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第一周百分数

1.百分数应用题（一）

1.某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本

20%。问这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本

2.一桶油，第一次用了全桶的20%，第二次用了20千克，第三次用了前两次

的和，这时桶里还剩8千克，问这桶油还有多少千克

3.甲乙两店都经营同样的某种商品，甲先涨价10%后又降价10%，乙先涨价15%

后，又降价15%，请问：两位店主谁比较聪明

4.某班有学生48名，女生占全班人数的%，后来又转来了若干名女生。这是女

生人数恰好是全班人数的2/5,问共转来了多少名女生

5.某工厂一车间人数占全厂的25%，二车间人数比一车间少1/5，三车间人数

比二车间多3/10，三车间有156人，求这个工厂全厂共有多少人

6.小刚看一本书，第一天看了全书的1/6，第二天看了24页，第三天看前两天

看的总数的150%，这时还剩下全书的1/4没有看。全书共有多少页

2.百分数应用题（二）

【题型概述】

商品的打折可以转化成百分数应用题解决，主要的关系式有：定价=成本×（1＋利润百分数）利润百分数=（卖价－成本）÷成本×100%

【典型例题】

把一套西装按50%的利润定价，然后打八八折卖出，可以获得利润480元，这套西装的成本是多少元

【举一反三】

1.把一件女装按40%的利润定价，然后打九折卖出，可以获得利润130元，

这件女装的成本是多少元

2. 有一批空调，如果按每台20%的利润定价，然后按八折出售，每台空调反

而亏损128元，这种空调的进货价是多少

3.一批新书按定价的20%出售时，仍能获得40%的利润，那么定价时所期

望的利润率是多少

【拓展提高】

一种自行车，甲商店比乙商店的进货价便宜5%，甲商店按20%的利润定价，乙商店按15%的利润定价，结果甲店比乙店便宜3元，乙店的进货价是多少元【奥赛训练】

4.一种商品，甲商店比乙商店的进货价便宜10%，甲商店按30%的利润定价，

乙商店按25%的利润定价，结果甲店比乙店便宜40元，甲店的进货价是多少元

5.两家商店购进同一种商品，一店比二店的进货价便宜5%，一店按40%的

利润定价，二店按25%的利润定价，结果一店比二店贵16元，二店的进货价是多少元

6.有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%

时，这两家商场的利润相同。那么，原来第一家商场是第二家商场利润的多少倍（2005年全国小学数学奥林匹克决赛）

3.银行里的数学

【题型概述】

在银行存款的方式有很多，如活期，整存整取，零存整取等，运用“利润=

本金×利率×时间”就可以轻松的解决这些问题。

【典型例题】

王华在中国建设银行办理了10000元的定活两便储蓄，利率按一年定期利率的60%打折，两年后支取，已知一年定期的利率是%，扣除5%的利息税，王华可拿到多少元利息

【举一反三】

1 . 小虎在中国银行办理30000元的定活两便储蓄，利率按一年定期利率的60%

打折，三年后支取，已知一年定期存款的年利率是%，扣除5%的利息税，小虎可拿到多少元利息

2. 施阿姨在2007年8月1日将积蓄的20000元存入工商银行，办理了定活两便

储蓄，利率按一年定期利率的60%打折计算，她于2009年8月1日到银行支取，已知一年定期的年利率是%，扣除5%的利息税，施阿姨一共可以拿到多少元

3. 大宝在银行办理了5000元的定活两便储蓄，年利率按一年定期利率的60%打

折，两年后支取；同时小宝也办理了5000元的两年定期储蓄，已知一年定期存款的年利率是%，扣除5%的利息税，大宝和小宝拿到的利息相差多少元

【拓展提高】

小红的爸爸在两年前把一笔钱存入银行，年利润是%，定期两年，到期后，扣除5%的利息税，共取得利息元，小红爸爸存入的本金是多少元

【奥赛训练】

4. 4. 小霞把一笔钱存入了银行，年利率是%，定期一年，到期后，扣除5%的利

息税，共取得利息元，小霞存入的本金是多少元

5. 丹丹的爸爸为了支援国家建设，购买了一批国债，为期五年，利率是%，已知

到期拿到3375元利息，求丹丹爸爸花了多少钱买国债

6.王先生因急用钱，将现有的两种股票售出，甲种股票卖价1200元，盈利

20%；乙种股票恰好也卖了1200元，但亏损20%；王先生此次交易盈利

还是亏本多少元

第二周百分数的应用

1.浓度问题（一）

【题型概述】

溶液的溶度也是百分数的一种应用，求溶液的浓度，一般用公式：

溶液的浓度=溶质质量×100%

【典型例题】

把20克糖放入80克水中进行溶解，溶解后的糖水浓度是多少

【举一反三】

1、把50克糖放入200克水中进行溶解，溶解后的糖水浓度是多少

2、把30克盐放入270克水中进行溶解，溶解后的盐水浓度时多少

3、小林将50克糖放在250克水中进行溶解，后来又加入了100克水，这时糖水

的浓度是多少

【拓展提高】

将浓度是20%的酒精溶液100克与浓度30%的酒精溶液300克混合，混合后的酒精溶液浓度是多少

【奥赛训练】

4、将浓度是15%的酒精溶液100克与浓度是24%的酒精溶液200克混合，混合

后的酒精溶液浓度是多少

5、浓度10%的酒精溶液50克，浓度15%的酒精溶液50克与浓度12%的酒精溶

液100克混合，混合后的酒精溶液浓度是多少

6、瓶内装满水，倒出全部水的1/2,然后灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的

1/3，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的1/4，再用酒精灌满，这时的酒精占全部溶液的百分之几（天津市小学六年级数学学科决赛）

