高等数学下试题

高等数学下试题 习题10—1

1．已知函数f(x,y)?x2?y2?xytanx，试求f(tx,ty)。 y2．已知函数f(u,v,w)?uw?wu?v。试求f(x?y,x?y,xy)。 3．求下列各函数的定义域：

111??（1）u?； xyz（2）u?R2?x2?y2?z2?4．函数z?

y2?2xy2?2x1x?y?z?r2222(R?r?0)。

在何上是间断的？

习题10—2

1．设函数z?x2?xy?y，

（1）求函数在点(x0,y0)处的偏增量?xz,?yz和全增量?x；

（2）当x从2变到2.1，y从2变到1.9时，求?xz,?yz与?z的值各为多少？ 2．设z?(1?xy)y，求

?z?xx?1y?1及

?z?yx?1y?1

3．设f(x,y)?x?y?x2?y2，求fx(2,4)。

?zy??4．设z?ln?x??，求

?y2x??。

x?1y?0??????5．设f(x,y)?e?xsin(x?2y)，求fx?0,?及fy?0,?。

?4??4?6．设u?ln(1?x?y2?z3)，当x?y?z?1时，求ux?uy?uz。 7．求下列函数的偏导数

x（1）z?lntan； （2）z?arcsin(yx)；

y?1?（4）z????3??y/x（3）z?sinyx?cos； yx；

（5）z?xyesin?xy；

（6）z?ln(x?lny)；

（7）z?xsiny； （8）u??et??e???t； （9）u?e???cos(???) x??z?1?x2?y28．求曲线?在点(1,1,3)处的切线与纵轴正向所成的角度。

??x?19．求下列函数的全微分：

x?y（1）z?exy?ln(x?y)； （2）z?arctan （3）z?sin(xy)

1?xy（4）z?x2?y2x?y22；

（5）z?2xe?y?3x?ln3； （6）u?ex(x（8）u?ln(3x?2y?z)；

2?y2?z2)；

（7）u?xyx； （9）u?arctan(x?y)2。

10．求下列函数在给定点处的全微分： （1）z?x4?y4?4x2y2，（1，1）；

????（2）z?xsin(x?y)?ex?y,?,?。

?44?11．试示当x?2，y??1，?x?0.02，?y??0.01时，函数z?x2y3的全微分及全增量的值。

习题10—3

1．设z?u2v?uv2,u?xcosy,v?xsiny,求2．设z?u2lnv,u?3．设z?arctan?z?z,。 ?x?yx?z?z,v?3x?2y，求,。 y?x?yx,x?u?v,y?u?v，证明 y?z?zu?v。 ??2?u?vu?v2x2?z?z,x?u?2v,y?v?2u，求,。 4．设z?y?u?v5．设z?(2x?y)2x?y，求6．设z?yf(x?y)22?z?z,。 ?x?y，其中f 可微函数，验证

1?z1?zz??2。 x?xy?yy7．设z?F(x,y),x?rcos?,y?rsin?，求8．设z?ydz。 ,x?et,y?1?e2t，求

xdtdz。 dt?z?z。 ,?r??9．设z?ex?2y,x?sint,y?t3，求

10．设z?arcsin(x?y),x?3t,y?4t3，求11．设z?arctan(xy),y?ex，求

dz。 dxdz。 dt1dz12．设z?tan(3t?2x2?y),x?,y?t，求。

tdt13．设u?eax(y?z)a2?1,y?asinx,z?cosx，求

du。 dx14．设z?ln15．设z?x?x2?y2y，x?cost,y?sint，在t??2处，求全导数的值。

1x?yln,x?sect,?2sint，在t??处，求全导数的值。 2x?y16．设z?arctany?zdz。 ,y?x2，求,x?xdx?zdz。 ,?xdx17．设z?xy,y??(x)，求

习题10—4

1．设

x2a2?y2b2?1，求

dy。 dxdy。 dx2．设sin(xy)?exy?x2y?0，求3．设lnx2?y2?arctanydy，求。 xdx?z?z4．设x?2y?z?2xyz?0，求,。

?x?y5．设ez?xyz?0，求

?z?z和。 ?y?x?z?z和。 ?y?x6．设x2?y2?z2?2axyz?0，求7．设

xz?z?z?ln，求和。 zy?y?x8．求由方程2xz?2xyz?ln(xyz)?0所确定的函数z?z(x,y)的全微分。

9．求由方程组

22??z?x?y ?222??x?2y?3z?20所确定的隐函数的导数

10．地由方程组

dydz和。 dxdx?xu?yv?0 ??yu?xv?1所确定的隐函数的偏导数

?u?u?v?v和,。 ,?x?y?x?y习题10—5

1．求下列函数的二阶偏导数： （1）z?sin(ax?by) （4）z?ylnx；

x（2）z?arcsin(xy)； （5）z3?3xyz?a3；

（3）z?x2y；

（6）x?y?z?e?(x?y?z)。

?2z?2z?2．设z?e(cosy?xsiny)，验证。 ?x?y?y?x3．设f(x,y,z)?xy2?yz2?zx2，求fxx(0,0,1),fxx(1,0,2)，及fzxy(2,0,1)。

