此本题我们要分3类:第一类：数字之差为8,那么这样的两位数有19 91 80 共3个；

第二类：数字之差为4,那么这样的两位数有95 59 84 48 73 37 62 26 51 15 40 共11个； 第三类：数字之差为0,那么这样的两位数有11 22 33 44 55 66 77 88 99共9个, 综上所述，满足条件的两位数有3+11+9=23个.

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【例11】 在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有几个？

分析：分类讨论：①个位是2的有9×10=90个；②十位是2但个位不是2的偶数有9×4=36个；③百位是2但十位和个位都不是2的偶数有9×4=36个，所以一共有90+36+36=162个符合条件的三位数．

【例12】 商店里有100克的茶叶3包 300克的茶叶2包，400克的茶叶一包 500克的茶叶2包，小明要到商店给爷爷买1千克茶叶，在不打开包装的情况下，请问售货员阿姨有多少种不同的方法把茶叶交给小明？

分析：要凑1000克茶叶不难，关键是要做到不重复不遗漏，因此我们按一定的次数来凑. 1）500+500，

2）500+400+100， 500+300+100+100，

3）400+300+300， 400+300+100+100+100，得到共有5种方法.

附加内容

【附1】 如图，有多少个三角形？

分析：分类法，15个.

【附2】 如图，有多少个正方形？

分析：27个.

大显身手

1．数一数，图4－１中共有多少条线段?

分析：10条．

2．数一数，图中有多少个三角形?

分析：（1）5 （2）6 （3）6 （4）5

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3．分别数出图中各图形里长方形的个数．

分析：（1）6 （2）10

4.图中有多少个正方形?

分析：（1）5 （2）17

成长故事

有一群朋友去郊游，走到一半的时候，却发现迷路了，折腾了大半天的时间，大伙又饿又累，终于看到了一个小山丘，走在前面的人很高兴地登上了山顶，向山下眺望时，隐约地看到远处有一个招牌，上面写着一个大大的“骨”字，于是他大声吆喝着：“伙伴们，前面有我们的希望，大家赶快冲啊！我看到远处有一家排骨饭的店，我们有排骨饭可以吃了！”大伙一听有排骨饭可吃，卯足了劲往前冲．

到了距离招牌约五十米之处时，全部的人都瘫在地上，露出失望的表情，原来招牌上写着是『接骨馆』三个字．

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第七讲 体育比赛中的数学

我们看看下面的问题：二年级四个班进行小足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几场?一共要进行多少场比赛? （如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为循环赛）这个问题就是我们这节课将要学习的有趣的体育比赛中的数学问题．

暑假精讲

【例1】 我们可以将上面的问题如下表述：下面的四个点，每两个点之间都连一条线段，那么，

从一个点可以连出几条线段?一共可以连多少条线段?

分析：（法1）题意要求每两个点之间都连一条线段．先考虑点A(如图)，它与B、C、D三点能且只能连接三条线段AB、AC、AD；同样，从点B也可以连出三条线段BA、BC、BD；从点C可以连出三条线段CA、CB、CD；从点D可以连出三条线段DA、DB,DC．因此，从一个点可以连三条线段．从每个点都连出三条线段，共有四个点．3×4=12(条)

注意到线段AB既是由A点连出的，也是由B点连出的，并且每一条线段都是这样(如图)，所以，线段的总数应为12÷2=6(条).

（法2）从点A引出三条线．AB、AC、AD，为避免重复计数，从B点引出的线段

只计BC、BD两条，由C点引出的只计 CD一条．因此，线段的总数为3+2+1=6(条)．

【例2】 甲、乙、丙三人进行乒乓球循环赛，结果3人获胜的场数各不相同．问第一名胜了几场?

分析：三人进行循环赛，即每两人都要赛一场，共进行2×3÷2=3场比赛．每场比赛都有一人获胜，每人都赛2场．由题意知三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为2、1、0．显然，第一名是胜了2场．

【例3】 甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果有三人获胜的场数相同．问另一个人胜了几场?

分析：甲、乙、丙、丁四人进行循环赛，则每人都赛3场，共赛3×4÷2=6(场)．如果其中有三人都胜3场，则至少进行9场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜2场，那么6场比赛中的获胜者都在这三个人中，每人胜了2场，另一个人胜0场；如果其中有三人都胜1场，那么6场比赛中的3场这三人各胜1场，另外3场的胜者必是第四个人，故另一个人胜3场；三个人都胜0场是不可能的．因此，如果有3人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜0场，也可能胜3场．

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【例4】 学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得3分，投不进倒扣1分，小明投了5个球，投进了3个．那么，他应该得多少分?

