2018-2019学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷13

2018-2019学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．若实数x满足|x﹣3|+A．4x+2

=7，化简2|x+4|﹣

的结果是（ ）

B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2

2．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ） A．a2+b2=c2 B．a=5，b=12，c=13 C．∠A=∠B+∠C

D．∠A：∠B：∠C=3：4：5

3．一根长30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠，为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，MA的长应为（ ）

A．7.5cm B．9cm C．12cm D．10.5cm

4．桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3：4：5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？（ ）

底面积（平方公分） 60 80 100 D．7.5

甲杯 乙杯 丙杯 A．5.4 B．5.7 C．7.2

5．抛物线y=x2+4x+5是由抛物线y=x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（ ） A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位

6．在打靶中，某运动员每发子弹都是命中8、9、10环，他打了多于11发子弹，共得100环，那么，他命中10环的次数是（ ） A．0

B．1 C．2

D．不能确定

，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=

折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（ ）

A．1 B． C． D．

8．点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（ ）

A．

B． C． D．

二．填空题（共10小题，满分40分，每小题4分） 9．已知扇形的半径为2cm，面积是

cm2，则扇形的弧长是 cm．

10．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于 ．

11．若直线y=2x+3与直线y=mx+5平行，则m+2的值为 ． 12．已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则

= ．

13．取大小、质地都相同的四张卡片，正面分别写有数字﹣1，1，2，3，充分洗匀后任取两张，取卡片上标注的两个数作为点的坐标，那么该点刚好在一次函数y=x﹣2图象上

的概率是

14．若关于x的不等式组是 ．

15．如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，点E、F分别是边AB、CD上的动点，则线段EF的最小值为 cm．

的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围

16．如图，Rt△ABC，∠BCA=90°，AC=BC，点D为△ABC外一点，且AC=CD，连接DB交AC于点H，∠DCA的平分线交DH于点F，过B点作FC的垂线交FC的延长线于点E．已知tan∠DBC=，S△ACD=8，则CE的长为 ．

17．方程|x2﹣3x+2|+|x2+2x﹣3|=11的所有实数根之和为 ． 18．已知实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b﹣1=0，则

三．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）

19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD． （1）若∠A=28°，求∠ACD的度数． （2）设BC=a，AC=b．

①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由． ②若AD=EC，求的值．

的值是 ．

20．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：于点A和点B（0，﹣1），抛物线（4，n）．

与x轴、y轴分别交

经过点B，且与直线l的另一个交点为C

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．

21．（10分）若关于x的分式方程

的解为负数，求a的取值范围．

22．（10分）如图①，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交⊙O于点E，经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G． （1）求证：BC∥FG；

（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；

（3）当图①中的FE=AB时，如图②，若FB=3，CG=2，求AG的长．

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．解：∵|x﹣3|+∴|x﹣3|+|x+4|=7， ∴﹣4≤x≤3， ∴2|x+4|﹣

=2（x+4）﹣|2x﹣6| =2（x+4）﹣（6﹣2x） =4x+2， 故选：A．

2．解：A、a2+b2=c2，是直角三角形，错误； B、∵52+122=132，

∴此三角形是直角三角形，故本选项正确； C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C ∴∠A=90°，

∴此三角形是直角三角形，故本选项正确； D、设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴3x+4x+5x=180°，解得x=15° ∴∠C=5×15°=75°，

∴此三角形不是直角三角形，故本选项正确； 故选：D．

3．解：将折叠这条展开如图，

根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm， 下底等于纸条宽的2倍，即6cm， 两个三角形都为等腰直角三角形， 斜边为纸条宽的2倍，即6cm，

故超出点P的长度为（30﹣15）÷2=7.5， AM=7.5+3=10.5． 故选D．

=7，

4．解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x， 根据题意得：60×10+80×10+100×10=60×3x+80×4x+100×5x， 解得：x=2.4，

