数学分析 刘三阳 第二讲习题解答

数学分析选讲

刘三阳 于力 李广民 遍

习题2—1

1、若自然数n不是完全平方数，证明n是无理数。 证明：若n不是无理数，设n?pp,q?N,且p,q互质?，于是 ?qnq2pp?nq??p?p2

pnq22而

?p,q互质??，故p不整除q?p整除n，记n?pss?N?p???n，故sn222?nq?n?qs，即n为完全平方数，矛盾。假设不成立。 ??s22、设a,b是两个不同的实数，证明a,b之间一定存在有理数。 证明：不妨设a?b，则存在m?N，使得

?m?1?m?b?a??1?mb?ma?1 b?a又因为存在整数n，使得n?1?ma?n

?ma?n?ma?1nn由??ma?n?mb?a??b,m?N?,n?Z，是有理数。

mm?ma?1?mb3、设x为无理数，证明存在无穷多个有理数

pp1?p,q?Z,q?0?，使得x??2， qqq证明：假设只有n个有理数满足x?p1?2，设为a1,a2???an,其中ai?i?1,2???n?为有理qqai?1?aia?a?ai，而i?1i为有理数，22数，且a1?a2?????an,对于区间?ai?1,ai?显然ai?1?且 x?ai?1?ai11?a?a?????a?????a?x? 12inq22q2ai?1?ai满足要求，故假设不成立。 2习题2—2

1、求下列数集的上，下确界

?1???1??1?，下确界为0（达到） ? 上确界为1（不达到）

n?n????1?，下确界为2（达到） ?2???1??n?N??上确界为e（不达到）

n???????3?????1??n?1n?1，下确界为-1（不达到） ??1???上确界为1（不达到）

n??4??y?x2,x????1,???1????上确界为1（不达到）下确界为0（达到） 2??22、 设E?x,x?2,x?Q,验证infE??2 ??证明：?1? ?x?E,x2?2?x??2，即?2是E的一个下界

?2?若?2??2?2，则由有理数集在实数系中的稠密性，存在x???2,?2，且x?为有理数，于是?2?x???2?2?x?2?2，即存在x??E,x???2,故?2不是E的下界。

3、用定义证明上（下）确界的唯一性

证明一：假设?1,?2均为下确界，且?1??2，不妨设?1??2。由于?1是下确界，则对

?????2??1?0，必存在x?E,使得x??1????2，这与?2是下确界矛盾。

4、试证收敛数列必有上确界和下确界，且上、下确界至少有一个属于该数列，趋于??的数列必有下确界，趋于??的数列必有上确界。

证明：1? 由于收敛数列必定有界。根据确界存在原理，该收敛数列必有上确界和下确界。 2? 若limxn?A，则对于各项均为常数A的数列，其上下确界显然均属于该数列。

n?? 对于各项不恒为常数的数列，记limxn?A，则或?1?存在xi?A,或?2?存在xj?A,或?3?n??这种xi,xj都存在。作A的充分小的邻域使它不包含xi,或不包含xj，或xi,xj均不在此邻域内。 在这三种情况下，这个邻域的外部都只有?xn?中的有限个元素，则?1?将达到上确界，?2?将达到下确界，?3?上下确界均可达到。由1?，2? 可得，上下确界将至少有一个属于该数列。

3? 设xn????n???，则?N，当n?N时，xn?x1，取??min?x1,x2,???xn?，

则??min?xn??inf?xn?。

n?1若xn???,?N,n?N时，xn??x1，于是取??max?x1,x2,???xn?，则

??max?xn??sup?xn?。

5、 证明：单减有下界的数列必有极限。

证明：设数列?yn?单减有下界，由确界存在原理，必有下确界，设??inf?yn?，由下确界定义可知：

使得yN????。因?yn?单减，故当n?N时，yn?yN，?1? yn??，?2?对???0,?yN，

即??yn?yN?????0?yn????，即yn???n???。

习题2—3

1、 用区间套证明：有下界的数集必有下确界。

证明：设?是E的一个下界，而?不是E的下界???? 令C1?1?????，若C1是E的下界，则取?1?C1,b1?? 2 若C1不是E的下界，则取?1??,b1?C1 令C2?1?a1?b1?，若C2是E的下界，则取a2?C2,b2?b1 2 若C2不是E的下界，则取a2?a1,b2?C2

