2014年山东高考(理科)数学试题及答案word版

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2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

（a bi） 1.已知a,b R,i是虚数单位，若a i与2 bi互为共轭复数，则

（A）5 4i (B) 5 4i (C) 3 4i (D) 3 4i

答案：D

解析：a i与2 bi互为共轭复数，

2

a 2,b 1 a bi 2 i 4 4i i 3 4i

2

22

x

2.设集合A {xx 2},B {yy 2,x [0,2]},则A B

(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：

Qx 1 2 2 x 1 2 1 x 3Qy 2x,x 0,2 y 1,4 A B 1,3

3.函数f(x)

1(log2x) 1

2

的定义域为

) ) (C) (0) (2, ) (D) (0] [2，(A)(0) (B) (2，

答案：C

解析：

121212

log2x

2

1 0

log2x 1或 log2x 1

x 2 或 0 x

1。 2

2

4. 用反证法证明命题“设a,b R,则方程x ax b 0至少有一个实根”时要做的假设是

(A)方程x ax b 0没有实根 (B)方程x ax b 0至多有一个实根 (C)方程x ax b 0至多有两个实根 (D)方程x ax b 0恰好有两个实根 5.已知实数x,y满足a a(0 a 1)，则下列关系式恒成立的是

x

y

2

2

2

2

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(A)

113322

(B) (C) (D) sinx sinyx yln(x 1) ln(y 1)22

x 1y 1

答案：D 解析：

Qax ay,0 a 1

，排除A,B，对于C ，sinx是周期函数，排除C。

x y

6.直线y 4x与曲线y x在第一象限内围成的封闭图形的面积为

2

（A）22（B）42（C）2（D）4 答案：D 解析：

Q4x x3，Q4x x3 x 4 x2 x 2 x 2 x

第一象限

2

4x x3 2x2

14

x 8 4 0 4

7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为

舒张压/kPa

（A）6 （B）8 （C） 12（D）18 答案：C

解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4

20 0.4 50

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50 0.36 1818 6 12

8.已知函数f x x 2 1g x kx.若方程f

,数k的取值范围是

x g x 有两个不相等的实根，则实

（1，2）（2， ）（0）（，1）（A）（B）（C）（D）

答案：B

解析：画出f x 的图象最低点是 2,1 ，g x kx过原点和 2,1 时斜率最小为最大时g x 的斜率与f x x 1的斜率一致。 9.已知x,y满足的约束条件

1

212

1

，斜率2

x-y-1 0,

当目标函数z ax by(a 0,b 0)在该约束

2x-y-3 0,

22

条件下取得最小值25时，a b的最小值为

（A）5（B）4（C）5（D）2 答案：B 解析：

x y 1 0

求得交点为 2,1 ，

则2a b ，即圆心 0,0 到直

线

2x y 3 0

2

2

2 4。 2a b

0的距离的平方

x2y2x2y2

10.已知a 0,b 0,椭圆C1的方程为2 2 1，双曲线C2的方程为2 2 1，C1与

abab

C2的离心率之积为

，则C2的渐近线方程为 2

（A）x 2y 0（B）2x y 0（C）x 2y 0（D）2x y 0 答案：A 解析：

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c2a2 b2

e1 2

aa2c2a2 b22

e2 2

aa2

a4 b432

e1e2 a4 4b4

4a4

2

b a2

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。

11.执行下面的程序框图，若输入的

x的值为

1

，

则输出的n的值为 。 答案：3

2

解析：根据判断条件x 4x 3 0，得1 x 3，

输入x 1

第一次判断后循环，x x 1 2,n n 1 1 第二次判断后循环，x x 1 3,n n 1 2 第三次判断后循环，x x 1 4,n n 1 3 第四次判断不满足条件，退出循环，输出n 3

uuuruuur

12.在VABC中，已知AB AC tanA，当A 时，VABC的面积为。

6

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答案：

1 6

解析：由条件可知 cbcosA tanA， 当A

13.三棱锥P ABC中，D,E分别为PB,PC的中点，记三棱锥D ABE的体积为V1，

6

，bc

211,S ABC bcsinA 326

P ABC的体积为V2，则

答案：

V1

。 V2

1 4

解析：分别过E,C向平面做高h1,h2，由E为PC的中点得由D为PB的中点得S ABD

4

h11 ， h22

1111S ABP，所以V1:V2 S ABD h1 S ABP h2 2334

b 322

14.若 ax6 的展开式中x项的系数为20，则a b的最小值为。

x

答案：2

r6 rr12 3r

解析：将(ax )展开，得到Tr 1 C6，令12 3r 3,得r 3. abx333由C6ab 20，得ab 1，所以a b 2ab 2.

2

2

2

b

x

6

15.已知函数y f(x)(x R)，对函数y g x x I ，定义g x 关于f x 的“对称函数”为函数y h x x I ，y h x 满足：对任意x I，两个点x,h x ,x,g x 关于点x,f x 对称，若h x 是g

x

f x 3x b的“对称函数”，且

h x g x 恒成立，则实数b的取值范围是。

答案：b 2

解析：根据图像分析得，当f(x) 3x b与g(x)

4 x2在第二象限相切时，

b 2，由h(x) g(x)恒成立得b 2.

