2018年湖北省高考数学理科试卷及解析（全部题目）

2018年湖北省高考数学理科试卷及解读

1.i为虚数单位，(1?i2)? 1?iA. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解读】选A. (1?i2(1?i)(1?i)?2i)????1 1?i(1?i)(1?i)2ia1(2x?)7x的展开式中x3的系数是84，则实数a＝ 2.若二项式

23A. 2 B. 4 C.1 D.4【解题提示】考查二项式定理的通项公式 【解读】选C. 因为Tr?1?C7?(2x)?()rrb5E2RGbCAP ax7?rr?C7?2r?a7?r?x?7?2r，令?7?2r??3，得

2?22?a7?2?84，解得a＝1. r?2，所以C73.设U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得

A?C,B?eUC”是“A?B??”

的

A. 充分而不必要的条件

B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要的条件

【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解读】选C. 依题意，若A?C，则痧UC?UA，当B?eUC，可得A?B??；

若A?B??，不妨另C?A，显然满足A?C,B?eUC，故满足条件的集合C是存在的.

4.根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 2.5 5 -0.5 6 0.5 7 -2.0 8 -3.0 得到的回归方程为y?bx?a，则

A.a?0,b?0 B.a?0,b?0 C.a?0,b?0 D.a?0.b?0

【解题提示】考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b与a的符号问题

?1 / 15

【解读】选B.

画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以b?0，a?0

5..在如图所示的空间直角坐标系O?xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是<0,0,2），<2,2,0），<1,2，1），<2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

p1EanqFDPw A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②

【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图

【解读】选D.在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.DXDiTa9E3d 6.若函数f(x>，g(x)满足?1正交函数，给出三组函数：RTCrpUDGiT ?1f(x)g(x)dx?0，则称f(x>，g(x)为区间[-1,1]上的一组

f(x)?sin①

11x,g(x)?cosx222；②f(x)?x?1,g(x)?x?1；③f(x)?x,g(x)?x

其中为区间[?1,1]的正交函数的组数是< ） A.0 B.1 C.2 D.3

【解题提示】考查微积分基本定理的运用

111111【解读】选C. 对①，?(sinx?cosx)dx??(sinx)dx??cosx|?1?0，则

?1?122221f(x)、g(x)为区间[?1,1]上的正交函数；5PCzVD7HxA 2 / 15

对②，

13421(x?1)(x?1)dx?(x?1)dx?(x?x)|???0，则f(x)、g(x)不为?1??1??13311区间[?1,1]上的正交函数； 对③，

1413xdx?(x)|?1?0，则f(x)、g(x)为区间[?1,1]上的正交函数. ??141所以满足条件的正交函数有2组.

?x?0?x?y?1?7.由不等式?y?0确定的平面区域记为?1，不等式?，确定的平面区域

?x?y??2?y?x?2?0?记为?2，在?1中随机取一点，则该点恰好在?2内的概率为< ）jLBHrnAILg A.

1137B.C. D. 8448【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解

【解读】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，

由几何概型概率公式知，该点落在

?2内的概率为

P?S?BDF?S?CEFS?BDF111?2??2??122?7. ?218?2?228.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式

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12Lh.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率?近似取为3.那么近似公式3622v?Lh相当于将圆锥体积公式中的?近似取为< ）xHAQX74J0X 752225157355A.B.C.D.

7850113v?【解题提示】考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力。根据近似公式V?建立方程，即可求得结论

22Lh，75【解读】选B. 设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L?(2?r)2，

251112212V?Sh??r2h?(2?r)2h?Lh，所以?，即?的近似值为

83312?7512?759.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且?F1PF2?圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为< ）LDAYtRyKfE A.

?3,则椭

4323 B. C.3 D.2Zzz6ZB2Ltk 33【解题提示】椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值

【解读】选A. 设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a1

|PF1|?|PF2|?2a1，所以由椭圆、双曲线的定义得|PF1|?|PF2|?2a，|PF1|?a?a1，|PF2|?a?a1，dvzfvkwMI1 因为

?F1PF2?22?3，由余弦定理得

21，即

4c2?(a?a1)2?(a?a1)2?2(a?a1)(a?a1)cos?3，

所以4c?a?3a2a12a2a121aa124?2?2?2?(?)，

ccc2cc所以(?1e124)?8?2， e1e143. 3利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为10.已知函数

f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，

f(x)?1(|x?a2|?|x?2a2|?3a2)，若?x?R，f(x?1)?f(x)，则实数a的取值范2围为< ）

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A.[?,]B.[?1166116633,]C. [?,]D. [?,]

336633【解题提示】考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立

?x?3a2,x?2a2?【解读】选B. 依题意，当x?0时，f(x)???a2,a2?x?2a2，作图可知，f(x)的最

??x,0?x?a2?小值为?a，因为函数f(x)为奇函数，所以当x?0时f(x)的最大值为a，因为对任意实数x都有，f(x?1)?f(x)，所以，4a2?(?2a2)?1，解得?rqyn14ZNXI 2266，?a?66故实数a的取值范围是[?66,]. 66??????11.设向量a?(3,3)，b?(1,?1)，若a??b?a??b，则实数??________.