2.浓度问题（二）

【题型概述】

有些时候需要把一种浓度的溶液变成另一种浓度的溶液，如果是变“稀”，那么就只有加水，如果是变“浓”，则需要加溶质或者蒸发水，今天我们就学习这种类型的浓度问题。

【典型例题】

一种盐水的浓度是20%，加入800克水后，它的浓度变为12%，这种盐水溶液原来有多少克

【举一反三】

1、一种盐水的浓度是25%，加入800克水后，它的浓度变为20%，这

种盐水溶液原来有多少克

2、一种糖水的浓度是10%，加入30克糖后，它的浓度变为15%，这

种糖水溶液原来有多少克

3、要配置%的氨水1000千克，需要向多少千克浓度为10%的氨水中

加进多少千克的水才能配成

【拓展提高】

有一种浓度为8%的酒精溶液400克，要使酒精溶液的浓度变为12%，该怎么办

【奥赛训练】

4.有含盐10%的盐水45千克，要变成含盐15%的盐水需加盐多少千克

5.有含盐10%的盐水45千克，要变成含盐15%的盐水需要蒸发掉多少千克

水

6.有甲乙两个同样的杯子，甲杯子中有半杯清水，乙杯子中盛满了含50%酒精的溶液，先将乙杯子中酒精溶液的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯，求这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几（1991年全国“华罗庚杯”少年数学邀请赛）

第三周

1.历年潍坊市名校奥数题

1、在3时与4时之间，时针与分针有（）次夹角是90°

2、半径为r的圆与边长为r的正方形的面积，（）的面积大

3、在10

17、

12

19、

15

23、

30

43、

20

37、

60

89中，最大的是（）

4、（1—1

2）×（2－

2

3）×（3－

3

4）×（4－

4

5）×（5－

5

6）×（6－

6

7）×

（7－7

8）×（8－

8

9）×（9－

9

10）的值是（）

5、计算：错误!

6、455

7×11×13+

1326

11×13×17

+

2223

13×17×19

+

1311

17×19×23

7、比较57 1517 49 40124 103309 中哪个最大

8、比较每组中几个分数的大小

①11523 、11017 、11219

②771 、991 、11111

③19971998 19981999

9、若A=120072—2007+1 B=120072—2007×2008＋20072

比较A 与B 的大小 10、 不求和，比较200520032004 +200420022005 与200620032004 +200320022005

的大小 11、 已知A=错误!× B=错误!×8.75 A 与B 较大的是

12、 19981999 19971998 19961997 19951996

中 ，最小的一个数是 13、 小路买2支铅笔和3块橡皮共用了18元，小思买同样的1支铅笔和2块橡皮共用去11元，买1支铅笔是（ ）元

14、 潍坊创建文明城市，现有小明、小亮、小华到南胡居委会打扫卫生，小明与小亮合作需6小时完成，小亮与小华合作需9小时完成，小明与小华合作需15小时完成，为了节约时间，三人决定一块干，你认为他们多少小时能够完成任务

15、 建立有主见的、独立的，敢于创新的方法对今后的学习和工作都有帮助，拓展视野，增长知识。在小学，同学们已经学习了各种运算，现在给一个新符号“☉”，发挥你的聪明智慧，定义新运算“☉”，对于任何数a 和b 都有：a ☉b=a ×b-(a+b)

(1) 求：3☉5

(2) 如果2☉x=1,求x

16、 实验初中将组织初一、初二，1180名学生到北岩远古火山口去参加地理实践活动。共24个班级，每个班级都有2名教师带队，请你根据以下租车的

等奖，平均每8人里有 人获二等奖，平均每12人里有4人获三等奖，合计共有188人获奖。参加这次数学竞赛的学生一共有多少人

18、 学校到中百超市购买了4只足球和6只排球，共花去660元。后来中百超市的足球单价涨了10%，排球单价便宜了15%，这样共需要636元。求原来足球和排球的单价各是多少元

19、 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的比是1:2:3，某人走这三段路所用时间的比是4:5:6.已知上坡的速度是每小时3千米，路程全长

是50千米。求此人走完全程用了多少小时

第四周 复习题

1、计算：11*2 +12*3 +13*4 +.······+144*45 =

2、若18 =19 +1N 则N=

3、把10克盐放入100克水中，盐占盐水

4、六年级一班有56名学生，男生29人，女生27人，参加奥数小组的有32人，参加科技小组的有28人，两个小组都没有参加的有20人，两个小组都参加的有 人。

5、17 ······小数点后第100位是

6、在3时至4时之间，时针和分针有 次夹角是90°

7、菜地里葡萄获得丰收，收入全部的3/8时，装满了4筐还多36千克，取完其余部分时，又刚好装满了8筐，共收 千克葡萄

8、把12拆分成两个自然数的和，在求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该拆分成

9、马家四个儿子决定共同出钱为父母买一台家用电脑，老大出的钱是其他三人总数的1/2，老二出的钱是另外三人出的钱的总数的1/3，老三出的钱是另外三个出的钱的总数的1/4,老四比老三多出80元，父母喜欢一台4600元的电脑，问儿子出的钱能满足父母的愿望么

10、 学校组织了“关爱社会，勇于实践”为主题的卖书活动，科技类按20%的利润卖出，卖出价是24元，文学类按10%的亏损卖出，卖出价是27元，你认为科技类和文学类两类书的成本谁多多多少

11、 一个长方形，长和宽的比是14:5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182厘米， 那么原来长方形的面积是多少平方厘米

12、 把一根竹签直插水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒过来直插水底，这是竹竿湿的部分比它的1/2少13厘米，求竹竿全长

第五周 圆柱与圆锥（一）

1、圆柱的表面积（一）

【题型概述】

今天，我们将学习圆柱体表面积的一些运用，解决这些问题，有时需要结合实际，明确所求圆柱体的表面积有几个面，有时需要灵活的利用条件间接得出所需要的数据进行计算。

【典型例题】

某工厂有一个烟囱，形状为圆柱体，底面半径是80厘米，高是8米，现在要将烟囱增高到25米，每增加1平方米需要费用120元，一共需要多少费用

【举一反三】

1.一个圆柱体有盖油桶高10分米，它的侧面展开后得到一个长分米的长方形，这个油桶共用了多少平方分米的铁皮

2.一个圆柱体高是80厘米，侧面积是平方分米，它的底面积是多少平方厘米

3.一个圆柱的侧面展开是一个正方形，圆柱的底面直径是20厘米，这个圆柱的表面积是多少平方厘米

【拓展提高】

如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下来，制成一个圆柱

形油桶，求油桶的表面积

分米

10分米

【奥赛训练】

4.工人师傅将一张铁皮按图2裁剪后，做成一个圆柱形铁皮罐，求这个铁皮罐的表面积

5.如图所示，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个圆柱体，这个圆柱体底面半径为10厘米，那么，原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米