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三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

已知向量a m,cos2x ,b sin2x,n ，函数f x a b，且y f x 的图像过

点

2

和点 , 2 . 12 3

（I）求m,n的值；

（II）将y f x 的图像向左平移 0 个单位后得到函数y g x 的图像，若

y g x 图像上各最高点到点 0,3 的距离的最小值为1，求y g x 的单调递增区间.

解：（Ⅰ）已知f(x) msin2x ncos2x，

2

f(x)过点(,3),(, 2)

123

f() msin ncos 3

12662 4 4 ) msin ncos 2 f(333

13

n m m 3 2解得 2

n 1 1 2

22

（Ⅱ）f(x) sin2x cos2x 2sin(2x

6

)

f(x)左移 后得到g(x) 2sin(2x 2 )

6

设g(x)的对称轴为x x0， d x0 1解得x0 0

2

g(0) 2，解得 g(x) 2sin(2x

6

3

) 2sin(2x ) 2cos2x 62

2k 2x 2k ,k z

2

k x k ,k z

f(x)的单调增区间为[

17.（本小题满分12分）

2

k ,k ],k z

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如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，

DAB 60,AB 2CD 2，M是线段AB的中点.

D1

A1

1

B1

A

M

B

（I）求证：C1M//平面A1ADD1；

（II）若CD1垂直于平面ABCD

且CD1C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值. 解：（Ⅰ）连接AD1

ABCD A1B1C1D1为四棱柱， CD//C1D1 CD C1D1

又 M为AB的中点， AM 1 CD//AM,CD AM

AM//C1D1,AM C1D1 AMC1D1为平行四边形 AD1//MC1

又 C1M 平面A1ADD1 AD1 平面A1ADD1

AD1//平面A1ADD1

（Ⅱ）方法一： AB//A1B1 A1B1//C1D1

面D1C1M与ABC1D1共面

作CN AB,连接D1N 则 D1NC即为所求二面角

在ABCD中，DC 1,AB 2, DAB 60 CN

2

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在Rt D1CN中，CD1 ,CN 方法二：作CP AB于p点

3 D1N 22

以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，

13

C1( 1,0,),D1(0,0,3),M(,,0)

221 C1D1 (1,0,0),D1M (,, )

22

设平面C1D1M的法向量为 (x1,y1,z1)

x1 0

n1 (0,2,1) 1y1 z1 0 x1 2 2

显然平面ABCD的法向量为n

2 (1,0,0)

cos n1,n2

1 5显然二面角为锐角，

所以平面C1D1M和平面ABCD所成角的余弦值为

5

NC5

cos D1CN

D1N52

18.（本小题满分12分）

乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域A,B，乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上的概率为

13

，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次，55

小明的两次回球互不影响.求：

（I）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （II）两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望.

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解：（I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A

51143P(A)

656510

（II） 的可能取值为0，1，2，3，4，6

11111131P( 0) ,P( 1)

65303565613111112

P( 2) ,P( 3)

355256515131111111

P( 4) ,P( 6)

2535302510 的分布列为

其数学期望为E( ) 0

19.(本小题满分12分）

111211191 1 2 3 4 6 306515301030

已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列。 （I）求数列{an}的通项公式； （II）令bn=( 1)

n 1

4n

,求数列{bn}的前n项和Tn。 anan 1

解：（I）d 2,S1 a1,S2 2a1 d,S4 4a1 6d,

2 S1,S2,S4成等比 S2 S1S4

解得a1 1, an 2n 1

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（II）bn ( 1)

n 1

4n11

( 1)n 1( )

anan 12n 12n 1

111111111

当n为偶数时，Tn (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )

335572n 32n 12n 12n 1

12n

Tn 1

2n 12n 1

111111111

当n为奇数时，Tn (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )

335572n 32n 12n 12n 1

12n 2

Tn 1

2n 12n 1

2n

,n为偶数 2n 1

Tn

2n 2 ,n为奇数 2n 1

20.( 本小题满分13分）

ex2

设函数f x 2 k( lnx)（k为常数，e 2.71828

xx

（I）当k 0时，求函数f x 的单调区间；

是自然对数的底数）

（II）若函数f x 在 0,2 内存在两个极值点，求k的取值范围。

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ex x2 2xex21

解：（1）f(x) k( )42

xxx

x

(x 2)(e kx) (x 0)3

x

当k 0时，kx 0, ex kx 0

'

令f'(x) 0,则x 2

当x (0,2)时，f(x)单调递减；当x (2, )时，f(x)单调递增。（2）令g x ex kx则g'(x) ex k ex k,x lnk

g'(0) 1 k 0,g(0) 1 0

e2

g(2) e k 0,g 2 e 2k 0 k

2

g lnk elnk klnk 0 lnk 1 k e

'

2

2

e2

综上:e的取值范围为（e,）。

2

21.（本小题满分14分）

已知抛物线C:y2 2px(p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA FD，当点A的横坐标为3时，

ADF为正三角形。 （I）求C的方程；

（II）若直线l1//l，且l1和C有且只有一个公共点E，

（i）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ii）ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

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解：（1）由抛物线第二定义得：23-pp

3 22

p 2或p 18(舍)

当p 18时，经检验直线l与C只有一个交点，不合题意。 C的方程为：y2 4x

（2）(i)设A（x0,y0),F(1,0),D(x0 1,0)

直线l的斜率k y,xy2

00

4

设直线l的方程为y y0x b

l与C只有一个交点 y y0x b y2

4x 0 b

1y0

E(12

y20y2, 0

y),A(,y0)

04k4y0AE

y20 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4lq1.html