????????【解读】因为a??b?(3??,3??)，a??b?(3??,3??)，

????因为(a??b)?(a??b)，所以(3??)(3??)?(3??)(3??)?0，解得??3

答案：3

????a?b【误区警示】解题时要明确知道a??b??的充要条件是

????????(a??b)?(a??b)?0，不要与向量平行的充要条件弄混。

12.直线l1:y?x?a和l2:y?x?b将单位圆C:x?y?1分成长度相等的四段弧，则

22a2?b2?________.

【解读】依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的心到l1:y?x?的距离为a1，圆4|0?1?0（?-1）+a|1?（?1）22，圆心到l2:y?x?的距离为b|0?1?0（?-1）+b|212?（?1），即

|a||b||a|222?，，所以a?b?1，故?cos45??2222a2?b2?2.EmxvxOtOco 答案：2

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【误区警示】 解答本题时容易出现的问题是不能把“将单位圆C:x2?y2?1分成长度相等的四段弧”用数学语言表示出来。

13.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I?a?，按从大到小排成的三位数记为D?a?<例如a?815，则

I?a??158，D?a??851）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个

a，输出的结果b?________.

当a?198，则b?981?198?783?198； 当a?783，则b?873?378?495?783；

SixE2yXPq5 【解读】当a?123，则b?321?123?198?123；

当a?495，则b?954?459?495?a，终止循环，故输出b?495 答案：495

【误区警示】解答本题时易犯的错误是循环计算b?D(a)?I(a)时出现计算错误

14.设f?x?是定义在?0,???上的函数，且f?x??0，对任意a?0,b?0，若经过点

?a,f?a??,?b,f?b??的直线与x轴的交点为?c,0?，则称c为a,b关于函数f?x?的平均数，

记为Mf(a,b)，例如，当f?x??1(x?0)时，可得Mf(a,b)?c?为a,b的算术平均数.6ewMyirQFL a?b，即Mf(a,b)2x?0)时，Mf(a,b)为a,b的几何平均数； （1）当f?x??_____(x?0)时，Mf(a,b)为a,b的调和平均数（2）当f?x??_____(<以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） 【解读】：<1）设f(x)?2ab； a?bx，

(b,?b)的直线方程为

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y?a?b?a?x?ab?a∴当

，令y=0，求得

x??c a， bf(x)?x，

2ab， a?b2ab a?b<2）设

y?a?b?a?，令x?ab?ay?0，所以c?x?所以当f?x??x(x?0)时，Mf(a,b)为a,b的调和平均数答案：<1）x<2）x

【误区警示】解答本题时容易出现的错误是不能正确理解新定义Mf(a,b) 15.<选修4-1：几何证明选讲）

如图，P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A,B，过PA的中点Q作割

线

交

⊙

O于

C,D两点，若

QC?1,CD?3,则

PB?_____.

2【解读】由切割线定理得QA?QC?QD?1?(1?3)?4，所以QA?2，PB?PA?4.

答案：4

【误区警示】解答本题时容易出现的问题是错误使用切割线定理。 16.<选修4-4：坐标系与参数方程）

?x?t?已知曲线C1的参数方程是?3t?t为参数?，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极

?y?3?轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是??2，则C1与C2交点的直角坐标为_______.y6v3ALoS89 ?x?t?2222??2【解读】由?消去得，由得x?y?4，解方程x?3y(x?0,y?0)t3t?y?3?7 / 15

22??x?y?4组?2得C1与C2的交点坐标为(3,1). 2??x?3y答案：(3,1)

?x?t?【误区警示】解答本题时容易出现的问题是消去?3t中的参数t时出现错误。

?y?3?17.某实验室一天的温度<单位：C）随时间<单位;h）的变化近似满足函数关系：

of(t)?10?3cos?12t?sin?12t,t?[0,24).

