北京市西城区2012年中考二模数学试题及答案

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北京市西城区2012年初三二模试卷

数 学 2012. 6

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1． 8的倒数是

A.8 B. 8 C.

18

D.

18

23 4 5． 6 7 8 9． 10

11

12依此规律得到一系列点Bn（n为正整数），则点B1的坐标为，点Bn的坐标为

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三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：() 1 (π 3)0 6cos45

14．已知x2 2x 4 0，求代数式x(x 2)2 x2(x 6) 3的值．

15．如图，点F，G分别在△ADE的AD，DE边上，C，B依次为GF延长线上两点，AB=AD，∠BAF=∠CAE，∠B=∠D. (1)求证：BC=DE；

(2)若∠B=35°，∠AFB=78°

16．已知关于x的一元二次方程 (1)求m的取值范围；

(2)当m

17. 如图，在平行四边形ABCD(1)求证：四边形AEFD(2)若∠A=60°，AB=2AD=4

18. 了“（图中信息

请根据以上信息回答下面问题： (1) 同学们一共随机调查了

(2) 如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持“强制戒烟”方式的概率是； (3) 如果该社区有5 000人，估计该社区支持“警示戒烟”方式的市民约有人．

1

5

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四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿 A小区的北偏东60 方

向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30 方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行2000米到达C处，此时测得M小区位于北偏西60 方向．现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短．

(1)问：MN与AC满足什么位置关系时，从N到M小区 铺设的管道最短？

(2)求∠AMC的度数和AN

20．如图，在平面直角坐标系点B，点D在y轴的负半轴 半轴上的点C处.

(1)求AB的长和点C(2)求直线CD的解析式．

21．如图，BC是⊙O的直径，A的延长线与BC (1)求证：AP是⊙O的切线；

22. 阅读下列材料

小华在学习中发现如下结论：

如图1，点A，A1，A2在直线l上，当直线l∥BC时，

(2)若OC=CP，S ABC S A1BC S A2BC.

请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：

(1)如图2，已知△ABC，画出一个等腰△DBC，使其面积与△ABC面积相等； ．．

(2)如图3，已知△ABC，画出两个ABC面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)； ．．Rt△DBC，使其面积与△．．． (3)如图4，已知等腰△ABC中，AB=AC，画出一个四边形ABDE，使其面积与△ABC面积相等，且一组对边DE=AB，．．

另一组对边BD≠AE，对角∠E=∠B.

图2 图3 图4

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五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 在平面直角坐标系xOy中，A为第一象限内的双曲线y

平行于 y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线y 右侧，AD的中点为E.

(1)当m=4时，求△ACD的面积（用含k1，k2的代数 式表示）； (2)若点E恰好在双曲线y

k1

（k1 0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作x

k2

（k2 0）交于点C . x轴上一点D(m,0)位于直线ACx

k1

（k1 0）上，求m的值； x

(3)设线段EB的延长线与y，若△BDF的面积为1，且CF

24．如图，在Rt△ABC中，∠C，CB，BA

动的时间为t秒，当点P (1)当t = 5秒时，点P (2)当点P在AC P关于直线EF的对称点，记为点Q．在点P与直线l运动的过

t的值．

CB

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25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1 2x2 点P作x轴的垂线分别交抛物线y1 2x2

1

的顶点为M，直线y2 x，点P n，0 为x轴上的一个动点，过4

1

和直线y2 x于点A，点B. 4

⑴直接写出A，B两点的坐标（用含n的代数式表示）；

⑵设线段AB的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；

(3)已知二次函数y ax2 bx c（a，b，c为整数且a 0），对一切实数x恒有

1

x≤y≤2x2 ，求a，b，c的值.

4

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北京市西城区2012年初三二模试卷

数学答案及评分标准 2012. 6

4分 分 16 +1)x2 + 2mx + m 3 = 0 有两个不相等的实数根，

3) 4(2m 3)，

1分

解得 m>

3

． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 2

3

且m 1． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3分 2

∴ m的取值范围是 m>

(2)在m>

3

且m 1的范围内，最小奇数m为1． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 2

此时，方程化为x2 x 1 0． ∵ b2 4ac 12 4 1 ( 1) 5，

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∴ 方程的根为 x1 ， x2 ．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分

∴ x

17. (1)证明：如图2.

∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AB∥CD且AB=CD. ﹍﹍﹍﹍1分 ∵ 点E，F分别是AB，CD的中点，

1 ∴ AE AB,DF2 ∴ AE=DF. ∴ 四边形AEFD (2)解：过点D作DG⊥AB ∵ AB=2AD=4，

∴ AD=2. 在Rt△AGD中，∵ ∴ AG AD cos60 ∴ BG AB AG 3在Rt△DGB中，∵ ∴DB DG2 BG2 18．解：(1)300； (2)

2

5

(3)1750 . 四、解答题（本题共2019．解：(1)当MN⊥AC时，从 (2) ∵ MAC=60 30 ∴ AMC=180 30 在Rt△AMC中，∵ AMC=90 ， MAC=30 ，AC=2000，

米). ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 AN

在Rt△AMN中，∵ ANM=90 ，cos30 =，

AM ∴ AN=AM cos30 =10003 =1500(米). 2

∴ AM AC cos MAC 2000………………………………………… 5分

答：∠AMC等于90 ，AN的长为1500米.