2.圆柱的表面积（二）

【题型概述】

我们知道，把一个圆柱体切成几个圆柱体会引起表面积的变化，解决这类问题的关键是仔细观察圆柱体切开以后，增加或减少哪几个面的面积，然后在计算。

【典型例题】

一个圆柱体木块，底面半径是8厘米，高是10厘米，现在将他截成两个圆柱体小木块，那么表面积增加多少平方厘米

【举一反三】

1.一个圆柱体木块，底面半径是6厘米，高是5厘米，现在将他截成三个圆柱体小木块，那么表面积增加多少平方厘米

2.一个圆柱体木块，底面直径是10分米，高是7.5米，现在将他截成两个圆柱体小木块，那么表面积增加多少平方分米

3.一个圆柱体木块，底面周长是25.12厘米，高是6厘米，现在将他截成四个圆柱体小木块，那么，这四个小木块的表面积是多少平方厘米

【拓展提高】

一个圆柱体，高减少3厘米，表面积就减少37.68厘米，这个圆柱体的底面积是多少

【奥赛训练】

4.一个圆柱体，高减少4厘米，表面积就减少平方厘米，求这个圆柱的底面积

3.圆柱的表面积（三）

【题型概述】

课上，大家学习了圆柱体表面积的计算方式，

即：圆柱体表面积=底面积×2+侧面积

=πr2×2+2πr×h

=2πr×（r+h）

所以，我们可以发现圆柱体的表面积也可以用底面半径与高的和来计算，同时，如果把一个圆柱体沿底面直径切成两个半圆柱体，会增加两个长方形的面，每个面的棉结是底面直径乘高。下面，我们将运用这些知识解决求圆柱体表面积的相关问题。

【典型例题】

一个圆柱体的表面积和一个长方形的面积相等，长方形的长等于圆柱体的底面周长，已知长方形的面积为平方厘米，圆柱体的底面半径是2厘米，圆柱体的高是多少

【举一反三】

1.一个圆柱体的表面积和一个长方形的面积相等，长方形的长等于圆柱体的底面周长。已知长方形的面积是平方厘米，圆柱体的底面半径为0.5厘米，圆柱体的高是多少

2.一个圆柱体的表面积和一个长方形的面积相等，长方形的周长等于圆柱体的底面周长，已知长方形的面积为平方厘米，圆柱体的高是4厘米，圆柱体的底面半径是多少

3.一个圆柱体的表面积是314平方厘米，这个圆柱的底面半径是高的1

4，

这个圆柱体的侧面积是多少

【拓展提高】

一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加平方厘米；如果沿着底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加100平方厘米，求原来圆柱体的表面积

【奥赛训练】

4.一段圆柱体木料，若果截成两个小圆柱体，它的表面积增加平方厘米；如果沿着直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加75平方厘米，求原来圆柱体的面积

5.有大、小两种不带盖的圆柱形水桶，它们的表面积的和是5433平方厘米，小桶和大桶的用料面积的比是1:2，小桶的底面周长是分米，大桶的底面周长是分米，求大、小两个桶的侧面积各是多少

第六周圆锥的表面积和体积

【题型概述】

今天，我们讲学习运用圆柱和圆锥的体积，底面积和高之间的关系解决问题，其中，我们采用了“特殊值法”，即假设体积、底面积或高为x 或1，以此来为解决问题提供途径或方便。

【典型例题】

一个圆锥和圆柱的体积之比为1:2，底面积之比为4:3，圆柱的高为12厘米。求圆锥的高是多少厘米

【举一反三】

1.一个圆锥和圆柱的体积之比为3:2，底面积之比为2:3。求圆柱与圆锥的高之比是

多少

2.一个圆锥和圆柱的体积之比为2:3，底面积之比为5:4，圆锥的高为20厘米。求圆

柱的高是多少厘米

3.一个圆锥与圆柱的底面积之比为3:2，体积之比为2:5，如果圆锥与圆柱的高之和

为72厘米。求它们的高各是多少

【拓展提高】

如图所示：圆锥形容器的容积是16升，容器中已经装有一些水，水面高度正好是圆锥高度的一半。容器中装有水多少升

【奥赛训练】

4.圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多

少升水r

5.如图所示，酒瓶中装有一些酒，把酒倒进一些锥形的酒杯中，如果酒杯口的直径

是酒瓶底面直径的一半。那么共能倒几杯

第七周比例（一）

1.比例的意义和基本性质（一）

【题型概述】

运用比例的基本性质：内项之积等于外项之积。可以写出很多个比例，其关键是找到两个数的积等于另外两个数的积。下面，我们学习这方面的内容。【典型例题】

把下面的等式改写成比例。

4×15=6×10。

思路点拨由比例的基本性质，4和15可以作为比例的外项，6和10作为比例的内项。所以

4∶6=10∶15；

或4∶10=6∶15, 15∶6=10∶4, 15∶10=6∶4。

也可以将6和10作为比例的外项，4和15作为比例的内项，所以

6∶4=15∶10；

或6∶15=4∶10，10∶4=15∶6，10∶15=4∶6。

【举一反三】

1.把下面的等式改写成比例。

×10=6×。

2.在括号里填上适当的数。

∶（）=（）∶10

3. 在括号里填上适当的数。

4（）=

（）

5.

