2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B= ． 2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）?z为纯虚数，则a的值为 ．

3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为 ．

4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为 ．

5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ．

6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的值为 ．

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的右焦点重合，则实数p

7．（5分）设函数y=ex范围是 ．

﹣a的值域为A，若A?[0，+∞），则实数a的取值

8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为 ． 9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是 ．

10．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为 ．

11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=

若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 ． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足

=3

）上存在一点P，圆

，

，则实数k的最小值为 ．

13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则

的最大值为 ．

14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为 ．

二、解答题（共6小题，满分90分）

15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．

（1）求证：BN∥平面A1MC；

（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．

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16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=（1）若C=2B，求cosB的值； （2）若

=

，求cos（B

）的值．

．

17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧BC，AD相切于点M，N．

（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；

（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

，

分别与边

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）

的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（的坐标为（

）．

）处时，点Q

（1）求椭圆C的标准方程；

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（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且线BM的方程．

=2时，求直

19．（16分）设数列{an}满足aλ为常数．

=an+1an﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，

（1）若{an}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；

（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m?an≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；

（3）若λ≠0，且数列{an}不是常数列，如果存在正整数T，使得an+T=an对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{an}中T的最小值． 20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+

（a，b，c∈R）．

（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b的值；

（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；

（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．

[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图

21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．

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[选修4-2：矩阵与变换] 22．（10分）已知矩阵M=程．

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．

25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4． （1）求直线AP与BM所成角的余弦值；

（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．

）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．

，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方

26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+…+nCnn﹣1Cnn． （1）求f（1），f（2），f（3）的值；

（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．

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令x=0，得点B的坐标为（0，﹣所以椭圆的方程为

+

=1．

）．

将点N的坐标（，）代入，得+

=1，解得a2=4．

所以椭圆C的标准方程为+=1．

．

（2）：设直线BM的斜率为k（k＞0），则直线BM的方程为y=x﹣在y=kx﹣

中，令y=0，得xP=

，

． =2k．

而点Q是线段OP的中点，所以xQ=所以直线BN的斜率kBN=kBQ=

联立

，消去y，得（3+4k2）x2﹣8

kx=0，解得xM=．

用2k代k，得xN=又

=2

，

．

所以xN=2（xM﹣xN），得2xM=3xN， 故2×=

=3×

，又k＞0，解得k=x﹣

．

所以直线BM的方程为y=

19．（16分）设数列{an}满足aλ为常数．

=an+1an﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，

（1）若{an}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；

（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m?an≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；

第16页（共24页）

（3）若λ≠0，且数列{an}不是常数列，如果存在正整数T，使得an+T=an对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{an}中T的最小值． 【解答】解：（1）由题意，可得a

=（an+d）（an﹣d）+λd2，

化简得（λ﹣1）d2=0，又d≠0，所以λ=1． （2）将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件， 可得4=1×4+λ，解得λ=0， 所以a

=an+1an﹣1，所以数列{an}是首项为1，公比q=2的等比数列，

﹣

所以an=2n1． 欲存在r∈[3，7]，

使得m?2n﹣1≥n﹣r，即r≥n﹣m?2n﹣1对任意n∈N*都成立， 则7≥n﹣m?2n﹣1，所以m≥令bn=

，则bn+1﹣bn=

﹣

对任意n∈N*都成立．

=

，

所以当n＞8时，bn+1＜bn；当n=8时，b9=b8；当n＜8时，bn+1＞bn． 所以bn的最大值为b9=b8=

，所以m的最小值为

；

（3）因为数列{an}不是常数列，所以T≥2， ①若T=2，则an+2=an恒成立，从而a3=a1，a4=a2， 所以

，

所以λ（a2﹣a1）2=0，又λ≠0，所以a2=a1，可得{an}是常数列，矛盾． 所以T=2不合题意．

②若T=3，取an=

由a22=a1a3+λ（a2﹣a1）2，得λ=7． 则条件式变为an2=an+1an﹣1+7．

（*），满足an+3=an恒成立．

由22=1×（﹣3）+7，知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ（a2﹣a1）2； 由（﹣3）2=2×1+7，知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ（a2﹣a1）2； 由12=2×（﹣3）+7，知a3k+12=a3ka3k+2+λ（a2﹣a1）2；

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所以，数列（*）适合题意． 所以T的最小值为3．

20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+

（a，b，c∈R）．

（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b的值；

（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；

（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．

【解答】解：（1）由f（x）=lnx，得f（1）=0，又f′（x）=，所以f′（1）=1， 当c=0时，g（x）=ax+，所以g′（x）=a﹣所以g′（1）=a﹣b，

因为函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线， 所以

解得a=，b=﹣；

（2）当x0＞1时，则f（x0）＞0，又b=3﹣a，设t=f（x0）， 则题意可转化为方程ax+

﹣c=t（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．

，即

，

，

即关于x的方程ax2﹣（c+t）x+（3﹣a）=0（t＞0） 在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．

所以，得，

所以c＞2﹣t对t∈（0，+∞），a∈（0，3）恒成立．

≥2?

