概率习题集

福州大学至诚学院《概率论与数理统计》课外习题

_______系 _______专业______班 姓名______学号_______

第一章 随机事件及其概率 §1.1样本空间与随机事件

一 选择题000

1. 若A，B，C为三事件，则A，B，C中不多于一个发生可表为（ ）

A．A?B?C B．AB?AC?BC C．A?B?C D．AB?AC?BC 2. 设AB?C，则（ ）.

A．AB?C B．A?C且B?C C．A?B?C D．A?C或B?C 3.设?={1,2,?,10}，A={2,3,4}，B={3,4,5}，则A?B=（ ） A．{2,3,4,5} B.{1,2,3} C. ? D. ?

4.从一大批产品中任抽5件产品，事件A表示：“这5件中至少有1件废品”，事件B表示 “这5件产品都是合格品”，则AB表示（ ）

A．所抽5件均为合格品 B.所抽5件均为废品 C.不可能事件 D.必然事件

二. 填空题

1. 设A，B为任意两个随机事件，则(A?B)B= 2 设有事件算式(AB)?(AB)?(AB)?(AB)，则化简式为 3.设S?{1,2,?,10}，A?{2,3,4}，B?{3,4,5}，C?{5,6,7}，具体写出下列各式. （1）AB= （2）A?B= _（3）AB= __ （4）ABC= _（5）A(B?C)=

4．从标有1，2，3的卡片中无放回抽取两次，每次一张，用(?,?)表示第一次取到的数字x，第二次取到y的事件，则样本空间?= ，P(????3)= 。

1

三. 试写出下列随机试验的样本空间：

（1）记录一个班级一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；

（2）一射手对某目标进行射击，直到击中目标为止，观察其射击次数；

（3）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标；

（4）观察甲、乙两人乒乓球9局5胜制的比赛，记录他们的比分.

四. 设A，B，C为3个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件： （1）A发生；

（2）A不发生，但B，C至少有1个发生；

（3）3个事件恰好有1个发生；

（4）3个事件至少有2个发生；

（5）3个事件都不发生；

（6）3个事件最多有1个发生；

（7）3个事件不都发生.

2

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第一章 随机事件及其概率 §1.2概率的直观定义

一 选择题

1．袋中有8只红球，2只白球， 从中任取2只，颜色相同的概率为（ ） A．

1645 B.

110 C.

2945 D.

210

2．从一副除去两张王牌的52张牌中，任取5张，其中没有A牌的概率为（ ） A．

二.填空题

1. 两封信随机地投入4个邮筒，则第一个邮筒只有一封信的概率为___________ 2.设箱中有50件一等品，20件二等品及10件三等品，现从中任取3件，试求：

(1) 3件都是一等品的概率__________

(2) 2件是一等品，1件是二等品的概率__________ (3) 一等品，二等品，三等品各有1件的概率__________ 3. 掷两颗骰子，它们出现的点数之和等于7的概率是__________

4. 设箱中装着标有1~36的36个号码球，今从箱中任取7个，求“恰有4个球的号码能被5整除”的概率__________

三.计算题

1. 设号码锁有6个拨盘，每个拨盘上有从0到9的10个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个6位数号码（开锁号码）时，锁才能打开，如果不知道开锁号码，试开一次就能把锁打开的概率是多少？如果要求这6个数字全不相同，这个概率又是多少？

3

4852 B.

C485C525 C. (1213)5 D.

C485255

2. 从数字1，2，3，4，5，中任取3个，组成没有重复的3位数，试求：

（1）这个3位数是5的倍数的概率；

（2）这个3位数是偶数的概率；

（3）这个3位数大于400的概率.

3. 在房间里有10个人，分别佩戴着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码.

（1）求最小的号码为5的概率.

（2）求最大的号码为5的概率.

4.（会面问题）两人相约于8时至9时之间在某地会面，先到者等候另一个人15分钟后即可离开，求两人能够会面的概率.

4

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第一章 随机事件及其概率 §1.3概率的公理化定义

一. 选择题

1. 设A，B为随机事件，AB??，P（A）=0.4，P(A?B)=0.7，则P（B）=（ ） A．0.3 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 2.已知P(A)?a2，P(B)?b2，P(AB)?ab，则P(AB?AB)=（ ） A．a2?b2 B. (a?b)2 C. 2ab D. a2?ab 3．下列正确的是：（ ）

A．P(A)=1，则A为必然事件 B．P(B)=0，则B?? C．P(A)?P(B)，则A?B D．A?B则P(A)?P(B) 二. 填空题

1. 当A与B互不相容时，P（A?B）= __________ 2. 若P(A)?12，P(B)?13且B?A，则P(A?B)= __________

143.设A,B,C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?至少有一个发生的概率__________

三 计算题

，P(AB)?P(CB)?0，P(AC)?18，求A,B,C1.已知P(A)=a,P(B)=b,P(AB)=c,求以下概率：

（1）P (A?B)； （2） P (AB)； （3）P（AB）； （4）P (A?B).