【拓展提高】

从2、3、4、5、6这五个数中挑选四个数组成比例。

思路点拨我们知道，要使选择的四个数能组成比例，根据比例的基本性质，必须这四个数中某两个数的乘积等于另外两个数的乘积，接下来，就看五个数中哪四个数满足这个条件。

通过观察，不难发现：2×6=3×4。所以

2∶3 = 4∶6。

当然，大家也可以写成其他形式的比例。

【奥赛训练】

4.从3、4、5、6、7、8这六个数中挑选四个数组成比例。

5.《第五次全国人口普查主要数据公报》显示，祖国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的总人口为126 583万人，其中男性65 355万人，这些人口中，男性与女性人口的整数比为1000∶（ ）。

2.比例的意义和基本性质（二）

【题型概述】

运用比例的基本性质，我们可以解决一些复杂的比例问题以及生活中的实际问题。今天，需要大家灵活运用比例的基本性质。

【典型例题】

在比例“30∶20 = 48∶32”中，从30里减去18，而20、48这两项不变，要使比例成立，应在32上加上多少

思路点拨 在比例“30∶20 = 48∶32”中，两个内项没有发生变化，而两个外项都发生了变化，其中一个外项的变化时已知的，另外一个外项32的变化是未知的，所以，我们可以设32上加上的数是x ，这样就构成了一个新的比例：（30－18）∶20＝48∶(32＋x)，用解比例的知识可以求出x 的值。所以 （30－18）∶20＝48∶(32＋x)，

12∶20＝48∶(32＋x)，

12×（32＋x ）＝48×20，

（32＋x ）＝48×2012 ，

32＋x ＝80，x ＝48。

答：应在32上加上48。

【举一反三】

1.在比例“18∶24＝27∶36”中，从24里减去12，而18、27这两项不变，要使比例成立，应在36上减去多少

2.在比例“∶6＝∶6.8”中，两个外项不变，内项6减去，要使比例成立，另外一个内项应加上多少

3.在比例“1021 ∶57 ＝715 ∶710 ”中，两个外项不变，内项57 加上114 ，要使

比例成立，另外一个内项715 应减去多少

【拓展提高】

六（1）班有44人，男生人数的35 与女生人数的12 相等。六（1）班男生

与女生各有多少人

思路点拨 根据题意，有“男生人数×35 ＝女生人数×12 ”，有比例的基

本性质，就能得到男生与女生的最简整数比，然后再按比例分配就可以了。

男生人数×35 ＝女生人数×12 ，

男生人数∶女生人数＝12 ∶35 ＝5∶6。

44×55+6 ＝20（人），44×65＋6 ＝24（人）。

答：六（1）班有男生20人、女生24人。【奥赛训练】

4. 如图1所示，阴影部分的面积是甲圆的1

8，是乙圆的

1

6。求甲、乙两

个圆的面积比。

5.有两组数，第一组的平均数是，第二组的平均数是，这两组数的总的平均数是，那么，第一组数的个数与第二组数的个数的比是多少

（2002年“我爱数学”少年数学夏令营）

3.正比例和反比例的应用（一）

【题型概述】

运用正比例知识，我们还可以解决“归一”类的实际问题，需要注意的是，大家必须找准对应的量，然后再列成比例式。下面，我们就开始学习这方面的知识。

【典型例题】

50克菜花中含维生素44毫克，那么400克菜花中含维生素多少毫克（用比例方法解）

思路点拨这里有两种相关联的量：菜花的重量和维生素的含量。同一种菜花，每克菜花的维生素含量一定，所以维生素含量与菜花重量成正比。

解：设维生素含量x毫克。

44∶50＝x∶400

50x＝400×44

x＝352

答：400克菜花中含维生素352毫克。

【举一反三】

1.配置一种清洗水果的溶液，100毫升水中需加入15毫升洗洁液。问用500毫升水配置这样的溶液，需要多少洗洁液

2.学校分发新作业本，六（5）班45人领了225本练习本，六（6）班有48人，总务处应该给该班发多少本练习本

3.在同一时刻，树高与影长成正比例。六（3）班同学在中午量得一根3米长的竹竿的影长为30厘米，问一棵影长70厘米的树高多少米

【拓展提高】

加工一种机器零件，3天可以完成120个，照这样计算，再做2天，一共可以完成多少个

思路点拨这里有两种相关联的量：加工零件个数和天数。因为每天加工零件的个数不变，所以加工的个数和天数成正比。

解：设一共可以完成x个。

120∶3＝x∶（3＋2），

3x＝120×5，

x＝200。

答：一共可以完成200个。

【奥赛训练】

4.配置一种清洗水果的溶液，50毫升溶液中需加入8毫升洗洁液，如果在配置这样的溶液300毫升，一共需要多少洗洁液

5.某裁缝做一件童装、一条裤子、一件上衣，所用时间之比为1∶2∶3，他一天共能做2件童装、3条裤子、4件上衣。那么他做2件上衣、10条裤子、14件童装，需多少天

4.正比例和反比例的应用（二）

【题型概述】

同样道理，我们也可以运用反比例知识解决生活中的实际问题。不过，这样列出的不是比例式，而是根据“乘积一定”列出方程，同学们在学习和运用的时候一定要注意区分到底是正比例还是反比例。

【典型例题】

一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行驶60千米，6小时到达，如果每小时行驶50千米，几小时到达

思路点拨这里有两种相关联的的量：速度和时间。速度×时间＝路程，从甲地到乙地的路程不变，所以，速度和时间成反比例。

解：设x小时到达。

50×x＝60×6,

x＝360÷50,

x＝。

答：这辆汽车小时到达目的地。

【举一反三】

1.一个长方形的面积不变，如果它的长为8厘米，那么相对应的宽就是6厘米，如果长变成12厘米，那么相对应的宽是多少厘米

2.三（2）班同学做纸花，如果每人做十朵，可以分给30个人做，如果每人做15朵，可以分给几个人做

3.同学们完成口算练习，如果每分钟算10题，需要6分钟，如果每分钟算12题，需要多少时间

【拓展提高】

一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行驶60千米，6小时到达；如果每小时多行驶20千米，那么，少走几小时就能到达目的地