重复上述步骤，得到一闭区间套?an,bn?满足：an是E的下界，bn不是E的下界。 由闭区间套定理，????an,bn?，且liman?limbn??。

n??n????下证??infE。

① 对?x?E，由于an是E的下界推出x?an，而liman??。

n??把x视为常数列，由极限的单调性知x??，即?是E的一个下界。

imbn???，当n充分大时，bn???，而bn不是E的下界，故?? 也② ?????，即??ln??不是E的下界。由??的任意性知，任何比?大的数均不是E的下界。 综合①②，?是E的下确界。

2、设f?x?在?a,b?上无界，证明必定存在x0??a,b?，使得f?x?在x0的任意邻域内无界。证明：反证法，若?x??a,b?，存在x的某一邻域，使得f?x?在此邻域内有界，对于a，由于在x?a的某一邻域内有界，故在该邻域内取x?a1，使得a?a1?b，于是在?a1,a?内

f?x?有界。对于b由于在x?b的某一邻域内有界，故在该邻域内取x?b1，使得a1?b1?b，于是在区间?b1,b?内f?x?有界。

重复上述步骤，得到一区间套定理，存在

??a,b??满足：f?x?在?a,an?及?bn,b?内有界。由区间套

nn???an,bn?，故f?x?在?a,??,??,b?上有界，对于x??点，

???an,bn???a,b?，f?x?在?的某一邻域内也有界，从而f?x?在整个区间?a,b?上有

界，矛盾。

3、设f?x?，g?x?在?0,1?上满足f?0??0,f??1?，若g?x?在?0,1?上连续0f?x??g?x?在?0,1?上单增，证明存在???0,1?，使f???=0。

证明：记?a1,b1???0,1?，且有f?a1??0,f?b1??0 令c1?1?a1?b1?，若f?c1??0，则存在c1??0,1?，使f?c1??0，得证。 2若f?c1??0，则取a2?c1,b2?b1 若f?c1??0，则取a2?a1,b2?c1 令c2?1?a1?b1?，若f?c2??0，则原命题得证。 2若f?c2??0，则取a3?c2,b3?b2 若f?c2??0，则取a3?a2,b3?c2

重复上述步骤，得到一闭区间套?an,bn?，且具有一下性质：f?an??0,f?bn??0 若在此过程中某一中点cn，使f?cn??0，结论成立。 否则由区间套定理，?E??an,bn?，使得liman?limbn??。

n??n????下证f????0

an???bn，f?x??g?x?在?0,1?上单增，

故f?an??g?an??f故g?an??f????g????f?bn??g?bn?，又f?an??0,f?bn??0,

????g????g?bn?。

x??由归结原理limg?an??limg?x?=g???

n?? limg?bn?=limg?x?=g???

n??x??令n??，有g????f????g????g???，从而f????0。

习题 2—4

1 、证明下列数列发散。 ① xn?1n123nn?1n???1?n?N?? ② yn??????????1??22n?1nnnn解 ① 当n为奇数时lim???1n??2?n?11n??1，当为偶数时?0lim????1， n?n???22n?12n?1???22?奇子列和偶子列收敛于不同的数，故?xn?发散。 ②n为奇数时

??12???1?n?1?11?n?2n?1?n?limyn?lim????????????lim???1?? ??n??????n??n??n?n?22?n??nn???n?2?当n为偶数时 limyn?lim??n????12???1?n?1?n?1n?????????????lim????????

n??n??n????n?2?2?n??nn?奇子列和偶子列收敛于不同的数，故?yn?发散。

2、证明单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列。 证明：仅证单调递增数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列。 ⅰ???单增数列收敛，其自身将是它的一个收敛子列，必要性得证

ⅱ???设单增数列?xn?有一个收敛子列xnk因为子列xnk也是单增数列，所以它的极限即为上确界limxnk?a?a?supxnkk??????????

