2013高中新课程数学(苏教版必修四)《2.2.2 向量的减法》

2013高三数学

双基达标 限时15分钟

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1．若OA＝a，OB＝b，则AB＝________. 答案 b－a

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2.AC可以写成：①AO＋OC；②AO－OC；③OA－OC；④OC－OA.其中正确的是________．

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解析 AO＋OC＝AC，故①正确；②错；③OA－OC＝CA错；④正确． 答案 ①④

3．下列等式：①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0 －a＝－a；④0 －(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0，其中一定成立的是________．

解析 因为减法不满足交换律，故②不一定成立．向量与其相反向量的和是零向量0，而不是数0，故⑤是不成立的．而①③④是成立的．

答案 ①③④

4

．如图所示，

确的所有序号)．

①a－b＋c ③a＋b＋c

②b－(a＋c) ④b－a＋c

则

＝____________.(写出正

→→→→

解析 DC＝DA＋AB＋BC＝－b＋a＋c. 答案 ①

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5．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；→→→→→→→→

②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有________．

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解析 AC－AD＝BC－BD＝DC.故②正确； →→→→→AC＋CD＝AD＝AB＋BD

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∴AC－BD＝AB－CD＝AB＋DC.故③正确． 答案 ②③

6．如图所示，D、E在线段BC上，且BD＝EC， →→→→

求证：AB＋AC＝AD＋AE. →→→

证明 ∵AB－AD＝DB，

→→→→→

AE－AC＝CE，D、E在线段BC上，且BD＝EC，∴DB与CE大小相等，方向相同，

→→→→→→∴DB＝CE.∴AB－AD＝AE－AC， →→→→即AB＋AC＝AD＋AE.

综合提高 限时30分钟

7．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，→

则OD＝________.

→→→→→→→→

解析 因为BA＝CD，BA＝OA－OB，CD＝OD－OC， →→→→→→→→所以OD－OC＝OA－OB，OD＝OA－OB＋OC. →

所以OD＝a－b＋c 答案 a－b＋c

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8．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是________．

→→→→→→→→→→

解析 由OA＋OC＝OB＋OD，即OA－OB＝OD－OC，∴BA＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．

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答案 平行四边形

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9．若|AB|＝5，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是________．

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解析 BC＝AC－AB，∴|BC|＝|AC－AB|，|AC|－|AB|≤|AC－AB|≤|AC|＋|AB|，→

即3≤|BC|≤13

答案 [3,13]

10．下列各式，其中运算结果必定为0的式子有________个．

答案

4

→→

11．若G是△ABC的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求GA＋GB→＋GC.

→→→→→

解 取BG中点P，连续DP、PE，得 GDPE有GB＝2GP＝2(GD＋GE)GA＝→→→－2GE，GC＝－GD

→→→

上面三式两端相加得GA＋GB＋GC＝0.

12．已知|a|＝5，|b|＝12.若|a＋b|＝|a－b|，求|a＋b|，|a－b

|.

→→

解 作AB＝a，AD＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD. 由向量的加减法法则可知： →→

AC＝a＋b，DB＝a－b， 由于|a＋b|＝|a－b| →→∴|AC|＝|BD|

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所以ABCD是矩形， 于是|a＋b|＝|a－b|＝13.

→→

13．(创新拓展)在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，先用a，b表示向量→→

AC和DB，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？

→→→→

解 由向量加法的平行四边形法则，得AC＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b. 则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；

当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时， 四边形ABCD为正方形．

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