多目标随即加权模糊线性规划

多目标随即加权模糊线性规划

第22卷第12期　　　　　　　　　　　　　荆门职业技术学院学报　　　　　　　　　　　　　　　2007年12月Vol.22No.12　　　　　　　　　　　　JournalofJingmenTechnicalCollege　　　　　　　　　　　　　Dec.2007

多目标加权模糊随机线性规划

刘　涛,孟晓谕

(郧阳医学院数理教研室,湖北十堰　442000)

[摘　要]　研究了资源量bi为随机变量的多目标随机线性规划问题,指出了多目标规划问题的目标一般不是同等

重要的,针对多目标模糊线性规划问题,利用模糊集合理论建立了相应等价的确定性加权模糊随机规划模型。算例表明本文给出的模型算法是有效的,具有广泛的应用价值。

[关键词]　多目标;模糊集合;随机线性规划;权重

[中图分类号]　O221.5　[文献标识码]　A　[文章编号]　1008-4657(2007)12-04

0　引言

在通常的线性规划max{g)|Axx中,利润系数向量c、技术系数矩阵A和资源向量b,上述系数c、A和b可能是随机变量,从而产生了随机规划。。解决随机规划问题的基本思想是将随。文献[1]首先引入“机会约束”的概念来处理随机不确定条件,文献[2]对单目标随机线性规划问题的研究情况作了比较全面的综述。但是在复杂的决策环境中,并不总能给出精确的目标值,文献[3]首先提出的模糊决策方法是解决模糊环境中决策问题的有效方法,文献[4-7]进一步建立了模糊线性规划决策方法。文献[8]依此方法建立了多目标随机线性规划问题的模糊求解方法,然而在实际应用中,各个目标常常具有不同的重要程度,并且不同时期,随着条件的变化各个目标的重要程度也在改变。针对此情况,本文提出了多目标随机线性规划的加权模糊优化模型,该模型不仅考虑了约束资源量是具有已知分布函数的随机变量,而且也考虑到了各个目标的不同重要程度,并得到了相应的等价确定性多目标规划模型,权重的改变不影响等价模型的形式,不增加求解的复杂程度和工作量。算例表明,本文给出的模型算法是有效的,具有广泛的应用价值。

T

1　多目标随机线性规划加权模糊优化模型

多目标随机约束线性规划问题可表示为下列模型(M1):

n

k

mg(x)=

n

∑cx,k

K

j

j

j=1

=1,2,…,p)

s.t.

k

∑a

j=1

ij

xjΦΕ1-αi,i=1,2,…,m

　　xjΕ0,j=1,2,…,n

其中cj和aij都是已知的确定常量,而bi是具有已知分布函数的随机变量,αi是由决策者根据实际情况

给定的概率,αi∈(0,1)

,i=1,2,…,m。上述约束条件

n

∑a

j=1

ij

xjΦΕ1-αi,i=1,2,…,m

(1)

[收稿日期]2007-09-15

[作者简介]刘　涛(1970-),男,湖北十堰人,郧阳医学院副教授,博士。研究方向:多目标规划及系统分析。E-mail:yymclt@。

68

多目标随即加权模糊线性规划

n

表示满足约束要求

T

∑a

j=1

ij

xjΦbi(i=1,2,…,m)的概率不能小于1-αi。为讨论简便起见,这里仅考虑x

=(x1,x2,…,xn)是确定性决策变量的情况。

假设资源量bi为具有下列指数分布函数的随机变量:

f(bi)=λiexp(-λibi),i=1,2,…,m数学期望为,方差为2,于是可将约束方程(1)转化成

λiλi

j=1

λexp(-λb)dbΕ1-α,i=1,2,…,m

∫∑

n

∞

aijxj

iiiii

简单积分可得:

n

-λi

∑a

j=1

ij

xΕ1-αi,i=1,2,…,m

也即:

n

∑

j=1

aijxjΦ-

ln(1-αi)

λi

n

i=1,,…,因此,模型(M1)2):

g(x)n

k

j=1

j,,2,…,p)

,i=1,2,…,m

t.

∑a

j=1

ij

xjΦ-

ln(1-αi)

λi

　　xjΕ0,j=1,2,…,n

若上述模型中的目标函数之一或约束条件之一具有模糊性,此规划问题就称为多目标模糊规划。由于多目标规划中的目标一般是相互矛盾的,因此应用中常常要求各个目标尽可能达到最优即可,解决这类问题的一种方法就是多目标模糊规划。

目前求解多目标模糊规划的方法是最大满意度法。它是在相同约束条件下确定每个目标的隶属函

k

数μ(g(x)),(k=1,2,…,p),然后定义η为最大满意度,它满足

η=maxmμ(g1(x)),μ(g2(x)),…μ(gp(x)该模型(M2)等价于下面普通单目标规划问题(M3):

ηmax

ηΦμ(gk(x)),k=1,2,…,p

n

ln(1-α)

s.t.∑aijxjΦ-,i=1,2,…,m

λij=1

　　xjΕ0,j=1,2,…,n

然而,在许多实际问题中,各个目标的重要程度是不一样的,因此用上面模糊描述并不合适。本文提出了下面多目标加权模糊规划模型(M4):

p

max

n

k=1

ωμ(g∑

k

k

(x))

,i=1,2,…,

m

s.t.