=3（当且仅当a=时取等号），

因为0＜a＜3，所以2

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又﹣t＜0，所以2故c的最小值为3．

﹣t的取值范围是（﹣∞，3），所以c≥3．

（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，

所以

，两式相减，得b=x1x2（1﹣

），

要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1， 即证x1x2﹣x2＜x1x2（1﹣

）＜x1x2﹣x1，

即证＜＜，

即证1﹣＜ln＜﹣1

令=t，则t＞1，此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1．

=

＞0，

令φ（t）=lnt+﹣1，所以φ′（t）=﹣所以当t＞1时，函数φ（t）单调递增．

又φ（1）=0，所以φ（t）=lnt+﹣1＞0，即1﹣＜lnt成立； 再令m（t）=lnt﹣t+1，所以m′（t）=﹣1=所以当t＞1时，函数m（t）单调递减，

又m（1）=0，所以m（t）=lnt﹣t+1＜0，即lnt＜t﹣1也成立． 综上所述，实数x1，x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．

[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图

21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．

＜0，

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【解答】解：如图，连接AE，OE，

因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，

又因为AD⊥DE于D，所以AD∥OE，所以∠DAE=∠OEA，① 在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②…（5分） 由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE， 又∠ADE=∠AFE，AE=AE，

所以△ADE≌△AFE，所以DE=FE， 又DE=4，所以FE=4，

即E到直径AB的距离为4．…（10分）

[选修4-2：矩阵与变换] 22．（10分）已知矩阵M=程．

【解答】解：设P（x0，y0）是圆x2+y2=1上任意一点， 则

=1，

，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方

设点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y）， 则

=

，

即，解得，…（5分）

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代入=1，得=1，

=1．…（10分）

∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+【解答】解：直线ρcos（θ+

）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．

，

）=1，转化为：

曲线ρ=r（r＞0）转化为：x2+y2=r2， 由于直线和圆相切， 则：圆心到直线的距离d=所以r=1．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值． 【解答】解：由柯西不等式，得[x2+（

2

．

）2][12+（）2]≥（x?1+

）

，

≥（x+y）2．

，所以﹣

，…（5分）

即

而x2+3y2=1，所以（x+y）2

由，得，所以当且仅当x=，y=

时，（x+y）max=．

所以当x+y取最大值时x值为

．…（10分）

25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4． （1）求直线AP与BM所成角的余弦值；

（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．

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【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD， 以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．

则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）． =（﹣2，0，4），cos＜

，

＞=

=（01，﹣1，2），

=

=

． ．…（5分）

故直线AP与BM所成角的余弦值为（2）

=（﹣2，1，0），

=（﹣1，﹣1，2）．

设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z）， 则

，令x=2，得=（2，4，3）．

=（0，1，0）， =

=

．

．…（10分）

又平面PAC的一个法向量为∴cos＜

＞=

故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为

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26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+…+nCnn﹣1Cnn． （1）求f（1），f（2），f（3）的值；

（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想． 【解答】解：（1）由条件，nf（n）=C在①中令n=1，得f（1）=1．

在①中令n=2，得2f（2）=6，得f（2）=3． 在①中令n=3，得3f（3）=30，故f（3）=10． （2）猜想f（n）=

．

=

?

+2

?

+…+n

?

成立．

C

C

C

①，

要证猜想成立，只要证等式n由（1+x）n=

+

x+

x2+…+

xn①，

+2

x+3

+x2+nx+

xn﹣1②， x2+…+

xn ）?

两边同时对x求导数，可得n（1+x）n﹣1=

把等式①和②相乘，可得n（1+x）2n﹣1=（（

+2

x+3

x2+n

xn1 ） ③．

﹣

等式左边?=

?++2?2?

xn的系数为++3

?3?

+…+n+…+n

?

n?n

，等式右边

xn的系数为

=CC

CC

C

C

C．

，

根据等式③恒成立，可得n

=C

第23页（共24页）

故f（n）=

成立．

第24页（共24页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4n78.html