高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2311 21

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【高频考点解读】

1.了解基本不等式的证明过程．

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

【热点题型】

题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值

例1、(1)已知x<54，求f(x)＝4x －2＋14x －5

的最大值； (2)已知x 为正实数且x2＋y22＝1，求x 1＋y2的最大值； (3)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1

的最大值．

(2)因为x>0，

所以x 1＋y2＝2x212＋y22≤2[x2＋12＋y22]2， 又x2＋(12＋y22)＝(x2＋y22)＋12＝32，

所以x 1＋y2≤2(12×32)＝324，

即(x 1＋y2)max ＝324.

(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t2＋1，

所以y ＝t t2＋1＋3＋t ＝t t2＋t ＋4

. 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；

当t>0，即x>1时，y ＝1t ＋4t ＋1，

因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，

所以y ＝1t ＋4t ＋1

≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．

【提分秘籍】

(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

【举一反三】

(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x 的值为( )

A.13

B.12

C.34

D.23

(2)若函数f(x)＝x ＋1x －2

(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4

答案 (1)B (2)C

题型二 通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值

例2、(1)已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________．

(2)已知x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．

答案 (1)18 (2)6

解析 (1)(常数代换法)

∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y)

＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋28y x ·2x y ＝18.

当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝2y 时等号成立，

∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.

(2)由已知得x ＝9－3y 1＋y

. 方法一 (消元法)

∵x>0，y>0，∴y<3，

∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y

＋3y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y

·3y ＋3－6＝6， 当且仅当121＋y

＝3y ＋3， 即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y)m in ＝6.

方法二 ∵x>0，y>0，

9－(x ＋3y)＝xy ＝13x·(3y)≤13·(x ＋3y 2)2，

当且仅当x ＝3y 时等号成立．

设x ＋3y ＝t>0，则t2＋12t －108≥0，

∴(t －6)(t ＋18)≥0，

又∵t>0，∴t≥6.

故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y)min ＝6.

【提分秘籍】

条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

【举一反三】

(1)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)

C ．(－2,4)

D ．(－4,2)

(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．

答案 (1)D (2)5

解析 (1)x ＋2y ＝(x ＋2y)(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋x

y ＋2≥8，

当且仅当4y x ＝x

y ，即x ＝2y 时等号成立．

由x ＋2y>m2＋2m 恒成立，

可知m2＋2m<8，即m2＋2m －8<0，解得－4<m<2.

(2)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋3

5x ＝1，

∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)(15y ＋3

5x )

＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋12

5＝5.

(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1

2时，等号成立)，

∴3x ＋4y 的最小值是5.

题型三 基本不等式与函数的综合应用

例3、(1)已知f(x)＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是(

) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1)

C ．(－1,22－1)

D ．(－22－1,22－1)

(2)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)

解析 (1)由f(x)>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，

解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，

即x ＝log32时，等号成立)，

∴k ＋1<22，即k<22－1.

(2)对任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax ＋11x ＋1

≥3恒成立，即知a≥－(x ＋8x )＋3. 设g(x)＝x ＋8x ，x ∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝173.

∵g(2)>g(3)，∴g(x)min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83，

∴a≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．

【提分秘籍】

(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max ，

a<f(x)恒成立?a<f(x)min ；

(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．

【举一反三】

已知函数f(x)＝x ＋p x －1

(p 为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．

答案 94

解析 由题意得x －1>0，f(x)＝x －1＋p x －1

＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.

题型四基本不等式的实际应用

例4、某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400 元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．

答案 10

【提分秘籍】

对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值．

【举一反三】

(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )

A ．60件

B ．80件

C ．100件

D ．120件

(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p ＋q 2%，若p>q>0，则提价多的方案是________．

答案 (1)B (2)乙

解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得

y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x

8＝20.

当且仅当800x ＝x 8(x>0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.