思路点拨这里虽然速度和时间成反比例，但所求问题对应的速度并没有直接告诉我们，所以首先要求出对应的速度。

解：设少走x小时就能到达目的地。

（60＋20）×（6－x）＝60×6，

480－80x＝360，

x＝。

答：少走小时就能到达目的地。

【奥赛训练】

4.一个平行四边形的面积不变，它的底为9厘米，相对应的高为厘米。如果它的底增加厘米，那么对应的高应减少多少厘米

5.购物广场圣诞节酬宾大减价，以原定价格的2

3售出一批服装,已知这些服

装的成本是它实际售价的3

4,那么成本与原定价之比是多少第八周比例（二）

1.正比例和反比例的应用（三）

【题型概述】

我们知道，当时间一定，路程和速度成正比例；当速度一定，路程和时间成正比例；当路程一定，速度和时间成反比例。这些看似非常简单的数量关系，却能够解决很多实际问题，今天，我们将运用这些知识解决与“中点”有关的行程问题。

【典型例题】

甲、乙两辆汽车分别从两地相向开出，它们的速度比是5:7，在距中点18千米处相遇。两地相距多少千米

思路点拨 因为两车同时出发，到相遇时时间一定，所以，路程和速度成正比，即相遇时甲、乙两车行驶的路程比是5:7。然后由“距中点18千米时相遇”可以知道，相遇时乙车比甲车多行18×2=36（千米）。所以

18×2×7+57-5 =36×122

=216（千米）。 答：两地相距216千米。

【举一反三】

1. 两只轮船同时从甲、乙两港相向开出，客船每小时行49千米，货船的速

度是客船的67 ,两只轮船在离甲、乙两港中点6千米处相遇。求甲、乙两港的距

离是多少

2. 客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车每小时行全程的14 ,货车每

小时行60千米，相遇时客车和货车所行路程的比是3:2。甲、乙两地相距多少千米

3. 甲、乙两车同时从两地相向而行，甲车行完全程需小时，乙车每小时75千米，相遇时甲、乙两车所行路程的比是4:3，这时乙车行了多少千米

【拓展提高】

甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行100千米，

乙车每小时行90千米。当乙车行至全程的922 时，甲车距中点还有20千米。A 、

B 两地相距多少千米

思路点拨 因为两车行驶的时间一定，所以，速度与路程成正比例，根据甲、

乙两车的速度比，可以知道它们行驶的路程比。再由乙车行了全程的922 ，可以

求出甲车行了全程的几分之几，最后，根据甲车距中点20千米，即与全程的12 的

差是20千米，可求出A 、B 两地的距离。

甲、乙两车的速度比： 100:90=10:9；

甲、乙行驶的路程比： 10:9；

甲车行的路程： 922 ×109 = 511 ;

20÷（12 -511 ）=440(千米)。

答：A 、B 两地相距440千米。

【奥赛训练】

4. 客车和货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，客车每小时行90千

米，货车每小时行70千米。当货车行至全程的710 时，客车距中点还有12千米。

甲、乙两地相距多少千米

5. 快车与慢车同时从A 、B 两地出发，相向而行。行驶一段时间后两车相

遇，相遇点到AB 中点的路程恰好是AB 全长的120 .快车与慢车的速度比是多少

2.正比例和反比例的应用（四）

【题型概述】

下面，我们将继续学习运用正反比例知识解决“同向”类的行程问题。

【典型例题】

王阿姨开着摩托车、范阿姨开着电瓶车同时从A 地开往B 地，当王阿姨行

至全程的13 处时，范阿姨行了全程的29 ；当王阿姨到达B 地时，范阿姨距B 地还有15千米。求A 、B 两地之间的距离。

思路点拨 摩托车和电瓶车行驶的时间始终相同，那么两车在相同的时间内，行驶的路程之比也是不变的，所以，当摩托车到达B 地时，电瓶车和摩托

车的路程比为29 ：13 =2:3，再根据电瓶车距B 地还有15千米，可以求出A 、B

两地的距离。

29 ：13 =2:3；15÷（1-23 ）=45（千米）

。 答：A 、B 两地之间的距离为45千米。

【举一反三】

1. 甲、乙两车同时从A 地开往B 地，当甲车行至全程的14 处时，乙车行了

全程的13 ；当乙车到达B 地时，甲车距B 地还有千米。求A 、B 两地之间的距离。

2. 客车和货车两车同时从甲地开往乙地，当客车行至全程的12 处时，货车

行了全程的25 ；当货车到达乙地时，客车已经超过乙地25千米。求甲、乙两地之间的距离。

3. A 、B 两车同时从甲地开往乙地，当A 车行至中点时，B 车行了80千米；

当A 车到达乙地时，B 车距乙地还有全程的15 .求甲、乙两地的距离。

【拓展提高】

甲、乙两车从相距240千米的A 地去B 地，甲车比乙车晚小时出发，结果两车同时到达，甲、乙两车速度的比是5:4，甲车每小时行多少千米

思路点拨 因为两车都是从A 地去B 地，路程一定，所以，速度和时间成反比。由“甲、乙两车速度的比是5:4”可以知道，甲、乙两车所花时间的比是

4:5。又因为甲车比乙车少行小时，那么，甲车所行时间为×45-4 =（小时）。所

以

240÷（×45-4 ）=240÷=50（千米/时）。

答：甲车每小时行50千米。

【奥赛训练】

4. 甲、乙两车从相距324千米的A 地去B 地，甲车比乙车晚小时出发，结果两车同时到达，甲、乙两车速度的比是9:7，乙车每小时行多少千米

5. 乘火车从甲城到乙城，1998年初需要小时，1998年火车第一次提速30%，1999年第二次提速25%，2000年第三次提速20%。经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火车需多少小时

3.正比例和反比例的应用（五）

【题型概述】

今天，我们学习“相向”类的行程问题。解决这类问题，关键还是要充分运用路程、速度、时间三者的正反比例关系。

【典型例题】

甲、乙两车同时从A 、B 两地相向而行，小时后相遇，相遇后甲又行了小时到达B 地，这时乙车离A 地80千米。A 、B 两地相距多少千米

思路点拨 因为相遇后甲车小时行的路程就是相遇前乙车小时行的路程，那么，甲、乙两车行驶的时间比为:=5:7，所以，甲、乙两车的速度比是7:5.在相同的时间里，甲、乙两车行驶的路程也是7:5.当甲车行完全程时，乙车才行全程的57 ,离A 地80千米就是全程的的（1-57 ）

