第10章 作业答案（最新修改）

第10章 振动与波

10-13 一简谐振动的运动方程为，求圆频率?、频率?、周期T、振幅A和初相位?。 分析：可采用比较法求解。将题给运动方程与简谐运动方程的一般式x?Acos(?t??)作比较，即可求得各量。

解：将

x?0.02cos(8?t?)与x?Acos(?t??)比较，可得

4?A?0.02m，??8?rad/s，?? T??4

2???2?111?s，????4Hz 8?4T1410-14 一边长为a的正方形木块浮于静水中，其浸入水中部分的高度为a/2，用手轻轻地把木块下压，使之浸入水中的部分高度为a，然后放手，试证明，如不计水的粘滞阻力，木块将作简谐振动，并求其振动的周期和频率。

分析：要证明木块作简谐运动，需要分析木块在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F与位移x间的关系，如果满足F??kx，则木块作简谐运动。通过F??kx即可求得振动周期T?2?k。 11??2?mk和频率??T?2?m2证：木块处于平衡状态时，mg?F浮力?mg??gaa?0。当木块上下作微小振2动时，取木块处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x轴正向。则当木 块向下偏移x位移时，

则木块所受合外力为

ad?d2x?F?mg??ga(x?2)?mdt?mdt2

211d2x3232??ga??gax??ga???gax?m2 22dt式中令??2?ga2m是一常数。

可得木块运动的微分方程为

d2x??2x?0 2dt这表明木块在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动。

由于??2?ga2m（m?13?a），可得其振动周期和频率分别为 2T?2???2?1a，??1?T2?2g2g a10-15 已知简谐振动图线如图所示，求谐振动方程及速度表达式。 解 由振动图线知：A?0.02m

当t?0时，x0??0.01m；当t?2s时，x?0。 将t?0，x0??0.01m代入x?Acos(?t??)，得：

?0.01?0.02cos?，即

cos???0.5，则???2? 3又t?0时，u0??A?sin?，由图知u0?0，要求

sin??0

所以：???2? 32?) 3(?2?将t?2s,x?0代入x?Acos(?t??)，得 0?0.02cos?即：cos(2??2?2??)?0， 则2???? 33222??)?0，则sin(2??)?0 33又因u???Asin(2??故：2??2?????，所以：??(rad/s) 3212谐振动方程为：x?0.02cos(?12t?2?)(m) 32?)(m/s) 3速度表达式为：u??0.005sin(?1210-16 简谐振动的角频率为10rad/s，开始时在位移为7.5cm，速度为0.75m/s，速度方

分析 在角频率?已知的条件下，确定振幅A和初相?是求解简谐运动方程的关

t?向与位移(1)一致；(2)相反。分别求这两种情况下的振动方程。

键。

?1解 由题意知，??10rads。当t?0时，x0?7.5cm，u0?75 cm/s。

振幅：

2A?x0?(u0?)2?(7.5)2?(752)?10.6(cm) 10初相：

??arctan(?u0?75?)?arctan()?? ?x010?7.54(1) 速度方向与位移一致时

u0??A?sin??0

得到初相：????4

振动方程为：x?10.6cos(10t??4)(cm)

(2) 速度方向与位移相反时：u0??A?sin??0 得到初相：???4

振动方程为：x?10.6cos(10t??4)(cm)

10-17 一质量m?0.02kg的小球作简谐振动，速度的最大值umax?0.030m/s，振幅A=0.020m，当t?0时，u=0.030m/s。试求：

（1） 振动的周期； （2） 谐振动方程；

（3）t=0.5s时，物体受力的大小和方向。 解：(1)根据速度的最大值公式umax??A，得

??则周期：T?umax0.03??1.5(rad)

sA0.022???2??4.2(s) 1.5（2）由t?0时，u0?0.03???Asin???0.03sin? sin???1，故 ????2

谐振动方程为：x?0.02cos(1.5t??2)（m）

2(3)将t?0.5s代入加速度公式a???Acos(?t??)，得

?3a??(1.5)2?0.02cos(1.5?0.5?)??0.045sin(m2)

24s物体受力的大小为：F?ma?0.02?(?0.045)sin方向与位移相反。

10-18 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A?2?10m，周期T=0.50s．当t=0时， （1）物体在正方向端点；

（2）物体在平衡位置，向负方向运动；

（3）物体在x?1.0?10m处，向负方向运动；

（4）物体在x??1.0?10m向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。

?2?2?233??9?10?4sin(N) 44分析：在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相?是求解简谐运动方程的关键。初相的确定通常有两种方法。（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即时

t?0时，x?x0和v?v0来确定?值。（2）旋转矢量法：将质点P在Ox轴上振动的

初始位置x0和速度?0的方向与旋转矢量图相对应来确定?。旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用。