东

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在Rt△OAB中， AOB=90 ，OA=6，OB=8， ∴ AB 10.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分 ∵ △DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC， ∴ AC=AB=10.

20. 解：(1)根据题意得A(6,0)，B(0,8).(如图4)

∴ OC OA AC ∵ 点C在x∴ 点C的坐标为C (2)设点D的坐标为D 由题意可知CD=BD 由勾股定理得162 y2 解得y 12.

∴ 点D的坐标为D(0, 可设直线CD∵ 点C(16,0)在直线y∴ 16k 12 0. 解得k

3

. 4

3

x 4

∴ 直线CD的解析式为y

21.(1)证明：连结AO，AC.(如图 ∵ BC是⊙O的直径， ∴ BAC CAD ∵ E是CD的中点， ∴ CE DE AE. ∴ ECA EAC. ∵ OA=OC， ∴ OAC OCA.

CD是⊙O的切线， ∵

∴ CD⊥OC. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分

∴ ECA OCA 90 .

∴ EAC OAC 90 . ∴ OA⊥AP.

∵ A是⊙O上一点，

∴ AP是⊙O的切线. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

(2) 解：由(1)知OA⊥AP.

OAP 90 ，OC=CP=OA，即OP=2OA， 在Rt△OAP中，∵

∴ sinP

OA1

. OP2

∴ P 30 . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 ∴ AOP 60 . ∵ OC=OA，

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∴ ACO 60 .

BAC 90 ，AB=3， ACO 60 ， 在Rt△BAC中，∵

∴ AC

AB 3.

tan ACO 又∵ 在Rt△ACD中， CAD 90 ， ACD 90 ACO 30 ， ∴ CD

AC3

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分

cos ACDcos30

22.解：(1) 如图所示，答案不唯一. 画出△D1BC，△D2BC，△D3BC，△D4BC，△D5BC中的一个即可.（将BC的平行

(2) (3)

；即为所求.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：(1)由题意得A，C两点的坐标分别为A(1,k1)，C(1,k2)．（如图6）

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分 ∵ k1 0，k2 0，

∴ 点A在第一象限，点C在第四象限，AC k1 k2． 当m=4时，S ACD 13

AC BD (k1 k2)．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分

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(2) 作EG⊥x轴于点G．（如图7）

∵ EG∥AB，AD的中点为E，

EGDGDE1

，G为BD的中点． ABDBDA2

∵ A，B，D三点的坐标分别为A(1,k1)，B(1,0)，D(m,0)，

ABk1BDm 1m 1

∴ EG ，OG OB BG ． ，BG

2∴ 点E∵ 点Em 1k1∴ k22∵ k1 0，

∴ 方程①(3)当点D的坐标为∵ S BDF 1，

1∴ S BDF BD2∴ △DEG∽△DAB，

∴ OF 2． 设直线BE∵ 点B，点E a b 0, ∴ 3ak1 b . k1x k1．

轴的负半轴交于点F，k1 0，[来源:学科网ZXXK] )，OF k1．

6分 7分

24．解:(1) 当t =5秒时，点P走过的路径长为；当t 秒时，点P与点E重合．

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分

(2) 如图9，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知∠PEF=∠MEN，都等于△PEF绕点E

旋转的旋转角，记为α．

设AP=3t （0< t <2），则CP=6 3t，CE t． ∵ EF∥AC，∠C=90°，

∴ ∠BEF=90°，∠CPE =∠PEF=α．

4

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∵ EN⊥AB， ∴ ∠B=∠MEN=α．

∴ CPE B．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 ∵ tan CPE

CEAC3

，tanB ， CPBC4

∴ CP CE．

43

44

t．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 3354

解得t 436(3) t的值为5∴ 6 3t

1

25．解：(1)A(n，2n2 )，B(4

(2) d=AB=yA yB1 ∴ d=2(n )2 41 ∴ 当n 时，4当d (3) ∵ 对一切实数x ∴ 对一切实数x 当x 0时，①1

都成立.(a 0) 4

6分

≤2x2

x均成立. 对一切实数x均成立.

由⑤得整数b的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分

此时由③式得，ax2 x≤2x2 即(2 a)x2 x

1

对一切实数x均成立. (a 0) 4

1

≥0对一切实数x均成立. (a 0) 4

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当a=2时，此不等式化为 x 当a≠2时，∵ (2 a)x2 x

1

≥0，不满足对一切实数x均成立. 4

1

≥0对一切实数x均成立，(a 0) 4

⑥ ⑦

2 a 0,

∴ 12

2 ( 1) 4 (2 a) 0. 4

∴ 由④，⑥，⑦得 0 <a≤1.

∴ 整数a的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分 ∴ 整数a，b，c的值分别为a 1，b 1，c 0.

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