(1) 求实验室这一天的最大温差；

(2) 若要求实验室温度不高于11C，则在哪段时间实验室需要降温？

ππ的形式， t?sint化为

1212可求得只一天的温度最大值和最小值，进而求得最大温差。

<Ⅱ）由题意可得，当f

123123oo????于是f(t)在[0,24>上取得最大值12C，取得最小值8C.

故实验室这一天最高温度为12C，最低温度为8C，最大温差为4C。 <Ⅱ）依题意，当f(t)?11时实验室需要降温 由<1）得f(t)?10?2sin(即sin(ooot?)，故有10?2sin(t?)?11

123123?????1t?)??。 12327???11??t??又0?t?24，因此，即10?t?18。 61236在10时至18时实验室需要降温。

18.已知等差数列{an}满足： a1＝2，且a1,a2,a3成等比数列.

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（1） 求数列{an}的通项公式.

（2） 记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn?60n?800?若存

在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

【解题指南】<Ⅰ）由2，2?d，2?4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项；

<Ⅱ）根据{an}的通项公式表示出{an}的前项和公式,令Sn?60n?800，解此不等式。 【解读】<1）设数列{an}的公差为d，依题意，d,2?d,2?4d成等比数列，故有

(2?d)2?2(2?4d)

2化简得d?4d?0，解得d?0或d?4

当d?0时，an?2

当d?4时，an?2?(n?1)?4?4n?2

从而得数列{an}的通项公式为an?2或an?4n?2。 <2）当an?2时，Sn?2n。显然2n?60n?800 此时不存在正整数n，使得Sn?60n?800成立。 当an?4n?2时，Sn?2n[2?(4n?2)]?2n2

22令2n?60n?800，即n?30n?400?0， 解得n?40或n??10<舍去），

此时存在正整数n，使得Sn?60n?800成立，n的最小值为41。 综上，当an?2时，不存在满足题意的n；

当an?4n?2时，存在满足题意的n，其最小值为41。

19.如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F,M,N分别是棱

AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动，且DP?BQ???0???2?.

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（1）当??1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ;

（2）是否存在?，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出

?的值；若不存在，说明理由.

?????????【解题指南】<Ⅰ）建立坐标系，求出BC1?2FP，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定

定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；<Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．0YujCfmUCw 【解读】

以D为原点，射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系D?xyz。 由已知得

B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,?)

?????????????BC1?(?2,0,2),FP?(?1,0,?),FE?(1,1,0).

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???<Ⅰ）证明：当??1时，FP?(?1,0,1)

?????????????因为BC1?(?2,0,2)，所以BC1?2FP，即BC1∥FP

而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ。

?<Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为n?(x,y,z)，则

???????x?y?0?FE?n?0由?????可得?，于是可取n?(?,??,1)

??x??y?0??FP?n?0??同理可得平面MNPQ的一个法向量为m?(2??,2??,1)

若存在?，使得平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，

?????则m?n?(2??,2??,1)?(?,??,1)，即?(2??)??(2??)?1?0

解得??1?2 22，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角。 2故存在??1?20.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方M）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.eUts8ZQVRd (1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限

制，并有如下关系： 年入流量X 80?x?120 x?120 40?x?80 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万，欲使水电站年利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？sQsAEJkW5T 【解题指南】<Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至

少有1年的年入流量超过120的概率；<Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．GMsIasNXkA 【解读】<Ⅰ）依题意，

p1?p(40?X?80)?10?0.250，

p2?p(80?X?120)?355?0.7，p3?p(X?120)??0.1 5050由二项分布，在未来4年中至多有一年的年入流量超过120的概率为

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99101p?C4(1?p3)4?C4(1?p3)3p3?()4?4?()3??0.9477

101010<Ⅱ）记水电站年总利润为Y

（1） 安装1台发电机的情形

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润

Y?5000，E(Y)?1?5000?5000

<2）安装2台发电机的情形

依题意，当40?x?80时，一台发电机运行，此时Y?5000?800?4200，因此

P(Y?4200)?P(40?x?80)?p1?；当X?80时，两台发电机运行，此时0.2Y?5000?2?10000，因此P(Y?10000)?P(X?80)?p2?p3?0.8；由此得的分

布列如下

Y P 4200 0.2 10000 0.8 所以，E(Y)?4200?0.2?1000?0.8?8840。

<3）安装3台发电机的情形

?3400依题意，当40?x?80时，一台发电机运行，此时Y?5000?1600，因此；当80?X?120时，两台发电机运行，此时P(Y?3400)?P(40?x?80)?p0.21?Y?5000?2?800?9200，因此P(Y?9200)?P(80?X?120)?p2?0.7；当X?120时，两台发电机运行，此时Y?5000?3?15000，因此

