新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验数学理试题 含答案 精品

2018年高三年级第三次诊断性测验

理科数学（问卷） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合A?{x|?2?x?1}，B?{x|0?x?2}，集合AB?（ ）

A．{x|?1?x?1} B．{x|?2?x?1} C．{x|?2?x?2} D．{x|0?x?1} 2.i为虚数单位，则复数

1?2i?（ ） 2?iA．1 B．?1 C．i D．?i

x3.设p：0?x?1，q：2?1，则p是q的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.某几何体的三视图如图所示，俯视图右侧是半圆，则该几何体的体积为（ ）

A．

4?2?4??2?2?2?? B． C． D． 33335.若

cos2?2，则sin2?的值为（ ） ???2?cos????4??A．

3333 B． C．? D．? 48846.执行如图所示的程序框图，若输出的S值是?4，则输入的S0为（ ）

A．2 B．8 C．26 D．58

7.已知f(x)是R上的偶函数，且在[0,??)上单调递减，则不等式f(lnx)?f(1)的解集为（ ）

A．(e?1,1) B．(e?1,e) C．(0,1)(e,??) D．(0,e?1)(1,??)

8.将函数f(x)?cos(2x??)???????2??的图象向左平移

?个单位长度后，所得图象关于y轴6对称，则函数f(x)在?????,?上的最小值为（ ） 122??A．?1133 B．? C． D．

22229.已知数列?an?，?bn?满足a1?b1?1，an?1?an?项和为（ ） A．

bn?1?2，n?N*，则数列ban的前10bn??49411(4?1) B．(410?1) C．(49?1) D．(410?1)c 333310.圆锥底面半径为5，高为2，SA是一条母线，P点是底面圆周上一点，则P点到SA所在直线的距离的最大值是（ ） A．

2545 B． C．3 D．4 3311.椭圆的离心率为

2F为椭圆的一个焦点，，若椭圆上存在一点与F关于直线y?x?4对2称，则椭圆方程为（ ）

x2y2x2y2??1 B．??1 A．

189918x2y2x2y2x2y2x2y2??1或??1 D．??1或??1 C．

1899188448ex?kx2有极大值，则实数k的取值范围是（ ） 12.若函数f(x)?xA．? B．?0,??? C．???,0? D．???,0?第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

?0,???

?2x?y?4?13.设x，y满足?x?y??1，则z?x?y的取值范围为 ．

?x?2y?2?14.已知向量m，n夹角为60，且m?1，2m?n?10，则n? ． 15.双曲线的渐近线经过点(1,2)，双曲线经过点(22,4)，则双曲线的离心率为 ． 16.设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1?2?1，

S?Sn?21，则?n?1an?12n?1Sn? ．

三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在?ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC?(c?3b)cosA?0. （1）求tanA的值；

（2）若?ABC的面积为2，且b?c?2，求a的值.

18.如图，四棱锥P?ABCD，底面ABCD是正方形，PA?PD?AB?1，PB?PC?2，

E，F分别是PB，PC的中点.

（1）求证AB?EF；

（2）求二面角B?EF?C的余弦值.

19.小明和他的一些同学住在同一小区，他们上学、放学坐公交在路上所用的时间X（分钟）只与路况畅通情况有关（上学、放学时的路况是一样的），小明在一年当中随机地记录了200次上学（或放学）在路上所用的时间，其频数统计如下表

X（分钟） 频数（次） 15 50 20 50 25 60 30 40 （1）求他上学（或放学）在路上所用时间的数学期望E(X)；

（2）小明和他的另外两名同学4月23日彼此独立地从小区到学校去，设他们3人中所用时间不超过E(X)的人数为Y，求Y的分布列及数学期望；

（3）小明在某天上学和放学总共所花的时间不超过40分钟的概率是多少？

20.抛物线C：y2?2px(p?0)的焦点是F，直线y?2与C的交点到F的距离等于2. （1）求抛物线C的方程；

（2）M是圆x2?y2?6x?1?0上的一点，过点M作FM的垂线交C于A，B两点，求证MF2?MA?MB.

21.设函数h(x)?xlnx，f(x)?h(x?a)?h(x)，其中a为非零实数.

x?a（1）当a?1时，求f(x)的极值；

（2）是否存在a使得f(x)?a恒成立？若存在，求a的取值范围，若不存在请说明理由. 选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??x?t（t为参数），以O为极点，x轴

?y?1?2t??非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??22sin???（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线???与曲线C交于O，P两点，直线???????. 4??与曲线C交于O，Q两点，

2且直线PQ与l垂直，求直线PQ与l的交点坐标. 23.[选修4-5：不等式选讲]

设函数f(x)?x?1?a?x?a. （1）当a?0时，解不等式f(x)?0；

（2）若对任意a?[0,1]，关于x的不等式f(x)?b有解，求实数b的取值范围.

2018年高三年级学业水平学科能力第三次诊断测试

理科数学答案

一、选择题

1-5: CCABA 6-10: CBBDC 11、12：CC 二、填空题

13. ?2,??? 14. 7?1 15. 5 16. n2?1?1 三、解答题

17.（1）∵acosC?(c?3b)cosA?0，∴sinAcosC?(sinC?3sinB)cosA?0， 即sinAcosC?sinCcosA?3sinBcosA?cosA?1，∴tanA?22； 3（2）S?1122?2?bc?3， bcsinA?bc?223242a2?b2?c2?2bccosA??b?c??2bc?bc?4??3?8?a?22.