(2)设原价为1，则提价后的价格为

方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，

方案乙：(1＋p ＋q 2%)2，

因为1＋p%1＋q%≤1＋p%2＋1＋q%2＝1＋p ＋q 2%，

且p>q>0，所以1＋p%1＋q%<1＋p ＋q 2%， 即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋p ＋q 2%)2，

所以提价多的方案是乙．

【高考风向标】

1.【高考湖南，文7】若实数,a b 满足12ab a b

+=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、4

【答案】C 【解析】12121220022,22ab a b ab ab a b a b a b ab

+=∴=+≥?=∴≥，＞，＞，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为22，故选C.

2.【高考重庆，文14】设,0,5a b

a b ,则1++3a b 的最大值为________.

【答案】23

3.【高考福建，文5】若直线

1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

【答案】C

【解析】由已知得111a b +=，则11=()()a b a b a b +++2+b a a b

=+，因为0,0a b >>，所以+2b a b a a b a b ≥?，故4a b +≥，当=b a a b

，即2a b ==时取等号． 4．（·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a2－2ab ＋4b2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a

－4b ＋5c 的最小值为________．

【答案】－2

5．（·山东卷）若????ax2＋b x 6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________． 【答案】2 【解析】Tr ＋1＝Cr 6(ax2)6－r·???

?b x r ＝Cr 6a6－r·brx12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C36a6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab ＝1，所以a2＋b2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.

6．(·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )

A ．80元

B ．120元

C ．160元

D ．240元

【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b)×10＝80＋20(a ＋b)≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.

【答案】C

7．(·重庆卷)若log4(3a ＋4b)＝log2ab ，则a ＋b 的最小值是________．

【解析】由log4(3a ＋4b)＝log2ab 得3a ＋4b ＝ab ，

且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b ＝1，

∴a ＋b ＝(a ＋b)·????4a ＋3b ＝7＋???

?3a b ＋4b a ≥ 7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号．

【答案】7＋43

8．（·四川卷）已知F 为抛物线y2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB

→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是()

A ．2

B ．3 C.1728 D.10 【答案】B 【解析】由题意可知，F ????14，0.设A(y21，y1)，B(y22，y2)，∴OA →·OB →＝y1y2＋y21y22＝2， 解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.

当y21≠y 2时，AB 所在直线方程为y －y1＝y1－y2y21－y22(x －y21)＝1y1＋y2

(x －y21)， 令y ＝0，得x ＝－y1y2＝2，即直线AB 过定点C(2，0)．

于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y1|＋12×2|y2|＋12×14|y1|＝18(9|y1|＋

8|y2|)≥18×29|y1|×8|y2|＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y21＝y22时，取

y1＝2，y2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14

×2＝1728，而1728>3，故选B.

9．(高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的

最大值为()

A ．0 B.98 C ．2 D.94

【答案】C

10．（·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为()

A ．9 B.92 C ．3 D.3 22 【答案】

B 【解析】因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当3

－a ＝a ＋6，即a ＝－3

2时等号成立，故选B.

【高考押题】

1．下列不等式一定成立的是( )

A ．lg(x2＋1

4)>lgx(x>0)

B ．sinx ＋1

sinx ≥2(x≠kπ，k ∈Z)

C ．x2＋1≥2|x|(x ∈R)

D.1

x2＋1>1(x ∈R)

答案 C

解析 当x>0时，x2＋14≥2·x·1

2＝x ，

所以lg(x2＋1

4)≥lgx(x>0)，

故选项A 不正确；

运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，

而当x≠kπ，k ∈Z 时，sinx 的正负不定，

故选项B 不正确；

由基本不等式可知，选项C 正确；

当x ＝0时，有1

x2＋1＝1，故选项D 不正确．

2．若a>0，b>0，且ln(a ＋b)＝0，则1a ＋1

b 的最小值是(

) A.1

4B ．1C ．4D ．8

答案 C

解析 由a>0，b>0，ln(a ＋b)＝0得????? a ＋b ＝1，

a>0，b>0.

故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1

a ＋

b 22＝1

122＝4.