?2u?2u?2u,,4．设u?f(x,xy,xyz)，求。 ?y?x?z?y?x?z5．设u?f(x?y?z)，求

222?2u?x2。

?2u?x26．设u?f(s)?g(t),s?x?y,t?x?y，验证

??2u?y2。

习题10—6

1．求函数z?x2?xy?2y2在点（1，2）沿着与x轴正向构成60?角的方向导数。 2．求函数z?x2?2x2y?xy2?1在点（1，2）沿着从该点到点（4，6）的方向导数。 3．求函数z?lnx2?y2在点（1，1）沿着第一象限角平分线的方向导数。

4．求函数u?xy?yz?zx在点（2，1，3）沿着从该点到点（5，5，15）的方向导数。

习题11—1

t???1．求曲线x?t?sint,y?1?cost,z?4sin在点??1,1,22?处的切线及法平面方程。

22??t1?t2．求曲线x?,y?,z?t2在点t?1处的切线及法平面方程。 2t1?t3．求曲线x?acost,y?asint,z?bt在t?处的切线及法平面方程。

44．在曲线x?t,y?t2,z?t3上求一点，使在该点的切线平行于平面x?2y?z?4。 5．求曲面ez?z?xy?3在点（2，1，0）处的切平面及法线方程。 6．求曲面3x2?y2?z2?27在点（3，1，1）处的切平面及法线方程。 7．求曲面x2?xy?8x?z?5?0在点（2，-3，1）处的切平面及法线方程。

8．求曲面z?ax2?by2在点（x0,y0,z0）处的切平面及法线方程。

9．求椭球面3x2?y2?z2?16上点（?1，?2，3）处的切平面与平面z?0的夹角。

?习题11—2

1．求函数f(x,y)?4(x?y)?x2?y2的极值。

2．求函数f(x,y)?(2ax?x2)(2by?y2)的极值，其中，ab?0。 3．求函数f(x,y)?e2x(x?y2?2y)的极值。 4．求下列已知函数在指定条件下的极值： （1）z?xy，若x?y?1； （3）u?x?y?z，若

（2）z?x2?y2，若

xy??1， ab111??，x?0,y?0,z?0。 xyz5．从斜边长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。 6．在半径为a的半球内求一个体积最大的内接长方体。

习题12—1

1．证明Riemann积分中值定得。

习题12—2

1．求2．求3．求

??D?0?x?1。 xexydxdy的值，其中，D:??1?y?0??1?x?2D:的值，其中，。 ?3?y?4(x?y)2?dxdy?0?x?1。 ex?ydxdy的值，其中，D:?0?y?1???D??D4．求

??D??0?x??x2ycos(xy2)dxdy的值，其中，D:?2。

??0?y?25．按照下列指定的区域D将二重积分

??f(x,y)dxdy化为累次积分：

D（1）D:x?y?1,x?y?1,x?0所围成的区域；

（2）D:y?x,y?3x,x?1,x?3所围成的区域；

（3）D:y?2x?0,2y?x?0,xy?2在第一象限中所围成的区域； （4）D:x?3,x?5,3x?2y?4?0,3x?2y?1?0所围成的区域； （5）D:(x?2)2?(y?3)2?4所围成的区域。 6．改变下列累次积分的积分次序： （1）（3）（5）

??01dyyyf(x,y)dx; （2）

?e1dx?lnx0f(x,y)dy；

?1?1dx?1?x20f(x,y)dy； （4）

?10dx?x20f(x,y)dy?2ax2ax?x2?31dx?1(3?x)20f(x,y)dy；

?1?1dx?1?x2?1?x2f(x,y)dy； （6）

?2a0dx?f(x,y)dy。

7．计算下列二重积分： （1）（2）（3）（4）

??(x?6y)dxdy,D:y?x,y?5x,x?1所围成的区域；

D??Dydxdy,D:y?2x,y?x,x?4,x?2所围成的区域； xydxdy,D:y?2,y?x,xy?1所围成的区域； x??D??D(x2?y2)dxdy,D:y?x,y?x?a,y?a,y?3a(a?0)所围成的区域。

8．把下列直角坐标形式的累次积分变为极坐标形式的累次积分： （1）（3）

?2R0dyR2?2Ry?y20f(x,y)dx； （2）dx?R0dx?R2?x20f(x2?y2)dy；

?1?R0dx?Rx0?y?f??dy??x??RR1?R2?R2?x20?y?f??dy。 ?x?9．将下列二重积分变成极坐标形式，并计算共值：

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