解：由题给条件知A?2.0?10m,??2??2?4?rad，而初相?可采用分析

Ts中的两种不同方法来求。

解析法：根据简谐运动方程x?Acos(?t??)，当t?0时有x0?Acos?，

u0??A?sin?。当

(1) x0?A时，cos?1?1，则?1?0； (2) x0?0时，cos?2?0，则?2??取?2??2，因u0??A?sin??0，sin??0，

?2；

s3?(3) x0?1.0?10?2m时，co?1?，则?3??，由u0??A?sin，??023sin??0，取?3??3；

(4) x0??1.0?10?2m时，cos?4??12?，则?4??，由u0??A?sin??0， 23sin??0，取?4??2?。 3旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，它们所对应的初相分别

为?1?0，?2??2，?3??3，?4??2?。 3振幅A、角频率?、初相?均确定后，则各相应状态下的运动方程为 (1)x?(2.0?10)cos4?t(m) (2)x?2.0?10cos(4?t??)(m)

?2?22(3) x?2.0?10cos(4?t??)(m)

?23(4) x?2.0?10cos(4?t??22?)(m) 310-19 简谐振动方程为x?0.02cos(间?

??AAt?)(m)，求物体由-运动到所用最少时

2224解 由????t得： 物体由-

AA运动到所用最少时间为 ： 22?3??2?t 2(s) 3即?t?10-20 试证明：（1）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对时间的平均值都等于

kA24

2（2）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对位置的平均值分别等于kA证 （1）因为简谐运动的动能和势能分别为

3和kA26。

EK?12kAsin2(?t??) 2EP?12kAcos2(?t??) 2所以在一个周期中，动能与势能对时间的平均值分别为

11EK??kA2sin2(?t??)dt?kA24

T0211EP??kA2cos2(?t??)dt?kA24

T02（2）因简谐运动的势能EP?TT12kx，则势能在一个周期中对位置的平均值为 2

11212EP?kxdx?kA

2A??A26所以动能在一个周期中对位置的平均值为

A1Ek?E?Ep?E?Ep?kA2

310-21 一物体同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为

πx1=4cos(2t+)(cm),6

5x2=3cos(2t-π)(cm)6试求合振动的振幅和初相。 解 因为????2??1??? 故合振动振幅为

A?合振动初相位为

2A12?A2?2A1A2cos(??)?1(cm)

??arctan[(A1sin?1?A2sin?2)/(A1cos?1?A2cos?2)]

??610-22两个同方向的谐振动方程分别为x1=0.12cos(πt+)(m)和

π3πx2=0.15cos(πt+)(m)。求合振动的振动方程。

6解 因为????2??1??故合振动振幅为：合振动初相位为：

?6

2A?A12?A2?2A1A2cos(?)?0.261(m)

6???arctg[(A1sin?1?A2sin?2)/(A1cos?1?A2cos?2)]?0.755(rad)合振动的振动方程为：x

?0.261cos(?t?0.755)(m)

10-23 一平面简谐波的波动方程为y?0.25cos(125t?0.37x)(SI)，求它的振幅、角频率、频率、周期、波速与波长．

分析 采用比较法。将题给的波动方程改写成波动方程的余弦函数形式，比较可得振幅A、角频率?、波速u，从而求出频率、周期与波长。

解 将题给的波动方程改写为y?0.25cos125(t?x)与平面简谐波的波动方程338xy?Acos?(t?)比较后可得振幅A?0.25m，角频率??125rad，波速

s???338ms，故有

???1252?2???19.9HZ，T???5.02?10?2s，

?1252?2????T?338?5.02?10?2?16.9m

10-24 已知平面简谐波的表达式y?0.2cos2?(t?0.25x)(m)，求： (1) x=0处振动的初相及x=4m，t=2s时的相位； (2) x1=0处与x2=2m处的相位差。

解 (1)将题给方程写成波动方程的一般形式y?Acos[?(t?)??]，得

x?xy?0.20cos2?(t?)

4当x?0时，有y?0.20cos2?t，与波动方程的一般式比较，得

??0

将x?4s，t?2s代入相位2?(t?)中，得此时的相位为

x4x42?(t?)?2?(2?)?2?