。所以 80÷（1-57 ）=280（千米）。

答：A 、B 两地相距280千米。

【举一反三】

1. 小军和小李分别从A 、B 两地同时相向而行，10分钟相遇，相遇后又行8分钟小李到达A 地，这时小军离B 地125米。A 、B 两地相距多少米

2. 客轮和货轮分别从甲、乙两港同时相向开出，经过若干小时两船相遇，相遇后又行了6小时货船到达甲港，这时客船已过乙港又向前行了甲、乙两港距离的20%，客船和货船从出发到相遇用了多少小时

3. 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相向开出，相遇后，甲车又行5小时到达B 地，这时乙车离A 地还有全长的25%，两车从出发到相遇用了多少小时

【拓展提高】

小丽和小灵两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，相遇后小丽继续向前经过分钟到达乙地，小灵继续向前经过10分钟到达甲地。那么，两人出发后多久就相遇了

思路点拨 假设两人相遇在丙处，相遇时间为x 分钟，如图1所示： 乙

10分 x 分

图1

从甲丙段来看，两人所花时间的比为x ：10，由路程一定，速度和时间成反比，因此，两人的速度比是10：x 。

从丙乙段来看，两人所花时间的比为：x，同样道理，速度的比为x：。所以10：x=x：，x2=64，x=8.

答：两人出发后8分钟就相遇了。

【奥赛训练】

4.客车和货车分别同时从甲、乙两地同时出发，相向而行。相遇后，客车再行小时到达乙地，货车在相遇后又行了5小时到达甲地。那么，两车经过几小时相遇了

5.一辆汽车从A城市开往B城市，如果把车速提高20%，则可比原定时间提前1小时到达B城市；如果按原来速度先行驶100千米后，再将速度提高30%，恰好也能比原定时间提前1小时到达B城市。A、B两城市之间的路程为多少千米

4.正比例和反比例的应用（六）

【题型概述】

今天学习的是“往返”类的行程问题。解决这类问题，关键要抓住在往返过程中的不同情况，通过比较，然后运用正反比例知识加以处理。

【典型例题】

一辆小货车从甲镇开往乙镇，每小时行50千米，返回时每小时行60千米，结果返回时比去的时间少10分钟。求甲镇与乙镇之间的距离。

思路点拨小货车在甲、乙两镇之间往返行驶，所行的路程一定，因此，速度和时间成反比例，只要求出速度比，就能得到时间比，然后再根据时间差是10分钟，可以先求出时间，最后求出路程。

去世速度:返回速度： 50:60=5:6；去时时间:返回时间=6:5；

10÷（1- 5

6

）=60(分钟)=1（小时）；50×1=50（千米）。

答：甲镇与乙镇之间的距离为50千米。

【举一反三】

1.有一辆汽车从A地开往B地，去时速度为每小时40千米，返回时每小时行50千米，结果返回时比去时少用15分钟。求A、B两地之间的距离。

2.小玲从甲地步行去乙地，去时速度为每分钟55米，返回时速度为每分钟50米，结果返回时比去时多花1分钟。那么，甲、乙两地之间相距多少米

3.陈阿姨开着电瓶车从家去红星美凯龙家具城，每小时行20千米，回来时每小时比去时多行20%，她往返一共花了小时。她家离家具城有多远

【拓展提高】

从甲地到乙地，前一段是上坡路，后一段是下坡路。一辆汽车从甲地开出往返于甲、乙两地。已知上坡每小时行30千米，下坡每小时行40千米，来回一次共用小时。求甲、乙两地的距离。

思路点拨如图1所示，我们可以发现，来回一次，汽车上坡的总路程与下坡的总路程相等，都是甲、乙两地之间的路程，所以，上坡用的总时间与下坡用的总时间的比应等于上、下坡速度的反比，再根据共用小时，可以求上坡或下坡用的总时间，便可以求出甲、乙两地之间的路程。

甲地乙地

图1

上坡速度:下坡速度=30:40=3:4；

上坡时间：下坡时间=4:3；

30×（×

4

4+3

）=30×=24(千米)。

答：甲、乙两地的距离为24千米。

【奥赛训练】

4.从A地到B地，前一段是上坡路，后一段是下坡路。一辆汽车从A地开出往返于A、B两地。已知上坡每小时行35千米，下坡每小时行42千米，来回一次共用小时。求A、B两地的距离。

5. 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比依次是1:2:3，某人走各段路所用时间之比依次是4:5:

6.已知他上坡是速度为每小时3公里，路程全长50公里，问：此人走完全程用了多少时间

第九周比例（三）

1. 正比例和反比例的应用（七）

【提型概述】

这一周我们重点学习运用正反比例的知识解决工程问题。我们知道，工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。今天，我们就根据工作总量一定，解决有关的实际问题。

【典型例题】

“奔腾”汽车美容公司每天要洗100辆汽车，工作效率提高25%，结果就能提前1小时完成。这家公司原来每小时能洗多少辆车

思路点拨由于洗车的数量不变，也就是说：工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。因此，可以根据计划效率与实际效率的比，得到计划时间与实际时间的比，然后由计划时间与实际时间相差1小时，先求出计划时间，在求出计划的工作效率。所以