∑

j=1

aijxjΦ-

ln(1-αi)

λi

p

　　xjΕ0,j=1,2,…,n

式中ωk为目标g(x)的权重,满足:0ΦωkΦ1,

k

k=1

kkωμ(())(x)的隶属函数。=1,gx是gk∑

k

下面讨论如何求解模型M4。首先需要确定μ(g(x)),先利用单纯形法求解单目标线性规划问题:

69

多目标随即加权模糊线性规划

k

maxg(x)

n

s.t.

∑

j=1k

aijxjΦ-

ln(1-α)

λi

,i=1,2,…,m

　　xjΕ0,j=1,2,…,n

设上面单目标规划问题的最优解为x,并求该目标的上界u与下界l,即kkkk

u=g(x),l=mgk(xl)|l=1,2,…,k

则g(x)的隶属度函数可取为

kk0,g(x)Φl

kk()

μ(gk(x))kk,lkΦgk(x)Φuk

k

k

u-l

(2)

kk1,g(x)Εu

定理　在(2)式的假设下,模型(M4)与下面规划问题(M5)等价:

p

max

k=1

ωη∑

k

k

ηk(uk-lk)Φgk(x)lk,,2,p　　　0Φs.t.

n

jxj-

(1-)

i

,i=1,2,…,m

xjΕ0,j=1,2,…,n

模型(M5),可利用单纯形法就可得到最优解x及η,不难看出,x

就是要求的满意解。

如果原来的目标函数和随机约束方程均为非线性约束,则模型(M5)是非线性单目标规划问题,可

i

以用传统的非线性优化理论来解决;如果资源量b是服从其它如均匀分布、对数正态分布或伽玛分布等的随机变量,则可类似转化求解。

3

3

3

2　算例

考虑下面两目标随机约束线性规划为

max{10x1+5x2,3x1+7x2}prob{x1+x2Φb1}Ε0.94

s.t.

prob{4x1+3x2Φb2}Ε0.93prob{2x1+5x2Φb3}Ε0.91

　xjΕ0,j=1,2

其中bi(i=1,2,3)是指数分布随机变量,相应的数学期望分别为:E(b1)=7,E(b2)=9,E(b3)=8。于是,可得到如下等价的确定性多目标线性规划模型:

max{10x1+5x2,3x1+7x2}

x1+x2Φ0.433s.t.

4x1+3x2Φ0.6532x1+5x2Φ0.755

xjΕ0,j=1,2

3

如果按一般模糊规划模型(M3)求解方法可得此多目标随机线性规划问题的满意解x=31323

(0.11739,0.06114),相应的函数值为G=(g,g)=(1.47964,0.78017);如果认为这两个目标

ω2,按本文提出的模型(M4)及等价模型(M5),对几组不同权重求函数重要程度不同,权重分别为ω1、

解结果如表1所示。70

多目标随即加权模糊线性规划

表1　不同权重的计算结果

ω1,ω2

0.5,0.5

x

33

0.6,0.4(0.12896,0.04257)

0.8,0.2(0.14848,0.02694)(1.61950,0.63402)

(0.10652,0.07343)(1.43235,0.83357)

G

1.50475,0.69106)

31

ω2的　　从表1可以看出,随着ω1增大,x取值向单目标g(x)的最优解(0.16325,0)逼近,说明ω1、

大小确实代表了不同目标的不同重视程度。

3　结论

本文针对实际决策问题中经常碰到的资源量bi为随机变量且各个目标具有不同重要程度的情况,提出了多目标随机线性加权模糊规划模型,并用模糊集合理论把该模型转化为普通单目标线性规划问题。应用中可根据实际情况调整、确定权重,以适应不同的要求。

本模型有如下特点:

1)模型是单目标规划模型的推广;

2)如果约束条件有模糊性,可将约束条件模糊化;

3)对于利润系数cj或技术系数aij,但要复杂一些。

[参考文献]

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[6]CadenasJM,ingrankingfunctionsinmultiobjectivefuzzylinearprogramming[J].FuzzySetsSys2

tems,2000(111):47-53.

[7]MalekiHR,TataM,MashinchiM.Linearprogrammingwithfuzzyvariable[J].FuzzyandSystems,2000(109):21-33.

[8]刘德峰.多目标随机线性规划问题的模糊求解方法[J].应用数学与计算数学学报,1998,12(1):64-70.

Multi-objectiveWeightedFuzzyStochasticLinearProgramming

LIUTao,MENGXiao-yu

(DepartmentofMathematicsandPhysics,YunyangMedicalCollege,Shiyan,Hubei,442000,China)Abstract:Thispaperhasinvestigatedthemulti-objectivestochasticlinearprogrammingproblemswheretheresourcevalues,i.e.,onlyarerandomvariables,pointedthateveryobjectiveimportantdegreecommonlyisdifferent,builttheequivalentdeterministicweightedprogrammingmodelbasedonfuzzysettheoryformulti-objectivefuzzystochasticlinearprogramming.Casestudyshowsthatthemodelareefficientandhavesignifi2cantpracticalvalue.

Keywords:multi-objective;fuzzyset;stochasticlinearprogramming;weighted

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4kr4.html