分析：（法1）小明投的5个球中， 投进的3个球得到3×3=9(分)，而没有投进的2个球被扣掉1×2=2(分)，于是他应得9-2=7(分)

（法2）如果小明投的5个球都进了，那么他应得3×5=15(分)，但是实际上他只投进了3个球，未投进的2个球中每个球都由得3分变为扣1分，多计3+1=4分，共多计了4×2=8(分)，故小明应得15-8=7(分).

【例5】 学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得3分，投不进倒扣1分，如果大明得30分，且知他有6个球没有投进，那么大明共投了几个球?

分析：大明有6个球没有投进，要被扣掉6分，如果不考虑这6个球，大明应该得30+6=36(分)，36÷3=12(个)，所以，大明投进了12个球，加上未投进的6个球，大明共投了18个球．

【例6】 四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分，有一个队没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你说明理由．

分析：有可能 A,B,C,D四个队 A胜B ,B胜C,C胜A,D和A,B,C都打平.这样的话A,B,C都是4分，D是3分，D虽然不败但却难逃垫底厄运．

【例7】 四个人进行象棋循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分，比赛结束后统计发现，四个人的得分和加起来一定是多少？

分析：根据例1的结果，四个人循环比赛总共比赛六场，每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2分，因此最终四个人的得分加起来一定是2×6=12分．

【例8】 8只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？

分析：（法1）8进4进行了4场，4进2进行2场，最后决赛是1场，因此共进行了4+2+1=7场比赛 （法2）每进行一场比赛就淘汰一支球队，最后只剩下冠军了，也就是说淘汰了7只球队，因此进行了7场比赛．

【例9】 假设2032年奥运会主办权由51个国家投票，北京，纽约，东京3个城市作为侯选城市，统计其中40张选票数的结果是：北京得18票，纽约得12票，东京得10票．北京至少再得几张票，才能保证以得票数最多获得奥运会主办权？

分析：还剩下51-18-12-10=11张，北京再得3张票的话，自己有18+3=21张，而纽约最多只有12+8=20票，日本不足为虑．北京可以保证获得主办权．而北京只得2张票的话，万一剩下9张全被纽约得到，那么纽约将以21比20击败北京．因此北京至少再得3张票，才能保证以得票数最多获得奥运会主办权．

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附加内容

【附1】 三人打乒乓球，每场2人，输者退下换另一人，这样继续下去，在甲打了9场，乙打了6场，丙最多打几场？

分析：甲、乙都只与丙打，丙可打9+6=15场，但甲比乙多打9-6=3（场），不算最后一场输赢，甲应赢丙3-1=2（场），这样总场数为15-2=13（场），丙打了13=2=11（场）.

【附2】 参加世界杯足球赛的国家共有32个（称32强），每4个国家编入一个小组，在第一轮循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出16强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生8强、4强、2强，最后决出冠军、亚军、第三名，第四名．至此，本届世界杯的所有比赛结束．

根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？

分析：循环赛中，有32/4=8个组．每组4个队． 每组4个队中，每个队要与其他3队都比赛1场，每个队就比3场．因为每场比赛要2个队．所以1组里有4×3/2=6场．有8个组，循环赛就有8×6=48场．进入淘汰赛，有16个队，淘汰赛每比1场就淘汰1个队，最后决出冠军1个队，就比了16-1=15场，还要决出第三名，第四名，又多了1场．淘汰赛就有15+1=16场．世界杯的足球赛全程共有48+16=64场．

大显身手

1. 二年级六个班进行拔河循环赛，每个班要进行几场比赛?一共要进行几场比赛?

分析：5场，15场．

2. 某班举行乒乓球循环赛，小明是裁判小组的组长．妈妈问他有多少名选手参赛，小明想了想对妈妈说：“总共要进行28场比赛，您说有几名选手参加呢?”你能回答这个问题吗?

分析：8名选手．

3. 有8个选手进行乒乓球循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几局?

分析：7场．

4. 甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果甲、乙、丙三人胜的场数相同，而且知道甲胜了丁，问丁胜了几场?

分析： 0场．

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成长故事 青蛙的故事

如果把一只青蛙放在滚烫的热水中，青蛙会很快的从水中跳出．但是如果把一只青蛙放在湿水里，再慢慢地将水加热，等到青蛙发现水太烫的时候，它已经跳不出来了．

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第八讲 期中测试

同学们，半学期过去了，让我们在回顾的基础上，跟随小新进入美妙的数学天地吧！！

第一节、小试身手吧（20分） 1、判断（2+4+6+．．．198）-（1+3+．．．197）的奇偶性？ 解：奇数

2、78×99 解：7722

3、5÷(7÷11) ÷(11÷15) ÷(15÷21) 解： 15.