3318.（1）取PC中点M，连结EM，FM，∵ABCD是正方形，∴AB?AD， 又∵PA?AB?1，PB?2，∴AB?PA，∴AB?面PAD，∴AB?PD，

又∵E，F，M都是中点，∴EM//BC，MF//PD，∴AB?面EMF， ∴AB?EF；

（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得B?1,???1??1??11?,0?，C?1,,0?，F?,,0?，2??2??22??113??33??1??1?E?,?,EF?0,,?，则，，BF??,1,0CF??,0,0??????， ?244????4422?????????1?x1?y1?0??n?BF?0?1?2设平面BEF的法向量为n1?(x1,y1,z1)，则?，即?，

??3y?3z?0?n1?EF?011??44令y1?1，则x1?2，z1?3，得n1?2,1,3， 同理得平面CEF的法向量为n2?0,1,3， ∴cos?n1,n2??????n1?n2n1n2?22，所以他的余弦值是. 2219.（1）将频率视作概率得到随机变量X的分布列如下：

X 15 20 25 30 11 441131?30??22.25； 则E(X)?15??20??25?44105P （2）小明以及同学每人所用时间不超过E(X)?22.25的概率为

3 101 5111??，依题意442yy P ?1?k?1?B?3,?，因此y的分布列为：P?y?k??C3???2??2?0 1 3?k?1?1k???8C3?k?0,1,2,3?， ?2?2 k3 1 83 83 81 8E?y??3?13?； 22（3）小明在一天中上学，放学所花的时间总不超过40分钟为事件A，包括以下情况：上学，放学都是15分钟；上学，放学都是20分钟；上学15分钟，放学20分钟，上学20分钟，放学15分钟，上学15分钟，放学25分钟，上学25分钟，放学15分钟，共六种情况，

13211?1??1??. ∴P?A????????2???2??41054444????20.（1）由PF?2知P到准线的距离也是2，∴P点横坐标是2?将P?2?22p， 2??p?,2?代入y2?2px，得p?2，∴抛物线C的方程为y2?4x； 2?（2）可设直线AB：x?ky?b(b?1,k?0)，则MF的方程为y??k?x?1?，

?k2?bk?kb?2222联立得M?2,2?，代入x?y?6x?1?0中，整理得b?4k?6b?1，

?k?1k?1??y2?4x222联立?得y?4ky?4b?0，??16k?16b?4?b?1??0，

?x?ky?b2?y12??y2?设A?,y1?，B?,y2?则y1?y2?4k，y1y2??4b，

?4??4?则kFA?kFB??4by1y2y1y2???1， ?222222b?4k?2b?1?y1??y2??y1y2??y1?y2?yy??12?1??1???1?1642?4??4?2∴FA?FB，∴MF?MA?MB.

21.（1）∵f?x??ln?x?a??∴f'?x??xalnx?ln?x?a??1?lnx， x?ax?a1aa1a?lnx?1???lnx， 22x?a?x?a?x?ax?x?a?lnx当a?1时，f'?x????x?1?2?0?0?x?1，f'?x??0?x?1，

∴f(x)有极大值f(1)?ln2，无极小值；

（2）当a?0时，f'?x??0?0?x?1，f'?x??0?x?1， ∴f?x??f?1??ln?1?a?，

设u?a??ln?1?a??a?a?0?，则u'?a??∴u?a??u?0??0，故f(x)?a恒成立， 当a?0时，f(x)?ln?1?1a?1???0， 1?a1?a??a?alnx?x??a?， ??x?x?aaaalnxax?aa?a?a??lnx?由于ln?1????1??e2?x?a，，?*? x?a22x?x?2e2?1设v?x??lnx?xe?x，则v'?x??， eexv'?x??0?0?x?e，v'?x??0?x?e，

∴v?x??v?e??0，即lnx?则只需

x， exx?a?，??*?成立， e2xx?a?ea?eaalnxa?x??， 而?，∴x?时，

e2e?2e?2x?a2?a?ea???,故取x0?max?a?，显然x0??a， e?2???e2?1?由上知当x?x0时，ln?1???a?aalnxa??，x?a?2，∴f?x??a， x?2综上可知，当a?0时，f(x)?a恒成立.

22.（1）直线l：y?2x?1，曲线C：x2?y2?2x?2y?0；

（2）由题意OP?OQ，则PQ是圆C的直径，∴直线PQ经过圆心C?1,1?， ∴直线PQ的方程是y?1??1?x?1?，即x?2y?3?0， 2联立??x?2y?3?0?17?得交点M?,?.

?55??y?2x?12223.（1）当a?0时，f(x)?x?1?x?0，?x?1??x，x?1， 2∴解集为???1?,???； ?2?（2）∵f(x)?b，b?f?x?max， 而f?x??x?1?a?x?a当x??????1?a?a，

a时取等号，故f?x?max?1?a?a，

∴b?1?a?a对a?[0,1]恒成立，

设h?a??1?a?a?1?2a?1?a?，当a?0或1时，a?1?a?min?0， ∴h?a?min?1，∴b?1.

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