【推荐重点】2019高中数学 第1章 统计案例 1.2 回归分析学案 苏教版选修1-2

1 1.

2 回归分析

1．线性回归模型

(1)线性回归模型y ＝a ＋bx ＋ε，其中a ＋bx 是确定性函数，ε称为随机误差．

(2)随机误差产生的原因主要有以下几种： ①所用的确定性函数不恰当引起误差； ②忽略了某种因素的影响； ③存在观测误差．

(3)在线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中

b ^＝∑i ＝1n x i －x －y i －y

－∑i ＝1n x i －x －2＝∑i ＝1

n

x i y i －n x －y

－∑i ＝1

n

x 2i －n x －2

，

a ^＝y －－

b ^x －(其中x －＝1n ∑i ＝1n x i ，y －＝1n ∑i ＝1

n

y i )．

其中，a ^，b ^分别为a ，b 的估计值，a ^称为回归截距，b ^称为回归系数，y ^称为回归值．

2．相关系数

(1)计算两个随机变量间线性相关系数的公式 ∑i ＝1n x i －x －2∑i ＝1

n

y i －y －2

＝∑i ＝1

n

x i y i －n x －y

－∑i ＝1n

x 2i －n x －2

∑i ＝1

n

y 2i －n y

－2

2 (2)r 具有如下性质：

①|r |≤1；

②|r |越接近于1，x ，y 的线性相关程度越强；

③|r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱．

3．对相关系数进行显著性检验的基本步骤

(1)提出统计假设H 0：变量x ，y 不具有线性相关关系；

(2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n －2在教材附录1中查出一个r 的临界值r 0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)；

(3)计算样本相关系数r ；

(4)作出统计推断：若|r |>r 0.05，则否定H 0，表明有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系；若|r |≤r 0.05，则没有理由拒绝原来的假设H 0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y 与x 之间有线性相关关系．

我们把相关关系(不确定性关系)转化为函数关系(确定性关系)，当两个具有相关关系的变量

近似地满足一次函数关系时，我们所求出的函数关系式y ^＝a ^＋b ^x 就是回归直线方程．求回归直线

方程的一般方法是借助于工作软件求出回归直线方程，也可以利用计算器计算出b ^，再由a ^＝y －－b

^x －求出a ^，写出回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^

.计算时应注意：

(1)求b ^时，利用公式b ^＝∑i ＝1

n x i y i －n x － y

－∑i ＝1

n

x 2i －n x －2

，先求出x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )，y －＝1n

(y 1＋y 2＋…＋y n )，∑i ＝1n x i y i ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n ，∑i ＝1

n x 2

i ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n .再由a ^＝y －－b ^x －求出a ^

的值，并写出回归直线方程．

(2)线性回归方程中的截距a ^和斜率b ^都是通过样本估计而来的，存在着误差，这种误差可能导

致估计结果的偏差．

(3)回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中的b ^表示x 增加1个单位时，y ^的变化量为b ^，而a ^表示y ^不随x 的

变化而变化的部分．

(4)可以利用回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 求在x 取某一个值时y 的估计值．

3

[例1] 假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：

若由数据可知，y 对x 呈线性相关关系． (1)求线性回归方程；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

[思路点拨] 由于题目条件已经指明y 对x 呈线性相关关系，所以可直接利用公式求a ^与b ^

，然后求出线性回归方程，最后把10代入，估计维修费用．

[精解详析] (1)列表如下：

经计算得：x －＝4，y －＝5，∑i ＝1

5x 2

i ＝90，∑i ＝1

5

x i y i ＝112.3，

于是b ^＝

∑i ＝1

5

x i y i －5x －y

－

∑i ＝1

5

x 2

i －5x －

2

＝1.23，a ^＝y －－b ^·x －

＝0.08，

所以线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^

＝1.23x ＋0.08.

(2)当x ＝10时，y ^

＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元．

4 [一点通] 若题目中没有指明y 对x 呈线性相关关系，而只给出资料，则需根据散点图或利用线性相关系数先确定变量是否线性相关，再求线性回归方程．

1．(辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支

出平均增加0.254万元．

答案：0.254

2．(湖北高考改编)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；

②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；

③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；

④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.

其中一定不正确的结论的序号是________．

解析：由回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，知当b ^＞0时，x 与y 正相关，当b ^＜0时，x 与y 负相关，

所以①④一定错误．

答案：①④

3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时的销售额为

________万元．

解析：∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544

＝42.