5

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第一章 随机事件及其概率 §1.5事件的独立性

一.选择题

1．甲、乙、丙三人独立地向目标射击一次，其命中率分别为0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为（ ）

A．0.9 B．0.92 C．0.94 D．0.95 2．设A，B独立，则下面错误的是（ ）

A．A,B独立 B. A,B独立 C. P(AB)?P(A)P(B) D. AB?? 3.设P(A)>0，P(B)>0，则由A，B相互独立不能推出（ ） A．P(A|B)?P(A) B. P(A?B)?P(A)?P(B) C. P(B|A)?P(B) D. P(BA)?P(B)P(A)

4．每次试验成功概率为P（0

二.填空题

1. 设A,B为二相互独立的事件，P(A?B)?0.6，P(A)?0.4，则P(B)=

2. 加工一产品经过三道工序，第一，二，三道工序不出废品的概率为0.9，0.95，0.8，若假定各工序是否出废品为独立的，则经过三道工序而不出废品的概率为 。 3. 设P(A)?

11

12，P(B)?13，若A、B独立，则P(A?B)= ，P(A?B)=

三.计算题

1.制造一种零件采用两种工艺，第一种工艺有三道工序，每道工序的废品率分别为0.1，0.2，0.2；第二种工艺有两道工序，每道工序的废品率均为0.3，如果采用第一种工艺，在合格品中一级品率为0.8，而采用第二种工艺，在合格品中一级品率为0.9，问：哪一种工艺能保证得到一级品的概率较大？

2.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格品不能出厂，现该厂生产了n（n≥2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求：

（1） 全部能出厂的概率α；

（2） 其中恰好有两件不能出厂的概率β； （3） 其中至少有两件不能出厂的概率γ.

3．在一批产品中有1%的废品，试问：任意选出多少件产品，才能保证至少有一件废品的概率不小于0.95？

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第一章 随机事件及其概率 习题课

一.选择题

1. .已知A，B，C两两独立，P(A)?P(B)?P(C)? A．

1401215，P(ABC)?110，则P(ABC)= （ ）

14 B.

120 C. D.

2. .一批产品100件，其中95件正品，5件废品，从中逐件抽取，则第二次抽得废品的概率为（ ） A．

599 B．

5100 C．

95100?599 D．

5100?499

3．设A，B为随机事件且P（AB）=0，则必有（ ）

A．A，B对立 B.A，B互不相容 C.A，B独立 D.A，B未必是不可能事件 4．袋中有2个白球一个红球，甲从袋中任取一球，放回后，乙再从中取一球，则甲、乙两人取得球同色的概率为（ ）

A．1/9 B. 2/9 C. 4/9 D. 5/9

二．填空题

1．从1，2，3，4，5五个数码中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于

300的概率为

2．设两两独立的三个事件A，B，C满足ABC??，且P(A)?P(B)?P(C)?x，则当x=

时，P（A?B?C）=

34。

3．在整数0至9中任取4个，能排成偶数的概率P=

三．计算题

1．设A,B,C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?至少有一个发生的概率。

13

14P(AC)?，P(AB)?P(CB)?0，

18，求A,B,C

2. 从0，1，2，…,9等10个数字中任意选出3个不同数字，试求下列事件的概率。

A1?{3个数字中不含0和5}；A2?{3个数字中不含0或5}； A3?{3个数字中含0但不含5}；

3．在区间（0，1）中随机地取两个数，试求事件“两数之和小于5/6”(事件A)的概率 .

4. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6。若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。

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第一章 随机事件及其概率 自测题

一、

选择题

1． 设A，B是任意两个事件，那么P(A?B)=（ ）

（A）P(A)?P(B) （B）P(A)?P(B)?P(AB) （C）P(A)?P(B)?P(A?B) （D）P(A)?P(B)?P(AB) 2． 设A?B且相互独立，则（ ）.

（A）P(A)?0 （B）P(A)?0或P(B)?1 （C）P(A)?1 （D）上述都不对 3． 设随机事件A与B互不相容，并且P(A)?0,P(B)?0，则（ ）.

（A）P(A)?1?P(B) （B）P(AB)?P(A)P(B) （C）P(A?B)?1 （D）P(AB)?1 4． 设A，B为随机事件，P(A)?0,P(A|B)?1，则必有（ ）.