计划效率：实际效率= 1：（1+25%）=4:5；

计划时间：实际时间= 5 ：4；

计划时间：1÷（5 - 4）×5 = 5（小时）；

计划效率：100÷5 = 20（辆）。

答：这家公司原来每小时能洗20辆车。

【举一反三】

1.某台机器要加工180个零件，由于技术革新，这台机器的工作效率提高

了20%，结果提前一个小时完成。这台机器原来每小时加工多少个零件

2.“彬彬”羽绒服有限公司食堂运来12吨煤，由于每天比原来节约用煤

1

11

，这样就可以比原计划多烧2天。这个食堂原来每天烧煤多少吨

3.李师傅要加工60双皮鞋，实际加工时效率提高了15%，结果提前小时

完成。李师傅实际每小时加工多少双皮鞋

【拓展提高】

某建筑工地用土方车清理建筑垃圾，本来准备小时清理完毕，由于实际每小时比计划多清理5吨，这批建筑垃圾6小时就清理干净了。这批垃圾有多少吨

思路点拨由于这批垃圾的总量一定，那么工作效率与工作时间成反比例。

我们可以根据计划时间与实际时间的比，知道计划效率与实际效率的比。题目中又告诉大家计划每小时与实际相差5吨，因此，可以先求出工作效率，再求出这批垃圾的总量。

计划时间：实际时间 = ：6 = 5 : 4；

计划效率：实际效率 = 4 ：5；

计划效率：5÷（5-4）×4 = 20（吨）；

垃圾总量：20× = 150（吨）。

答： 这批垃圾有150吨。

【奥赛训练】

4.陈师傅计划6天加工完一批零件，由于每天比计划多加工12个，结果只用了天就完成了任务。这批零件共有多少个

5. 甲、乙两名计算机文字录入人员要共同录一份15400字的文稿，当甲完

成录入任务的56 ，乙完成录入任务的80%时，两人尚未录入的文字相等。问：甲

的录入任务是多少 （2005年北京市“迎春杯”数学邀请赛）

2. 正比例和反比例的应用（八）

【题型概述】

我们知道，当工作时间一定，工作总量与工作效率成正比例。接下来，我们就学习如何运用“工作时间一定”解决问题。

【典型例题】

小李和小张两人共同录入一份文稿，已知两人的效率之比为5 : 6，完成任务时，小张比小李多录入1100字。这篇文稿有多少字

思路点拨 我们知道，小李和小张录入的时间相同，因此，工作总量与工作效率成正比例，也就是说，小李和小张的工作总量比等于两人的效率比。又因为小张比小李多录入1100个字，可以求出这篇文稿的文字数量。所以

1100÷（6-5）×（5+6）= 1100÷1×11=12100（个）

我们也可以这样解答：

1100÷（65+6 - 55+6 ）= 1100÷111

=12100（个） 答：这篇文稿有12100个字。

【举一反三】

1. 一车间和二车间共同加工一批服装，完成任务时，一车间比二车间多加工150套服装，已知两个车间的工作效率之比为9:7。这批服装共有多少套

2. 客车和货车同时从甲、乙两地相向而行，相遇时，客车比货车多行22千米，两车的速度之比为9:8。甲、乙两地相距多少千米

3. 甲、乙两人共同加工一批零件，甲每小时比乙少加工8个，当小时后完成任务时，乙与甲加工零件的数量之比为12:11。这批零件有多少个

【拓展提高】

范师傅和徐师傅两人同时加工一批零件，范师傅的任务是徐师傅的12 ，范

师傅每小时能做15个，徐师傅每小时能做25个，当范师傅完成时徐师傅还剩

67个，徐师傅要加工多少个零件

思路点拨由于徐师傅与范师傅工作效率的比是25:15=5:3，所以当范师

傅完成时徐师傅加工的零件是范师傅的5

3，又因为徐师傅的任务是范师傅的2

倍，所以“67个”就是范师傅的“2 - 5

3=

1

3”。

25 : 15 = 5 : 3；67 ÷（2 - 5

3）÷

1

2

= 67÷

1

3×2 = 402（个）

答：徐师傅要加工402个零件。【奥赛训练】

4.小林和小苏两人生产一批玩具，小林的加工任务是小苏的6

7，小林、小

苏工作效率的比是5:6。当小林完成任务时，小苏可以超额完成13个，小林的加工任务时多少

5.新兴化肥厂甲、乙两车间本月计划共生产化肥1500吨，前5天甲、乙两

车间个完成本月计划的1

4和

1

5，且甲车间比乙车间多生产化肥60吨。求

甲、乙车间本月计划产量的比。（1999年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛）

3. 正比例和反比例的应用（九）

【题型概述】

今天，我们将在前两天的基础上继续学习比较复杂的工程问题。

【典型例题】

小龙和小马各加工180个零件，小马比小龙早加工1 1

2小时，结果两人

同时完工。已知小龙和小马的工作效率比为7:5。小龙每小时加工多少个零件思路点拨由于两人的工作总量相同，工作时间与工作效率成反比例，因此，小龙和小马的工作时间之比为5:7。我们不难求出小龙的工作时间，最后得到小龙的工作效率。