5 又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，

∴42＝72

×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1. ∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.

∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．

答案：65.5

4．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

(1)求回归直线方程y ^＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －－b x －；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)

解：(1)由于x ＝16

(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5， y ＝1

6

(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.

所以a ＝y －bx ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250.

(2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)

＝－20x 2

＋330x －1 000 ＝－20?

????x －3342

＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，

L 取得最大值．

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.

[例2] 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：

6

其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩． (1)y 与x 是否具有相关关系？

(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程．

[思路点拨] 可先计算线性相关系数r 的值，然后与r 0.05比较，进而对x 与y 的相关性做出判断．

[精解详析] (1)由已知表格中的数据，求得x －＝71，y －＝72.3，

r ＝∑i ＝110 x i －x

－y i －y

－∑i ＝110 x i －x

－2 ∑i ＝110 y i －y －2

≈0.78. 由检验水平0.05及n －2＝8，在课本附录1中查得r 0.05＝0.632，因为0.78>0.632，

所以y 与x 之间具有很强的线性相关关系．

(2)y 与x 具有线性相关关系，设回归直线方程为

y ^＝a ^＋b ^x ，则有b ^

＝∑i ＝1

10 x i －x

－y i －y －∑i ＝110 x i －x

－2

≈1.22， a ^＝y －－b ^x －＝72.3－1.22×71＝－14.32.

所以y 关于x 的回归直线方程为y ^＝1.22x －14.32.

[一点通] 判断x 与y 是否具有线性相关关系，还可以先作出散点图，从点的分布特征来判定是否线性相关．有些同学不对问题进行必要的相关性检验，直接求x 与y 的回归直线方程，它就没有任何实际价值，也就不能准确反映变量x 与y 间的变化规律．另外，要注意计算的正确性．

5．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则r 1与r 2的关系为________．

7

解析：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2＜0，所以有r 2＜0＜r 1.

答案：r 2＜0＜r 1

6．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝1

2x ＋1上，则这组样本数据的样本相

关系数为________．

解析：样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y ＝1

2x ＋1上，样本

的相关系数应为1.

答案：1

7．为了了解某地母亲身高x 与女儿身高y 的相关关系，现随机测得10对母女的身高，所得数据如下表所示：

试对x 与y 进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161 cm 时，女儿的身高为多少？ 解：作线性相关性检验．

x －＝1

10×(159＋160＋…＋157)＝158.8，

y －＝1

10

×(158＋159＋…＋156)＝159.1，

∑i ＝1

10

x 2

i －10(x －

)2＝(1592＋1602＋…＋1572)－10×158.82

＝47.6， ∑i ＝1

10

x i y i －10x －y －

＝(159×158＋160×159＋…＋157×156)－10×158.8×159.1＝37.2，

∑i ＝1

10

y 2

i －10(y －

)2＝(1582＋1592＋…＋1562)－10×159.12

＝56.9，

8 因此r ＝

∑i ＝110

x i y i －10x －y

－[∑i ＝110x 2i －x －2][∑i ＝1

10

y 2i －y －2]

＝37.2

47.6×56.9≈0.71. 由检验水平0.05及n －2＝8，在课本附录1中查得r 0.05＝0.632，因为0.71>0.632，所以可以认为x 与y 有较强的相关关系，因而求回归直线方程有必要．

又b ^＝∑i ＝110

x i y i －10x －y

－∑i ＝110

x 2

i －x －2

＝

37.2

47.6≈0.78， a ^＝159.1－0.78×158.8≈35.2，

由此得回归直线方程为y ^＝35.2＋0.78x ，回归系数b ^＝0.78反映出当母亲身高每增加1 cm 时

女儿身高平均增加0.78 cm ，a ^＝35.2可以理解为女儿身高中不受母亲身高影响的部分，当母亲身

高为161 cm 时女儿身高为y ^＝0.78×161＋35.2＝160.78≈161(cm)，这就是说当母亲身高为161 cm

时，女儿身高大致也为161 cm.

1．求线性回归方程的方法

确定线性回归方程的基本步骤为：

(1)先求b ^；(2)再求a ^；(3)写出方程y ^＝b ^x ＋a ^.