则甲杯内水的高度变为3×2.4=7.2（公分）． 故选：C．

5．解：原抛物线的顶点为（0，1），新抛物线的顶点为（﹣2，1）， ∴是抛物线y=x2+1向左平移2个单位得到， 故选：B．

6．解：设环数为8，9，10的次数分别为x，y，z， ∴x+y+z＞11，8x+9y+10z=100， ∵若x+y+z≥13，

则8x+9y+10z≥8×13＞100， 故x+y+z=12．

∴该运动员打靶的次数为：12． 当x=10时，y=0，z=2， 当x=9时，y=2，z=1， 当x=8时，y=4，z=0．

故他命中10环的次数分别为：0，1，2． 故选：D．

7．解：∵∠C=90°，AC=∴AB=

∴∠BAC=30°，

∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处， ∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE， ∵AD⊥ED， ∴BC∥DE，

∴∠CBF=∠BED=30°， 在Rt△BCF中，CF=

=

，BF=2CF=

，

=2，

，BC=1，

∴EF=2﹣，

，ED=

FD=

﹣1，

在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE =2S△ABD+S△ADE

=2×BC?AD+AD?ED =2××1×（=1． 故选：A．

﹣1）+×（

﹣1）（﹣1）

8．解：易知D、C、E三点共线，

点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点， ∴

对的圆心角为

=60°，

∴∠ABC=30°， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°，

∴AC=AB=1，BC=AB?COS30°=BE=BC?COS30°=，CE=DC=

，

，AD=，

且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠． 从而，S阴影=S梯形ABED+=S△ADC+S△BCE， =

故选：B．

二．填空题（共10小题，满分40分，每小题4分） 9．解：设弧长为l，

∵扇形的半径为2cm，面积是∴?2?l=π， ∴l=πcm． 故答案为=π．

S△ABC﹣

，

．

cm2，

10．解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H．

∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AM=AP，∠MAP=60°， ∴△AMP是等边三角形， ∵∠MAP=∠BAC， ∴∠MAB=∠PAC， ∴△MAB≌△PAC， ∴BM=PC=10，

∵PM2+PB2=100，BM2=100， ∴PM2+PB2=BM2，

∴∠MPB=90°，∵∠APM=60°， ∴∠APB=150°，∠APH=30°， ∴AH=PA=3，PH=3

，BH=8+3，

×AB2=50

+72，

，

∴AB2=AH2+BH2=100+48

∴菱形ABCD的面积=2?△ABC的面积=2×故答案为50

+72．

11．解：∵两直线平行 ∴两直线的k值相同 ∴m=2 ∴m+2=4．

12．解：∵当n≥2时，有a1+a2+…+an﹣1+an=n3，a1+a2+…+an﹣1=（n﹣1）3，两式相减，得an=3n2﹣3n+1， ∴

=

=（

﹣），

∴++…+，

﹣

），

=（1﹣）+（﹣）+…+（=（1﹣=

．

． ），

故答案为：

13．解：画出树状图如下：

当x=﹣1时，y=﹣1﹣2=﹣3，

当x=1时，y=1﹣2=﹣1，点（1，﹣1）在函数图象上， 当x=2时，y=2﹣2=0，

当x=3时，y=3﹣2=1，点（3，1）在函数图象上，

所以，共有12个点的坐标，其中在一次函数y=x﹣2图象上的有2个， P（在一次函数y=x﹣2图象上）=故答案为：． 14．解：

=，

∵解不等式①得：x≥﹣4，

又∵不等式组的所有整数解得和为﹣9，

∴﹣4+（﹣3）+（﹣2）=﹣9或（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1=﹣9， ∴﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2，

故答案为：﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2． 15．解：作DM⊥AB与M， ∴∠AMD=90°．

∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC=CD=2cm． ∵∠A=60°， ∴∠ADM=30°．