当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”． 3．已知x>0，y>0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( )

A.2

2B ．22C.2D ．2

答案 D

解析 ∵x>0，y>0，x ＋2y≥22xy ，

∴4xy －(x ＋2y)≤4xy －22xy ，

∴4≤4xy －22xy ，

即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，

∴2xy ≥2，∴xy≥2.

4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a<b)，其全程的平均时速为v ，则( )

A ．a<v<ab

B ．v ＝ab

C.ab<v<a ＋b 2D ．v ＝a ＋b

2

答案 A

5．设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0.则当z

xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为(

) A ．0B.98C ．2D.9

4

答案 C

解析 由题意知：z ＝x2－3xy ＋4y2，

则z xy ＝x2－3xy ＋4y2xy ＝x

y ＋4y

x －3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y2＝－2y2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.

6．若对于任意x>0，x x2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 a≥15 解析 x x2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x

， 因为x>0，所以x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，

则13＋x ＋1x

≤13＋2＝15，

即

x x2＋3x ＋1的最大值为15，故a≥15. 7．设x ，y ∈R ，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1x2＋4y2)的最小值为________．

答案 9

解析 (x2＋1y2)(1x2＋4y2)＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．

8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．

答案 20

9．(1)当x<32时，求函数y ＝x ＋82x －3

的最大值； (2)设0<x<2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值．

解 (1)y ＝x ＋82x －3＝－(3－2x 2＋83－2x

)＋32. 当x<32时，有3－2x>0，

∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x

＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．

于是y≤－4＋32＝－52. 故函数的最大值为－52.

(2)∵0<x<2，∴2－x>0，

∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x

≤2·x ＋2－x 2＝2，

当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，

∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值为 2.

10．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

高考模拟复习试卷试题模拟卷

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【考情解读】

1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．

【重点知识梳理】

1.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称

几何体

表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)

S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh

台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下

V ＝13(S 上＋S 下＋

S 上S 下)h

球

S ＝4πR2 V ＝43πR3

【高频考点突破】

题型一 几何体的表面积

例1、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A ．180

B ．200

C ．220

D ．240

【变式探究】四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是点A ，其三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的表面积为________．

题型二几何体的体积

例2、(1)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F －ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.

(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．

【变式探究】

如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a＝________.

题型三 球的表面积与体积

例3、已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．

【变式探究】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π B ．43π

C ．46π

D ．63π 题型四 多面体与球有关的切、接问题

例4、如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )

A.32π B ．3π C.23π D ．2π

【变式探究】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为

________．

【真题感悟】

1.【高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）

A ．83cm

B ．123cm

C ．3233cm

D ．4033cm

2.【高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52

π 3.【高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A ．3π

B ．4π

C ．24π+

D ．34π+

4、【高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )

（A ）1（B ）2

（C ）4（D ）8

5.【高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

1112

A ．822+

B ．1122+

C ．1422+

D ．15

6.【高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为

，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )

（A ）223π

（B ）423π

（）22π（）42π

7【高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22

8.【高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为3m .

9.【高考四川，文14】在三棱住ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B1C1的中点，则三棱锥P －A1MN 的体积是______.

10．（·安徽卷）一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )

图1-2

A.233

B.476 C ．6 D ．7

11．（·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )

图1-2

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

12．（·陕西卷）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是

( )

A ．4π

B ．3π

C ．2π

D ．π

13．（·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

A.81π4 B ．16π

C ．9π D.27π4

14．（·陕西卷）四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H.

图1-4

(1)求四面体ABCD 的体积；

(2)证明：四边形EFGH 是矩形．

15．（·天津卷） 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________． 16．（·新课标全国卷Ⅱ）已知正四棱锥O －ABCD 的体积为3 22，底面边长为3，则以O 为球

心，OA 为半径的球的表面积为________．

17．（·湖北卷）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．

(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)

18．（·新课标全国卷Ⅰ）已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．

【押题专练】

1.一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )

A.11π2

B.11π2＋6 C ．11π D.11π2＋33

2.已知正三棱锥P －ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )

A ．4π

B ．12π C.16π3 D.64π3

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