??下证a?sup?xn?

① ?xn，若n?nk，则xn?xnk?a，而a?supxnk?xn?xnk?a

由于n?N，?n，能找到nk，使得n?nk，而xn?xnk?a，即?xn，有xn?a。

??k使xnk?a??，而?xn?单增，?xn??n??nk??，有xn??xnk??a??， ② ???0,?xn由①，②可知a?sup?xn?

limxnk?a????0,?k?K,有xnk?a??，取N?nk，则n?N?nk时有xn?xnk

k??于是a???xnk?xn?a，即xn?a??即???0,?N?nk,当n?N时，xn?a??， 故limxn?a，充分性得证

n??3、设lim?asinx?bcosx?存在，证明a?b?0。

x??证明 lim?asinx?bcosx?存在，设为A，由归结原理，当xn?2n?,xn?2n??x???3?,xn?2n?? 22时，且当n??,asinxn?bcosxn?A故

????????A?lim?asin2n??bcos2n??limasin2n???bcos2n???????????? ?n???n???22???????3???lim?asin2n?1??bcos2n?1??limasin2n????????n????n???2?? ?A?b?a??b??a?a?b?0 4、在x0的某邻域内g?x??3????bcos2n????2????????f??x??h?且xlimg?x??limh?x??A，证明：

x?x0x?x0x?x0limf?x??A。

x?x0x?x0x?x0x?x0证明?xn?x0 xn?x0 limg?x??limh?x??A?limg?xn??limh?xn??A，当n充分大时，xn将落在x0的某个邻域之内，从而g?xn??f?xn??h?xn?。令n??，由夹逼准则limf?xn??A，再由归结原理有limf?x0??A。

n??x?x05、设f?x?在x0的某个邻域?x0??,x0???内有定义，若对任意满足下列条件的数列

?xn???x0??,x0???,xn?x0?n???,0?xn?1?x0证明limf?x??A?xn?。

x?x0?xn?x0，都有limf?xn??A，

n??证明 若limf?x??A，则??0?0，???0,?x，当0?x?x0??时，f?x??A??0

x?x0取?1?1，存在x1，当0?x1?x0?1时，f?x1??A??0

取?2?x1?x0,?x2,，当0?x2?x0?x1?x0时，f?x2??A??0

? ?

?取?n?xn?1?x0,?xn,，当0?xn?x0?xn?1?x0时，f?xn??A??0 取?n?1?xn?x0,?xn?1,，当0?xn?1?x0?xn?x0时，f?xn?1??A??0 继续下去可得数列满足limxn?x0，且0?xn?1?x0?xn?x0使得

n??f?xn??A??0。这与limf?xn??A矛盾。

n??6、证明：limf?x??A的充要条件时：对每个严格单调递增的正无穷大的数列?xn?都有

x??limf?xn??A。

x??证明：必要性。limf?x??A????0,?X,当x?X时，f?x??A??