2．分析两个变量的相关关系常用的方法

(1)散点图法．该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．

(2)相关系数法．该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r |越接近于1，相关程度越强，|r |越接近于0，相关程度越弱．

9

一、填空题

1．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的序号是________．

①直线l 过点(x ，y )；

②x 和y 的相关系数为直线l 的斜率；

③x 和y 的相关系数在0到1之间；

④当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同．

解析：因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关程度越强，所以②③错误；④中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以④错误；根据回归直线方程一定经过样本中心点可知①正确．

答案：①

2．(湖北高考改编)根据如下样本数据

得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则下列说法正确的是________．(填序号)

①a >0，b >0 ②a >0，b <0

③a <0，b >0 ④a <0，b <0

解析：由表中数据画出散点图，如图，

10

由散点图可知b <0，a >0，故②正确． 答案：②

3．设有一个回归方程为y ^

＝2－2.5x ，则变量x 每增加一个单位时，y ________．

解析：由回归系数的意义可知当变量x 增加一个单位时，y ^的平均改变量为b ^

，由题目回归方程y ^

＝2－2.5x ，

可得当变量x 增加一个单位时，y ^

平均减少2.5个单位． 答案：平均减少2.5个单位

4．某数学老师的身高是176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.

解析：设父亲身高为x cm ，儿子身高为y cm ，则

x ＝173，y ＝176，b ^

＝

0×（－6）＋（－3）×0＋3×602

＋9＋9

＝1，a ^＝y －b ^x －

＝176－1×173＝3，∴y ^＝x ＋3，当x ＝182时，y ^

＝185.

答案：185

5．为了对学业水平测试成绩进行分析，在得分60分以上的全体同学中随机抽取8位．他们的物理、化学成绩如下：

若用变量x ，y 分别记作物理成绩和化学成绩，则x ，y 之间的线性相关系数r 为________． (参考数据：x －≈85，y －

＝81，∑i ＝18

(x i －x －

)2

≈457，∑i ＝18

(y i －y －

)2

≈550，∑i ＝1

8

(x i －x －

)(y i －

y －

)≈501，457≈21.4，550≈23.5)

11 解析：r ＝

∑i ＝18

（x i －x －）（y i －y －

）

∑i ＝18 （x i －x －）2

∑i ＝18 （y i －y －

）2 ≈501

457×550≈50121.4×23.5≈0.996. 答案：0.996

二、解答题

6．某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：

且已知产量x 与单位成本y 具有线性相关关系．

(1)求出线性回归方程；

(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？

(3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？

解：(1)n ＝6，x －＝3.5，y －＝71，

＝1 481－6×3.5×7179－6×3.5

2≈－1.82， a ^＝y －－b ^x －＝71＋1.82×3.5＝77.37，

则线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝－1.82x ＋77.37.

(2)因为单位成本平均变动b ^＝－1.82＜0，且产量x 的计量单位是千件，所以根据回归系数b ^的

意义有产量每增加一个单位即1 000件时，单位成本平均减少1.82元．

12 (3)当产量为6 000件，

即x ＝6时，代入线性回归方程，

得y ^＝77.37－1.82×6＝66.45(元)．

即当产量为6 000件时，单位成本大约为66.45元．

7．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：

(1)利用散点图或相关系数r 的大小判断变量y 对x 是否线性相关？为什么？

(2)如果y 对x 有线性相关关系，求线性回归方程；

(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？

(最后结果精确到0.001，参考数据：656.26≈25.617，16×11＋14×9＋12×8＋8×5＝438，162＋142＋122＋82＝660，112＋92＋82＋52

＝291)

解：(1)∵x －＝12.5，y －＝8.25，

∑i ＝1

4 (x i －x －)(y i －y －

)＝25.5，

∑i ＝14

x i －x －2∑i ＝1

4 y i －y －2＝656.25≈25.617， ∴r 0.05≈0.995，由检验水平0.05及n －2＝2，在附录1中查得r 0.05＝0.950，因为0.995>0.950，∴y 与x 有线性相关关系．

(2)∵∑i ＝14

(x i －x －)2＝35，∴b ^≈0.729，a ^＝y －－b ^x －≈－0.863.

∴线性回归方程为y ^＝0.729x －0.863.

(3)0.729x －0.863≤10，解得x ≤14.901.

故机器运转速度应在14转/秒之内．

8.(重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月

13 储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝1

10

x 2

i ＝720.

(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；

(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

解：(1)依题意得：

b ^＝∑i ＝1

n

x i y i －n x － y

－∑i ＝1

n

x 2i －n x

－2

＝184－10×8×2

720－10×82＝0.3，

a ^＝y －－

b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4，

故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.

(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．

(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4kdi.html