P(Y?15?000?)Y P P?p(3X?3400 0.2 由此得的分布列如下120)0.TIrRGchYzg 18200 0.7 15000 0.1 所以，E(Y)?3400?0.2?9200?0.7?15000?0.1?8620。 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台。

21.在平面直角坐标系xOy中，点M到点F?1,0?的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹为C的方程

(2)设斜率为k的直线l过定点p??2,1?，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。

【解题指南】<Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；<Ⅱ）设出直线l的方程为y?1?k(x?2)，和<Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y-1=k

【解读】<Ⅰ）设点M(x,y),依题意得MF?x?1，即(x?1)?y?x?1 化简整理得y2?2(x)?x 故点的轨迹C的方程为y2??22?4x,x?0。

0,x?0?<Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1:y2?4x,C2:y?0(x?0) 依题意，可设直线l的方程为y?1?k(x?2)

?y?1?k(x?2)由方程组?2，可得ky2?4y?4(2k?1)?0①

?y?4x<1）当k?0时，此时y?1，把y?1带入轨迹C的方程，得x?故此时直线l:y?1与轨迹C恰好有一个公共点(,1) <2）当k?0时，方程①的判别式???16(2k2?k?1)② 设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则 由y?1?k(x?2)，令y?0，得x0??1 4142k?1③ k???01<ⅰ）若?，由②③解得k??1，或k?。

2?x0?0

12故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点。

<ⅱ）若?

即当k?(??,?1)?(,??)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，

???0???011或?由②③解得k?{?1,}，或??k?0。

22?x0?0?x0?0

12即当k?{?1,}时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点， 当k?[?,0)时，直线l与C1只有两个公共点，与C2没有公共点 故当k?[?1211,0)?{?1,}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点。 22???011<ⅲ）若?由②③解得?1?k??，或0?k?

22?x0?0

即当k?(?1,?)?(0,)时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点

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故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点。

综合<1）<2）可知，当k?(??,?1)?(,??)?{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；

1211,0)?{?1,}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点； 2211当k?(?1,?)?(0,)时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点。

2222.?为圆周率，e?2.71828?为自然对数的底数.

lnx（1）求函数f?x??的单调

x当k?[?区间；

（2）求e3,3e,ee,?e,3?,?3这6个数中的最大数与最小数；

（3）将e3,3e,ee,?e,3?,?3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论. 【解题指南】<Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式

即可得

到单调增、减区间；lzq7IGf02E <Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及<Ⅰ）的结论，得f<π）＜f<3）＜f

x?e2?，有lne2??e?，从而2?ln??e?，即得ln??2?e???①，由①还可得ln

πe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；NrpoJac3v1 【解读】<1）函数的定义域为(0,??)，因为f(x)?当f?(x)?0，即0?x?e时，函数f(x)单调递增； 当f?(x)?0，即x?e时，函数f(x)单调递减；

lnx1?lnx，所以f?(x)?。 xx2故函数f(x)的单调增区间为(0,e)，单调减区间为(e,??)。

<2）因为e?3??，所以eln3??ln3，即ln3?ln?,lne?ln3。 于是根据函数y?lnx,y?e,y??在定义域上单调递增，可得

xxee??14 / 15

3e??e??3，e3?e??3?。

故这6个数的最大数在?与3之中，最小数在3与e之中 由e?3??及<1）的结论，得f(?)?f(3)?f(e)，即

3?e3ln???ln3lne?。 3eln33??3，得ln??ln3，所以3??；

?3ln3lnee3e3?由，得ln3?lne，所以3?e。 3e由

ln??综上，6个数中的最大数3是，最小数是3。 <3）由<2）知，3?????3.3?e又由<2）知故只需比较e与?和?的大小。 由<1）知，当0?x?e时，f(x)?f(e)?3e3?eee3?e3ln???lnee?，得??e。 e1lnx1?。 即

exe在上式中，令x?即得ln??2?e2?，又

e2

??e，则lne2??e?，从而2?ln??e?

e? 。 ①

由①得，eln??e(2?e?)?2.7?(2?2.72)?2.7?(2?0.88)?3.024?3， 3.1e33e即eln??3，亦即ln??lne，所以e??。

又由①得，3ln??6?e33e??6?e??，即3ln???，所以e???3

?3综上可得，3?e???e???3， 即6个数从小到大的顺序为3,e,?,e,?,3。

e3ee??3?

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