x??limxn???,则对于G?X,?N,当n?N时有xn?G?X，故f?xn??A??，即

n??limf?xn??A。

x??充分性。设limf?x??A???0?0,?X,?x,当x?X时，f?x??A??0

x??取X1?1,?x1?1,f?x1??A??0 取X2?x1,?x2?x1,f?x2??A??0 …………

取Xn?xn?1,?xn?xn?1,f?xn??A??0

继续下去可得到一严格单增的数列?xn?,xn???,f?xn??A??0,矛盾。

习题 2—5

1、设?an?是有界数列，若?bn?满足lim?an?bn??0，证明存在l和子列ank,bnk，使

x??????limank?l?limbnk。

k??k??证明 因?an?是有界数列，由致密性定理，存在收敛子列ank，设limank?l。因为

k????lim?an?bn??0，故?an?bn?收敛，故必有界），因此存在收敛子列ank?bnk，再由

x????lim?an?bn??0可得子列 ank?bnk满足limank?bnk?0，从而limank?l?limbnk。

x????x????k??k??????,?x???收敛于不同的极限。

????证明 由于数列?x?有界，于是必存在收敛子列。若??x?,?x?收敛于相同的极限，则

2 、有界数列?xn?发散，证明：存在两个子列xnn12'kn'k12n'kn'k?xn?将收敛，矛盾。

补充证明：若?为点集S的聚点，则S中含有异于?的数列收敛于?

证明：根据聚点定义：???0，则???,??中至少存在S中的异于?的一个点。 取?1?1,，则?x1??,r?x1,????1?1

取?2?min?,r?x1,???，则?x2??,r?x2,????2 …………

取?n?min?,r?xn,???,，则?xn??,r?xn,????n 得到S中的一个点列?xn?满足条件：

?1?2???1?n??0?r?xn,???r?xn?1,???????r?x1,???1 ①

0??r?xn,???1 ② n在②中令n??，有r?xn,???0，即xn?? 即S中存在异于?的点列?xn?收敛于??n???。 反之，结论也正确。

S中存在异于?的点列?xn?收敛于?????0,?N,当n?N时，证明：0?r?xn,????，

取n?N?1，有0?r?xN?1,????即???0,U??,??中至少存在S中异于点?的点xN?1，由聚点的定义，?为点集S的聚点。

习题 2—6

1 、设f?x?在?a,b?内有定义，a?c?d?b，若?x??c,d?，?Mx?0及?x?0，使得

x?，x????x??x,x??x?，有f?x???f?x????Mxx??x??。证明：

?M?0,?x?,x????c,d?，有f?x???f?x????Mxx??x??。

证明 因为?x??c,d?,???x?,x??,Mx?且0?x?0，使x?,x????x??x,x??x?时

f?x???f?x????Mxx??x??。在?c,d?上每一点都找到这样的??x,?x?，这些开区间的

全体覆盖?c,d?。由有限覆盖定理，必存在有限个开区间覆盖?c,d?。记为

?x??1x1,x1??x1,x2??x2,x2??x2???xk??xk,xk??xk，设x1?x2????xk，且相应的

?????Mx为Mx1,Mx2,???Mxk且显然有xi??xi?xi?1??xi?1

①若x?,x??属于xi??xi,xi??xi???????1?i?k?，则

f?x???f?x????\Mxix??x???Mx??x???M?max?Mi??

②若x?,x??属于不同的邻域，设x??x??，且x???xi??xi,xi??xi?，

???xk?1??xk?1,xk??xk??k?i,i?1???j?可得 x????xj??xj,xj??xj?，取xkf?x???f?x????f?x???f?xi???f?xi??????f?x?j??f?x????f?x???f?xi?? ?f?xi???f?xi??1?????f?x?j??f?x????Mxix??xi??????Mxjx?j?x?? ?Mxi?Mxi?1?????Mxjx??x???Mx??x??M?Mx1?Mx2?????Mxk

综上①②原命题得证。

2设f?x?在?a,b?上连续且恒正，试用有限覆盖定理：f?x?在?a,b?上有正的下界。 证明：在?x0处，有limf?x??f?x0??0，根据实数的稠密性，?Mx0，使得

x?x0??x?x0limf?x??f?x0??Mx0?0，由

??x0,?x0，使?x??x0,?x0，

????有f?x??Mx0再根据x0的任意性，在?a,b?上每一点均能找到这样的??x,?x?，这些开区间的全体构成一开区间，且覆盖?a,b?，由有限覆盖定理，必存在有限个邻域覆盖?a,b?，设为x1??x1,x1??x1???xk??xk,xk??xk，相应的Mx0为Mx1,Mx2???MxkMxi?0，取