∴AM=AD=1cm．

在Rt△AMD中，由勾股定理，得 DM=

cm．

．

∴线段EF的最小值为故答案为：

．

16．解：延长CF交AD于M，连接AF，以C为圆心OA为半径作⊙C．

∵CD=CA，CF平分∠ACD， ∴CM⊥AD，DM=AM， ∴FD=FA，

∵∠ADB=∠ACB=45°， ∴∠FDA=∠FAD=45°， ∴∠AFD=∠AFB=∠ACB=90°， ∴A、F、C、B四点共圆， ∵tan∠DBC==

，设CH=3k，则BC=4k，BH=5k，AB=4

k，

k，

∴AH=AC﹣CH=k，FHk，AF=k，AD=∵△FHC∽△AHB， ∴

=

=， k，

∴CF=

∴CM=CF+FM=∵S△ACD=8， ∴×∴k=∴AM=

k×，

，

k，

k=8，

∵∠AMC=∠E=90°，AC=BC，∠ACM=∠CBE， ∴△AMC≌△CEB， ∴CE=AM=故答案为

． ．

，解得x=

（舍去）；

17．解：分段讨论知（1）

（2），解得x=﹣；

（3），解得x=（舍去）；

（4）∴（﹣）+故答案为：

=．

．

，解得x=．

18．解：因为实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b﹣1=0， （1）当a=b=1+

或1﹣

时，原式=

=2

﹣2或﹣2

﹣2；

（2）当a≠b时，可以把a，b看作是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根． 由根与系数的关系，得a+b=2，ab=﹣1． 则原式=﹣2． 故填空答案：﹣2或2

﹣2或﹣2

﹣2．

三．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分） 19．解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°， ∴∠B=62°，

∵BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC=59°， ∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°； （2）①由勾股定理得，AB=∴AD=

﹣a，

=

﹣a，

=

，

解方程x2+2ax﹣b2=0得，x=

∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根； ②∵AD=AE， ∴AE=EC=，

由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2， 整理得，=．

20．解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1）， ∴m=﹣1，

∴直线l的解析式为y=x﹣1，

∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n）， ∴n=×4﹣1=2，

∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1）， ∴

，

解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；

（2）令y=0，则x﹣1=0， 解得x=，

∴点A的坐标为（，0）， ∴OA=，

在Rt△OAB中，OB=1， ∴AB=∵DE∥y轴， ∴∠ABO=∠DEF，

在矩形DFEG中，EF=DE?cos∠DEF=DE?DF=DE?sin∠DEF=DE?

=DE，

DE，

=DE，

=

=，

∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=

∵点D的横坐标为t（0＜t＜4）， ∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1）， ∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t， ∴p=

×（﹣t2+2t）=﹣t2+

t，

∵p=﹣（t﹣2）2+

，且﹣＜0，

；

∴当t=2时，p有最大值

（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°， ∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，

①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1， ∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1， 解得x=，

②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，

∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+， 解得x=﹣

，

．

综上所述，点A1的横坐标为或﹣

21．解：分式方程去分母得：（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2=2x+a， 整理得：x2﹣1﹣x2+4x﹣4=2x+a， 解得：x=

，

＜0，

根据题意得：解得：a＜﹣5，

再将x=2代入方程得：a=﹣1；将x=﹣1代入得：a=﹣7， 则a的取值范围为a＜﹣5且a≠﹣7． 22．（1）证明：连接BE， ∵点P是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD． 又∵FG切⊙O于E， ∴∠BEF=∠BAD． 又∵∠DBE=∠CAD， ∴∠BEF=∠DBE． ∴BC∥FG．

（2）解：连接BP， 则∠ABP=∠CBP．

∵∠BPE=∠BAP+∠ABP=∠PBC+∠EBD， ∴∠BPE=∠PBE． ∴BE=PE．

在△ABE和△BDE中，

∠BAE=∠EBD，∠BED=∠AEB， ∴△ABE∽△BDE．

∴=．

∴BE2=AE?DE． ∴PE2=AE?DE．

（3）解：∵FE2=FB?FA=FB（FB+AB）， 而FE=AB，

∴AB2=3（3+AB）． 设AB=x，则x2﹣3x﹣9=0， 解之得x=∴AB=

． （取正值）．

由（1）在△AFG中，BC∥FG， ∴∴AC=

． =

×=1+．

．

∴AG=AC+CG=3+

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4n7h.html