44(2) x1=0处与x2=2m处的相位差为

???2?(t?x2x4?)?2?(t?1)?2?t?2?t???? 44410-25 平面简谐波的振幅为5.0cm，频率为100HZ，波速为400m/s，沿X轴正方向传播，以波源 (设在坐标原点O)处的质点在乎衡位置且正向y轴正方向运动时作为计时起点．求：

(1)波源的振动方程； (2)波动方程。

解 (1)在已知振幅、频率、波速和初始条件的情况下，可以确定角频率?和初相?的值。

即：??2???2??100?200?(rads)

又根据初始条件：t?0时，0?y0?Acos?，u0?0，得

???波源的振动方程为：y?0.05cos(200?t?(2) 简谐波的波动方程为

?2

?2)(m)

xx?Y?Acos[?(t?)??]?0.05cos[200?(t?)?]?4002

?x??0.05cos(200?t??)(m)2210-26 一平面简谐波沿x轴正向传播，波速?=5m/s．波源位于y轴原点处，波源的振动

曲线如图中所示。求：

(1)波源的振动方程； (2)波动方程．

解 (1)由题给条件A?0.02m,T?4s，

?=5m/s，可得

??2?2????(rad/s) T42当t?0时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该质点的初相为????2。波源位于y轴原点处，则波源的振动方程为

y?0.02cos(t?)(m)

22(2)将已知量代入简谐波的波动方程的一般形式Y?Acos[?(t?)??]，得

??x??x?Y?0.02cos[(t?)?](m)

25210-27 为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W的功率。若波源发出的是球面波(设介质不吸收波的能量)。求距离波源5.0m和10.0m处的能流密度。

分析 波的传播伴随着能量的传播。由于波源在单位时间内提供的能量恒定，且介质不吸收能量，故对于球面波而言，单位时间内通过任意半径的球面的能量(即平均能流)相同，都等于波源消耗的功率P。而在同一个球面上各处的能流密度相同，因此，可求出不同位置的能流密度I?P 解 由分析可知，半径r处的能流密度为

S。

I?当r1?5.0m、r2?10.0m时，分别有

P 4?r2I1?I2?P?2?2 ?1.27?10W?m24?r1P?3?2 ?3.18?10W.m24?r2?1?310-28 一平面简谐波的频率为500Hz，在密度??1.3kg?m空气中以??340m?s?6的速度传播，达到人耳时振幅约为A?1.0?10m。试求波在耳中的平均能量密度和声强。

解 波在耳中的平均能量密度

??1?A2?2?2?2?A2v2 2?6.42?10?6J.m?2

声强就是声波的能流密度，即

I?u??2.18?10?3W.m?2

10-29 两相干波源S1和S2相距为5m,其振幅相同，频率都是100Hz，相位差为?，二波的传播速度为400m/s。试以S1S2连线为坐标轴x，以S1S2连线中点为原点，求S1S2间因干涉而静止的各点的坐标。

分析 在均匀介质中，两列波相遇时的相位差??，一般由它们的初相差?2??1和由它们的波程差而引起的相位差

2???r两部分组成，即???(?2??1)?2??r?。因此，

两列振幅相同的相干波因干涉而静止的各点的位置，可根据相消条件???(2k?1)?来确定。

解 以S1S2连线中点为原点，以S1、S2连线为坐标轴x。两波的波长均为

?????400100?4.m．0

在S1、S2两点的连线间，设任意一点P距原点为x。因r2?2.5?x，r1?2.5?x，则两列波在点P的相位差为

???(?2??1)?2?(r2?r1)??(x?1)?

根据分析中所述，干涉静止的点应满足方程

(x?1)??(2k?1)?

得 x?2k k?0,?1,?2,?

因?2.5?x?2.5，故?1?k?1。即在S1、S2之间的连线上共有3个静止点

m。 即：?2m,0,210-30 两相干波波源位于同一介质中的A、B两点，如图所示。其振幅相等、频率均为100HZ,B比A的相位超前π。若A、B相距30.0 m，波速为400 m/s，试求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。

分析 两列相干波相遇时的相位为???(?2??1)?2??r?。因此,两列振幅相同的相干

波因干涉而静止的点的位置，可根据相消条件???(2k?1)?获得。

解 以A、B两点的中点O为原点，取坐标如图10—30(b)所示。两波的波长均为???v?4.0m。在A、B连线上可分三个部分进行讨论。

2?(rB?rA)（1）位于点A左侧部分

?因该范围内两列波相位差恒为2?的整数倍，故干涉后质

点振动处处加强，没有静止的点。

习题10-30图 ???(?B??A)???14?

（2）位于点B右侧部分

???(?B??A)?2?(rB?rA)??16?

显然该范围内质点振动也都是加强，无干涉静止的点。

（3）在A、B两点的连线间，设任意一点P距原点为x。因rB?15?x，rA?15?x，则两列波在点p的相位差为

???(?B?rA)B??A)?2?(r??(x?1)?

根据分析中所述，干涉静止的点应满足方程

(x?1)??(2k?1)?

得 x?2k k?0，?1，?，2? 因?15?x?15，故?7?k?7，即x?0,?2m,4?,m6?,m8?,1m0?,12m,?14.m?故在A、B之间的连线上距A点共有1m,3m,…,29m(15个静止点) 。

m

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