巧用“三线合一”证题
更新时间:2023-08-30 14:37:01 阅读量: 教育文库 文档下载
巧用“三线合一”证题
“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质,在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用,供参考。 一. 直接应用“三线合一”
例1. 已知,如图1,AD是 ABC的角平分线,DE、DF分别是 ABD和 ACD的高。 求证:AD垂直平分EF
A
E
F
B D C
图1
分析:从本题的条件和图形特征看,欲证AD垂直平分EF,因为有 1 2,所以只要证 AEF为等腰三角形即可 证明: DE AB,DF AC 1 2,AD AD
Rt AED Rt AFD
AE AF 又 1 2
AD垂直平分EF
例2. 如图2, ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB于点K,求证:AB 3AK
分析:可考虑作DE//CK交AB于E,因为M是AD的中点,所以K是AE的中点,只要证E是BK的中点,问题可得到解决。由于有AB AC,AD BC,所以就想到用“三线合一”。
证明:过点D作DE//CK交BK于点E AB AC,AD BC BD DC, BE EK AM MD, AK KE AK KE EB AB 3AK
图2
二. 先连线,再用“三线合一”
例3. 如图3,在 ABC中, A 90,AB AC,D是BC的中点,P为BC上任一点,作PE AB,PF AC,垂足分别为E、F 求证:(1)DE=DF;(2)DE DF
C
图3
分析:(1)欲证二线段相等,容易想到利用全等三角形。观察DE为 BDE或 PDE
的一边,DF为 DFP或 DFC的边,但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点,于是我们想到连结AD一试,这时容易发现 AED CFD或
BDF ADF
问题得证。
(2)欲证DE DF,只要证 ADE ADF 90,即可 但由(1)已证出 ADE CDF 又 ADF CDF 90,故问题解决 证明:连结AD。 D是BC的中点 BAC 90,AB AC
1BC 2
DA平分 BAC,AD BC
1
DAB DAC BAC 45
2
B 45
AB AC,PF AC,PE AB 四边形PEAF是矩形
PE FA
AD BD BPE 45 B
BE PE AF
又 AB AC, E CF
又 EAD FCD 45,AD DC AED CFD DE DF
(2) AED CFD ADE CDF
又 ADF CDF 90 ADF ADE 90 即DE DF
三. 先构造等腰三角形,再用“三线合一”
例4. 如图4,已知四边形ABCD中, ACB ADB 90 ,M、N分别为AB、CD的中点,求证:MN CD
A M B
C
分析:由于MN与CD同在 MCD中,又N为CD的中点,于是就想到证 MCD为等腰三角形,由于MD、MC为Rt ADB、Rt ACB斜边AB上的中线,因此
图4
MD MC
1
AB,所以,问题容易解决。 2
证明:连结DM、CM
ACB ADB 90,M是AB的中点 DM CM
1AB 2
CMD是等腰三角形
又 N是CD的中点, MN CD
例5. 如图5, ABC中,BC、CF分别平分 ABC和 ACB,AE BE于E,AF CF于F,求证:EF//BC
C
图5
分析:由BE平分 ABC、AE BE容易想到:延长AE交BC于M,可得等腰 BMA,E为AM的中点;同理可得等腰 CAN,F是AN的中点,故EF为 AMN的中位线,命题就能得证。
证明:延长AE、AF分别交BC于M、N 1 2,AE BE BAM为等腰三角形
即AB MB, AE EM 同理AF FN
EF为 AMN的中位线 EF//MN, EF//BC
失败是成功之母---^
年级 内容标题 主题词 供稿老师 录入
初中
学科 数学
版本 分类索引描述
期数 辅导与自学 栏目名称 学法指导 审稿老师
巧用“三线合一”证题 巧用“三线合一”证题 韩秋荣 一校 康纪云 二校
分类索引号 G.622.46
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