??????M?minMx1,Mx2???Mxk，显然M?0，对

???x??a,b?，有f?x??min?Mx1,Mx2,???Mxk??M，即证f?x?存在正的下界。

3 用有限覆盖定理证明闭区间套定理 证明：

（1）证明闭区间套存在公共点?。假设不存在公共点。则?x，存在开邻域?x，至少有某 一个??an0,bn0??与?x不相交，于是n?n0时，?an,bn?更与?x不相交。由有限覆盖定理，存在有限开区间?1,?2,????m把闭区间?a1,b1?覆盖。 由上可知，?N1，当n?N1时，?1与?an,bn?均不相交 ?N2，当n?N2时，?2与?an,bn?均不相交 ?

?Nm，当n?Nm时，?m与?an,bn?均不相交

取N?max?N1,N2???Nm?，当n?N时，?1,?2,????m均与?an,bn?不相交，即?a1,b2?与这些?an,bn?不相交，这与?an?1,bn?1???an,bn?矛盾。

（2） liman?limbn??，因?是?an,bn?的公共点，即?n，有???an,bn?即

n??n??an???bn?0???an?bn?an，而由lim?bn?an??0可知，lim???an??0，

n??n??而liman??，又lim?bn?an??0，故

n??n??limbn?lim???bn?an??an???lim?bn?an??liman???liman?limbn??。

n??n??n??n??n??n??（3）唯一性；设存在????an,bn??an????bn，但是liman?limbn??，由夹逼准则，

n??n??令n??，有????。

习题2-7

1 用柯西收敛原理判定下列数列的收敛性。 （1）xn?cos1cos2cosn?2?....?n 2221??????0解 ，取N??log2?，则当n?N时，有

??

cos?n?1?cos?n?2?cos?n?p? xn?p?xn???...?n?1n?2n?p222p1??1??1????n?1?2??2??111???1??

?n?1?n?2?...?n?p?n122221?211n?11（2）xn?1???...???1?

23n??? 解 ?p，???0，取N???,当n?N时，有xn?p?xn?n?1n???2 满足下列条件的数列?xn?是不是柯西数列？ （1）?p?N，limxn?p?xn?0

n???1?11解 limxn?p?xn?0????0,?N,n?N时，?p?N，xn?p?xn??

n??（2）xn?1?xn?kxn?xn?1?0?k?1?

xn?p?xn?xn?p?xn?p?1?xn?p?1?xn?p?2?xn?p?2?...?xn?1?xn

??kn?p?2?kn?p?3?...?kn?1?x2?x1?故limxn?p?xn?0，故?xn?是柯西列。

n??kn?1?1?kp?1?kx2?x1

（3）

?xk?1nk?1?xk?M

N,当?xk，则?yn?单调递增有上界，故?yn?收敛，故???0,?解 令yn??xk?1nk?1m?1?n?1?N时，有ym?1?yn?1??。故xm?xm?1?xm?1?xm?2?...?xn?1?xn??，

于是???0,?N,当m?n?N?1时，有xm?xn??。故?xn?是柯西列。

3 证明limf?x?存在的充要条件为???0,?X?0，当x?,x??\?X时，恒有

x???f?x???f?x???\??。

证明：必要性。设limf?x??A????0,?X,当x?X时有f?x??A?x????2

故当x?,x??\?X时，有

f?x???f?x????f?x???A?A?f?x????f?x???A?A?f?x?????

充分性。???0,?X?0，当x?,x??\?X时，恒有f?x???f?x?????2。

设xn???n???，则???0,?N,当n?N时，有?p,fxn?p?f?xn??故数列f?xn?收敛，不妨设limf?xn??A。当n?N时，

n??????2

??A?f?xn??limf?xn?p??f?xn??p???2。

即当x?X时，取n?N,则xn?X，有

f?x??A?f?x??f?xn??f?xn??A?f?x??f?xn??f?xn??A??

故limf?x?存在。

x???注：也可利用第四节第6题的结论直接给出证明。

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