小龙的工作时间：1 1

2÷（7-5）×5 =

15

4

（小时）；

小龙的工作效率：180 ÷15

4

= 48（个）。

答：小龙每小时加工48个零件。【举一反三】

1.甲、乙两人各加工672个零件，甲比乙迟加工1 1

3

小时，结果两人同

时完工。已知甲和乙的工作效率之比为8:7。甲每小时加工多少个零件

2.师徒两人各加工90顶帽子，师傅比徒弟晚加工 2 1

2小时，结果两人

同时完工。已知师傅和徒弟的工作效率之比为9:7。徒弟每小时加工多少顶帽子

3.母女两人各加工100个包子，母亲比女儿晚加工1

2小时，结果两人同

时完工。已知母亲和女儿的工作效率比为5:4。女儿每小时比母亲少加

工多少个包子

【拓展提高】

甲、乙两人共同完成一项工作，甲先干小时，然后乙再加入，完成任务时，

甲完成这项工作的4

7。已知甲、乙两人的工作效率比为5:4，那么，甲独立完

成这项工作需要多少小时

思路点拨因为甲、乙两人的工作效率之比外5:4，那么，在相同的时间内

甲的工作量是乙的5

4，也就是说在乙工作的这段时间内，甲完成这项工作的

（1 - 4

7）×

5

4=

15

28，因此，甲先干小时完成了工作总量的

4

7-

15

28=

1

28。

所以，我们可以求出甲单独干完这项工作的时间。

÷[ 4

7-（1 -

4

7）×

5

4] = ÷

1

28= （小时）

答：甲一个人完成这项工作需要小时。

【奥赛训练】

4. 两个工程队合作完成一项工程，甲工程队先干2天，然后乙工程队再

加入，完成任务时，甲工程队完成这项工程的5

8，已知甲、乙两个工程队的

工作效率比为3:2，那么，甲工程队单独完成这项工程需要多少天

5. 师傅和徒弟两人共同完成一项工作，师傅先干4小时，然后徒弟在加

入，完成任务时，师傅完成这项工作的7

9。已知师傅、徒弟两个人的工作效

率比为3:2，那么，徒弟做了多少小时（2001年江苏省海门市小学数学竞赛）

4. 正比例和反比例的应用（十）

【题型概述】

有的盈亏问题也可以用正比例和反比例的知识进行解决。今天，我们就学习这种类型的问题。

【典型例题】

李师傅要加工一批零件，如果每小时加工45个，可以比计划提前1小时完成；如果每小时加工50个，则可以比计划提前小时完成。这批零件多少个思路点拨根据题意，加工的零件总数相同，因此，每小时加工的个数和加工的时间成反比例。由工作效率之比便可以知道工作时间之比，在结合时间差，得到加工的时间，最后求出零件的总数。

两种不同做法的工作效率比= 45:50 = 9:10；

两种不同做法的时间比为10：9；

第一种做法的时间为

（- 1）÷（10 - 9）×10 = 8（小时）

零件的总数为45×8 = 360（个）。

答：这批零件有360个。

【举一反三】

1．张师傅要加工一批零件，如果每小时加工50个，可以比计划提前1小时完成；如果每小时加工80个，则可以比计划提前小时完成。这批零件多少个

2. 甲、乙两位师傅要加工一批零件，如果每小时加工40个，比计划推后2小时完成；如果每小时加工35个，比计划推后3小时完成。这批零件多少个3．某服装厂接到一份订单，需要加工一批衬衫，如果每天加工90件，比计划推后1天完成；如果每小时加工35个，则比计划提前3天完成。这批衬衫有多少件

【拓展提高】

某机床厂加工一批零件，如果每个零件的用料节约1

5，则可以节约75

千克材料；如果想多加工1

4的零件，每个零件的用料必须节约千克。那么，原

计划加工多少零件

思路点拨由“每个零件的用料节约1

5，则可以节约75千克材料”，可

以知道有原材料75÷1

5= 375（千克）；由“如果想多加工

1

4的零件，每个零件

的用料必须节约千克”，可以知道每个零件的用料与零件的个数成反比例，这样便可以求出每个零件的用料，最后得到计划加工的零件数量。所以

材料重量：75÷1

5= 375（千克）；

计划零件数：时机零件数= 1：（1 + 1

4）= 4 : 5；

计划每个零件用料：÷（5 - 4）×5 = （千克）；

计划加工的零件个数：375÷ = 250（个）。

答：原计划加工250个零件。

【奥赛训练】

4. 某机床厂加工一批零件，如果每个零件的用料节约1

4，则可以节约

30千克材料；如果想多加工1

5的零件，每个零件的用料必须节约千克。那么，

原计划加工多少个零件

5. 桌上放着一些糖，其中水果糖占1

3。后来又往桌上放了39块水果糖，

6块奶糖。这时水果糖占总数的60%，现在桌上共有多少块糖

（1995年“我爱数学”少年数学夏令营）

第十周数学广角

1、抽屉原理（一）

【题型概述】

如果把n+k(k≥1)件东西放入n个抽屉，那么，至少有一个抽屉中有2件

或2件以上的东西。这个道理我们都能够想得通，它称为抽屉原理原则一。今天，我们就来学习原则一的运用。

【典型试题】

六年级有32名学生是在1月份出生的，那么其中至少有2名学生的生日是同一天，为什么

思路点拨：因为1月份有31天，可以看做31个抽屉，把32名学生看做32个苹果。根据抽屉原理原则一，至少有一个抽屉里放2个苹果，也就是说至少有2名学生的生日是同一天。

【举一反三】

1、育才小学六（1）班54名学生是同一年（该年有365天）出生的，能否说明至少有2人是在同一个星期过生日的

2、有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，混合后放在一个布袋内，一次至少摸出几个才能保证有2个同色的

3、任意4个自然数，其中至少有2个数的差是3的倍数。这是为什么【拓展提高】

在长度为2米的线段上任意画11个点，至少有两个点之间的距离不大于20厘米。为什么

思路点拨：我们不妨把2米长的绳子平均分成10段，每段长20厘米。把每一段看做一个抽屉，共10个抽屉；将11个点放入10个抽屉中，至少有1个抽屉中放了2个点。那么，根据抽屉原理，在同一个抽屉（同一段）中，这两个点之间的距离一定不大于这段的长度20厘米。

【奥赛训练】

4、在100米的路段上植树，至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米。

5、一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数

2、抽屉原理（二）

【题型概述】

如果把m×n+k(k≥1)件东西放入n个抽屉，那么一定有一个抽屉里至少有m+1件东西。这就是我们今天学习的抽屉原理原则二。

【典型例题】

某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具共122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或是4件以上的玩具

思路点拨：将40名小朋友看成40个抽屉，122=3×40+2，由抽屉原理原则二知，至少会有一个小朋友得到3+1=4件，或4件以上的玩具。

【举一反三】

1、实验小学今年新入学的一年级新生中，有237人是同一年出生的。这些新生中，至少有多少人是同一年的同一个月出生的

2、有红、黄、蓝、白四种颜色的小球各10个，混合后放在一个不透明的布袋里。那么，一次至少摸出多少个，才能保证有7个小球的颜色是相同的

3、幼儿园大班有35个小朋友，现在将78件玩具分给小朋友，是否有小朋友会得到3件或3件以上的玩具

【拓展提高】

正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），那么正方体一定

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