2020年高中数学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1-3.3.2两点间的距离优化练习

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3.3.1-3.3.2 两点间的距离

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．已知A(0,10)，B(a，－5)两点间的距离是17，则实数a的值是( ) A．8 B．－8 C．±8 D．18 解析：由两点间距离公式得a＋15＝17， ∴a＝64，∴a＝±8. 答案：C

2．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )

A．－2 B．－7 C．3

D．1

2

2

2

2

解析：因为线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0. 所以线段AB的中点?答案：C

3．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是( )

?m＋1，0?在直线x＋2y－2＝0上，解得m＝3.

?

?2?

?1?A．(5,2) B．(2,3) C.?－，3? D．(5,9)

?2?

解析：由(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0，得

k(2x－y－1)－x－3y＋11＝0，

??2x－y－1＝0，由???－x－3y＋11＝0，

??x＝2，

得???y＝3，

∴直线过定点(2,3)．

答案：B

4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为( ) A．6 B.2 C．2

D．不确定

b－a解析：由题意得kAB＝＝1，即b－a＝1，

5－4

所以|AB|＝答案：B

5．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上．若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点的坐标为( ) A．(1，－1) C.?

B．(－1,1) D．(－2,2)

－

2

＋b－a2

＝2.

?13，－13?

5??5?

解析：点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，连接A′B，

·

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－2＋3

则A′B与直线x＋y＝0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y＋3＝(x－1)，

5－113?1131313?13

即y＝x－，与x＋y＝0联立，解得x＝，y＝－，故P点的坐标为?，－?.

5?4455?5答案：C

6．若△ABC的三个顶点分别为A(－2,2)，B(3,2)，C(4,0)，则AC边的中线BD的长为________． 解析：由题知AC中点D的坐标为(1,1)，则由距离公式得|BD|＝5. 答案：5

7．已知点A(－2,2)，B(2,23)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，此时|PA|的值为________． 解析：设所求点P(x,0)，由|PA|＝|PB|得，

－

2

＋－

2

＝

x＋

2＋－

2＝x－

2

＋－23

2

，

化简得8x＝8，解得x＝1， 所以所求点P(1,0)，所以|PA|＝答案：13

8．若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为________．

??x＋y＋1＝0，

解析：解方程组?

?2x－y＋8＝0，?

＋

2＋－

2＝13.

??x＝－3，

得?

?y＝2，?

即两直线的交点坐标为(－3,2)，故实数

a满足

??－a≠－1，

3?a??－3≠2，a－＋3×2－5≠0，

1

a≠，??3解得?a≠3，

??a≠－6，

1

即实数a满足的条件为a∈R且a≠，a≠3，a≠－6.

31

答案：a∈R且a≠，a≠3，a≠－6

3

9．在直线2x－y＝0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为5，并求直线PM的方程． 解析：∵点P在直线2x－y＝0上， ∴可设P(a,2a)． 根据两点的距离公式得

|PM|＝(a－5)＋(2a－8)＝5， 即5a－42a＋64＝0，

·

22

2

2

2

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32

解得a＝2或a＝，

5∴P(2,4)或?

?32，64?.

??55?

y－8x－5y－8x－5

∴直线PM的方程为＝或＝，

4－82－56432

－8－555

即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0.

10．求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点P，且满足下列条件的直线方程． (1)过点Q(2，－1)；

(2)与直线3x－4y＋5＝0垂直． 解析：由?

?x－2y＋4＝0，?

??x＋y－2＝0，

得?

?x＝0，???y＝2，

∴P(0,2)．

3

(1)∵kPQ＝－. 2

3

∴直线PQ：y－2＝－x，

2即3x＋2y－4＝0.

3

(2)直线3x－4y＋5＝0的斜率为，

4

44

∴所求直线的斜率为－，其直线方程为：y－2＝－x，

33即4x＋3y－6＝0.

[B组 能力提升]

1．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( ) A．52 B．25 C．510

D．105

解析：根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5)． 所以|A′B|＝答案：C

2．函数y＝ x－2x＋2＋ x－6x＋13的最小值是( ) A.5 B.7 C.11 D.13 解析：y＝ x－2x＋2＋ x－6x＋13 ＝

2

2

22＋

2

＋＋

2

＝510.

x－

2

＋－

2

＋ x－

2

＋－

2

，

∴y表示x轴上的点P(x,0)到A(1,1)，B(3,2)两点的距离之和．

·

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如图，点B关于x轴的对称点B′(3，－2)， ∴|BP|＝|B′P|.又∵两点之间线段最短， ∴y的最小值为|AB′|＝ 答案：D

3．两直线l1：3ax－y－2＝0和l2：(2a－1)x＋5ay－1＝0，分别过定点A、B，则|AB|＝________. 解析：直线l1：y＝3ax－2过定点A(0，－2)，直线l2：a(2x＋5y)－(x＋1)＝0，过定点

??2x＋5y＝0?

?x＋1＝0?

－

2＋－2－

2＝13.

，

2?13?即B?－1，?，由两点间距离公式得∴|AB|＝.

5?5?13

答案：

5

4．已知△ABC的一个顶点A(2，－4)，且∠B，∠C的角平分线所在直线的方程依次是x＋y－2＝0，x－3y－6＝0，求△ABC的三边所在直线的方程．

解析：如图，BE，CF分别为∠B，∠C的角平分线，由角平分线的性质，知点A关于直线BE，CF的对称点A′，A″均在直线BC上． ∵直线BE的方程为x＋y－2＝0， ∴A′(6,0)．

∵直线CF的方程为x－3y－6＝0，

?24?∴A″?，?. ?55?

40－5

∴直线A′A″的方程是y＝(x－6)，

26－5即x＋7y－6＝0，这也是BC所在直线的方程．

??x＋7y－6＝0，由???x＋y－2＝0，

由?

?x＋7y－6＝0，?

??x－3y－6＝0，

42??得B?，?， ?33?得C(6,0)，

∴AB所在直线的方程是7x＋y－10＝0，

AC所在直线方程是x－y－6＝0.

·

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5．已知两直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋ay＝2a＋4(0

设两直线l1，l2的交点为C，且它们的斜率分别为k1和k2， 则k1＝∈(0,1)，

2

2

22

ak2＝－2∈?－∞，－?.

2?a?

∵直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2－a)，直线l2与x轴的交点B的坐标为(2＋a0)． 11?1?21522

∴SOACB＝S△OAC＋S△OCB＝(2－a)·2＋·(2＋a)·2＝a－a＋4＝?a－?＋.

22?2?4115

∴当a＝时，四边形OACB的面积最小，其值为. 24

2,

2

?

1?

·

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