（A）P(A?B)?P(A) （B）A?B （C）P(A)?P(B) （D）P(AB)?P(A) 二、

填空题

1． 将两封信随机地投入4个邮筒中，则未向前两个邮筒投信的概率为 . 2. 设P(A)?P(B)?P(C)?率为 .

3．设随机事件A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且

P(A)?13,则P(B)?1313，且A,B,C相互独立，则A,B,C至少有一个出现的概

. 12，如果

4. 设P(A)?

，P(B)?A与B互不相容，则P(BA)= . 15

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第三章 多维随机变量及其分布 §3.1~3.2二维随机变量及其分布

一、填空

１、设X与Y相互独立，X在[0，1]上服从均匀分布，Y在[-1，1]上也服从均匀分布，则(X,Y)联合分布密度f(x,y)????____________________________

2、设二维随机变量（Ｘ、Ｙ）的联合分布列为

X Y １ -1 0 2919２ a6143 14 2a a=_____________

3、设r.v.（?，?）～f(x,y)?2 ，(x,y)?R2，则c=______,?的边缘密度22?(4?x)(9?y)函数f?(x)＝_______________

二、选择

１、设X与Y独立同分布，且P(X?0)?P(X?1)?12c，则（ ）.

12（A）X?Y （B）P(X?Y)?1 （C）P(X?Y)?0 （D）P(X?Y)?

2、 设二维随机变量(X,Y)服从G上的均匀分布，G的区域由曲线y?x2与y?x所围，则

(X,Y)的联合概率密度函数为 ?6,f(x,y)???0,?2,f(x,y)???0,(x,y)?G其他 . ?1/6,?0,(x,y)?G其他(A)； (B)f(x,y)??

(C)(x,y)?G其他； (D)?1/2,f(x,y)???0,(x,y)?G其他

31

3、设随机变量（Ｘ、Ｙ）的联合概率密度为f(x,y)??＜0.5，Y＜0.6）为（ ）

(A)?1?00?x?1,0?y?1其它，则概率P(X

0.5 (B)0.3

(C)0.875

(D)0.4

三、计算

1、设二维随机变量(X,Y)在矩形域a?x?b,c?y?d内服从均匀分布，求（1）求联合分布密度与边际分布密度；（2）检验随机变量X,Y是否独立

２、已知二维随机变量(X,Y)联合分布密度为

?Ae?(x?2y),x?0,y?0，求：（1）Af(x,y)??其它?0的

值；（2）X,Y边缘分布密度；（3）X与Y是否相互独立

３、设随机变量（X，Y）的概率密度为

?1?(x?y),f(x,y)??8?0?0?x?2,0?y?2其它 ，（1）求X，

Y的边缘分布密度；（2）求概率P(Y?X)。

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第三章 多维随机变量及其分布 §3.3~3.4二维随机变量的分布

一、选择

１、设X与Y相互独立，且P(X?0)?P(Y?0)?（A）

二、填空

１、设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,0?y?2?2x上服从均匀分布。求随机变量

Z?X?Y13，则P(max{X,Y}?0)?（ ）.

1319 （B） （C） （D）

9958

的分布函数F(z)＝_________________

122、设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1,1),Y～N(0,)，Z?X?2，求随机变量Z的概率密度为________________

３、设X～N(1,3)，Y～N(2,2)，且X与Y相互独立，则X－Y～ _____________

三、计算

１、设随机变量U与V相互独立，且P(U?0)?P(U?1)?12，P(V?0)?23，P(V?1)?13，

记X?min?U,V?，Y?max{U,V}求（1）X,Y的分布律，（2）(X,Y)的分布律.

33

２、 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)????6x,0,0?x?y?1其他， 求

(yx?1/3)；

（1）X,Y的边缘密度函数； （2）当X?1/3时，Y的条件密度函数fY（3）P(X?Y?1).

X３、设随机变量X在(0,a)上随机地取值，服从均匀分布，当观察到X?x(0?x?a)时，Y在区间(x,a)内任一子区间上取值的概率与子区间的长度成正比， 求：(1 ) (X,Y)的联合密度函数f(x,y)； (2 ) Y的密度函数fY(y).