4、2007×16×125×25×5×4 解：2007000000

第二节、加油哦！（80分）

1、提高班的小新问爷爷多大年龄，爷爷说：“这样吧，你暑假都学了一半了，我出道题吧！如果你学的好，就能答出来，我今年的年龄是把我的年龄加17，然后用4除，减15，再用10乘，恰巧是100岁．”请问你知道小明的爷爷几岁？ 解：83

2、回答完爷爷的问题后，爷爷又给小新出了一道加法题，由于粗心，小新将个位上的4看作8，把十位上的7看作2，结果所得的和是123．请问正确的答案是多少? 解：（倒推法）把个位上的4看作8，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的7看作2，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去．所以正确的和是123+50- 4=169．即：123+(80-30)- (9-5)=169.

3、第二天小新去参加班级的象棋比赛，老师告诉同学们：所有参赛队员每两人都要赛一场，共比赛了36场，问有多少个队员参赛?

解： 1+2+3+…+?=36中的?是几．经过试验可知：?=8．所以应有9个参赛队． 4、回到学校后，学而思老师给每个同学发本子，若每人分5本则多9本；若每人分6本则2人没本子．问：有多少个小朋友？总共有几本？ 解：（9+2×6）÷（6-5）=21人，总共有21×5+9=114本．

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5、期中考试之前，小新前几次数学测验的平均分是84分，这一次要是考了100分，就能把平均分提高到86分，则这一次是第几次测验？ 解：第8次

6、课间，小新问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时，你才4岁；当你像我这么大时，我已经42岁了．”你能算出刘老师有多少岁吗？ 解：（42-4）÷2=19 所以年龄差就是19岁，所以老师19+4=23岁．

7、等老师分析完试卷后，小新发现自己还是有道题目不对，请你帮他数一数下图中有多少个正方形

解：还是分类，这次我们按正方形的边长来分类 边长为1的正方形有9个 边长为2的正方形有4个 边长为3的正方形有1个

因此该图里共有9+4+1=14个正方形

8、等小新吧所有的都弄懂了，小新就乘车回家，这是司机叔叔给小新除了道难题：李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行20千米，王亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点6千米．问全程长多少千米?

解：多走6×2=12千米，12÷（20-16）=3(小时)，多以全程为3×（20+16）=108（千米）

三、思考题：（两题中任选一题，总分20分）

1、甲乙丙共有100本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数都是1．那么乙有书多少本？

解：甲的本数除以乙的本数，商5余1，说明甲是乙的5倍多1，丙的本数除以甲的本数，商5余1，说明丙是甲的5倍多1，是乙的25倍多6（5+1），因此，这是一个和倍问题．乙的本数=（100-1-6）÷（1+5+25）=3本．

2、甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分.结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？

解：根据比赛结果只能2种情况：第一种，甲全胜得6分，丁全负得0分，乙、丙各得3分；第二种，甲只负丁，甲得4分，丁得2分，乙、丙各得3分.所以，乙得3分.

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第九讲 余数与周期

在整数除法运算中，除了春季班学过的整除情形外，更多的是不能整除的情况，例如65÷3，38÷5?，不能整除就产生了余数，通常表示为65÷3=21?2，38÷5=7?3，其中2和3 就是余数，即被除数÷除数=商??余数；上面两个算式还可以写成65=3×21+2，38=5×7+3，即被除数=除数×商+余数，通常把这一算式称作带余除式. 今天我们就来学习余数问题以及与它紧密相连的周期问题吧！

你还记得吗？

1. 填空：(1) ( )÷3=2??1 ( )÷2=4??1

(2) 25÷( )=6??1 30÷( )=4??2

分析：(1)2×3+1=7，2×4+1=9 （2）25-1=24 24÷6=4；30-2=28 28÷4=7.

2. 找出下面图形的排列规律，根据规律算出第16个图形是什么?

分析：（1）这一排图形是一个△，两个○，这样三个图形为一个组，不断重复出现的.先算16个图形里面有几组这样的图形，16÷3=5（组）??1（个），余数是1，这一个图形是第6组的第一个，应该是△. （2）这一排图形是一个○，一个△，两个□，这样四个图形为一个组，不断重复出现的.先算16个图形里面有几组这样的图形，16÷4=4（组），没有余数，那么第16个图形是第4组的第四个，应该是□.

3. 有一堆围棋子，按“二黑三白”的顺序排列起来，想一想，第52个是白子还是黑子?第63个呢?

●●○○○●●○○○●●○○○??

分析：52÷5=10（组）??2（个），第52个棋子是黑色的；63÷5=12（组）??3（个），第63个棋子是白色的.

4. 按“从小爱数学从小爱数学从小爱数学??”依次排列，第56个字是什么?

分析：这一列数字是按“从小爱数学”每五个字一组重复出现的，56÷5=11??1，那么第56个字应该是第12组的第一个字是“从”.

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