4、设随机变量X，Y相互独立，且D（X）=25，D（Y）=144，D（Z）=81，U=X+Y，V=Y+Z。求相关系数?XY

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第三章 多维随机变量及其分布 习题课

一、填空

1、设随机变量（X，Y）的联合分布为__________

２、设二维随机变量（Ｘ、Ｙ）的联合分布列为

X Y １ １ ２ 161322??A(1?x?y),f(x,y)???0,?x?y其它22?1,则系数A＝

２ 193 118 ? 则?，?应满足条件__________;若Ｘ与Ｙ相互独立，则?＝_________，?＝________ 3、已知X与Y同分布，且分布列为P（X=－1）=

14，P（X=0）=

12，P（X=1）=

14，且满

足P（XY=0）=１，P（X=Y）= 。

二、计算

１、设随机随机变量Ｘ随机地在１，２，３这三个整数中任取一个，另一个随机变量Ｙ随机地在１～Ｘ中任取一整数值，求（Ｘ，Ｙ）的分布律。

35

２、设(X,Y)联合密度为

?kxef(x,y)???0?x(1?y),x?0,y?0其它，求：

（1）k的值，（2）X,Y的边缘密度，（3）X,Y是否相互独立？

３、设r.v. (?,?)的分布函数为F(x,y)= A(arctgx2??2)(arctgy3??2)，(x,y)?R2，试求（1）A，

（2）(?,?)的密度函数f(x,y)，（3）求?与?的边缘概率密度f?(x)，f?(y)，（4）?，?独立否？

４、设平面区域D由直线

x2?y?1与x轴，y轴围成，(X,Y)在D内服从均匀分布，求：（1）

（2）X,Y(X,Y)联合分布密度；

边缘分布密度.

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第三章 多维随机变量及其分布 自测题

一、填空

１、已知X与Y独立同分布，且分布列为P（X=0）== 。

2、设（X，Y）在D??(x,y):0?x?2,0?y?1?上均匀分布，则P(X?Y?1)?______ 3、随机变量（X，Y）的联合颁布函数为F(X，Y)，则（X，Y）关于的边缘分布函数FY(y)为__________________ 二、计算

１、设(X,Y)联合分布为 （1）问X与Y是否相互独立？ （2）求max?X,Y?的分布列。

X 1 2

２、设随机变量(X,Y)的概率密度为

?1?(x?y),0?x?2,0?y?2f(x,y)??8?0,其它 ?18381323，P（X=1）=，则P（X=Y）

Y 1 2 3 11214 12418 ，

(1)求X，Y的边缘分布密度， (2)求概率P(Y?X)。

37

3、在面积为1的正方形中均匀地选取一点,设正方形的顶点为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)。令X和Y表示被选取的点的坐标，求：（1）X，Y的边缘概率密度；（2）(X,Y)到正方形中心的距离大于的概率

41

５、．设(X,Y)的分布律为

X 0 1 3 求：（1）Z?X?Y的分布律； （2）Z?max(X,Y)的分布律

Y 0 3

0.1 0.2 0.2 0.1 0.3 0.1 ４、（12分）设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

X Y 1 2 1 0.2 0.1 2 0.1 0.2 3 0.3 0.1 (1)求X,Y的边缘分布律； (2)判断X与Y是否独立？

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第四章 随机变量的数字特征 §4.1数学期望

一、选择

１、如果随机变量X1,X2不相互独立，则E(X1?X2)=（ ）

A．E(X1)?E(X2) B. E(X1)?E(X2) C. E(X1)?E(X2)?E(X1X2) D.以上都不对

２、设r.v. ?～N(1,1)，则E(1??)2=（ ）

A．0 B.2 C.1 D.不存在

３、设随机变量X服从二项分布B(10,0.2)，Y服从参数为2的泊松分布，且X，Y相互独 立，则E(2X?3Y?1)=（ ）

A．-3 B.15 C.-1 D.3 二、填空

?e?x１、设?的密度函数为f(x)???0x?0x?0，??e?2x，则E?=_________________

２、已知r.v. ?～U[0，1]，则Ee?= 。 ３、设随机变量X满足E(?2X)?12，则E(X)三、计算

１、设随机变量X的分布列为

X P -1 0.2 X22?__________________

0 0.3 1 0.2 2 0.3 求：（1）Y?

的分布列；（2）数学期望E(Y).

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?1?1x?e5２、已知?～p(x)??5?0?x?0x?0，求?不超过自己数学期望的概率。

３、设随机变量X和Y独立，都在区间?1,?3上服从均匀分布；引进事件

A?{X?a},B?{Y?。a}

79（1）已知P(A?B)?

，求常数a；（2）求

1X的数学期望。

４、 “新天地”某酒吧柜台前有吧凳7张，此时全空着，若有2陌生人进来随机入座， （1） 求：这2人就座相隔凳子数的分布律和期望；

（2） 若服务员预言这2人之间至少相隔2张凳子，求：服务员预言为真的概率.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4kf.html