一元二次方程的公共根与整数根（讲义）

一元二次方程的公共根与整数根

知识点睛

一、公共根问题

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．

二、整数根问题

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的实根情况，可以用判别式??b2?4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴ ??b2?4ac为完全平方数；

⑵ ?b?b2?4ac?2ak或?b?b2?4ac?2ak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)

三、方程根的取值范围问题

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

例题精讲

一、一元二次方程的公共根

【例1】 求k的值，使得一元二次方程x2?kx?1?0，x2?x?(k?2)?0有相同的根，并求两个方程的根．

?ABC【例2】 设a,b,c为?ABC的三边，且二次三项式x2?2ax?b2与x2?2cx?b2有一次公因式，证明：

一定是直角三角形．

【例3】 三个二次方程ax2?bx?c?0，bx2?cx?a?0，cx2?ax?b?0有公共根．

⑴ 求证：a?b?c?0；

a3?b3?c3⑵ 求的值．

abc

【例4】 试求满足方程x2?kx?7?0与x2?6x?(k?1)?0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相

异根．

【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程(a?1)x2?(a2?2)x?(a2?2a)?0和

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ab?ba的值． (b?1)x?(b?2)x?(b?2b)?0(其中a，b为正整数)有一个公共根，求?b?aa?b222

二、一元二次方程的整数根

【例6】 k为什么实数时，关于x的方程(6?k)(9?k)x2?(117?15k)x?54?0的解都是整数？

【例7】 若关于x的方程?6?k??9?k?x2??117?15k?x?54?0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有

_______个．

【例8】 已知a是正整数，如果关于x的方程x3?(a?17)x2?(38?a)x?56?0的根都是整数，求a的值及

方程的整数根．

【例9】 若k为正整数，且关于k的方程(k2?1)x2?6(3k?1)x?72?0有两个相异正整数根，求k的值．

【例10】 关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数．求满足条件的所有实

数k的值．

【例11】 当m为何整数时，方程2x2?5mx?2m2?5有整数解．

【例12】 已知关于x的方程4x2?8nx?3n?2和x2?(n?3)x?2n2?2?0，是否存在这样的n值，使第一个

方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．

【例13】 求所有有理数r，使得方程rx2?(r?1)x?(r?1)?0的所有根是整数．

【例14】 已知关于x的方程x2?(a?6)x?a?0的两根都是整数，求a的值．

【例15】 已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2?2k)x2?(4?6k)x?8?0的解都是整数，求k的值．

【例16】 已知p为质数，二次方程x2?2px?p2?5p?1?0的两根都是整数，请求出p的所有可能的值．

【例17】 已知12?m?40，且关于x的二次方程x2?2(m?1)x?m2?0有两个整数根，求整数m．

?a?b?m?2【例18】 若一直角三角形两直角边的长，a、b(a?b)均为整数，且满足?．试求这个直角三

ab?4m?角形的三边长．

【例19】 关于x的方程ax2?2(a?3)x?(a?2)?0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．

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【例20】 已知方程ax2?3a2?8ax?2a2?13a?15?0(a是非负整数)至少有一个整数根，那么

??a? ．

【例21】 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都

是整数．

【例22】 设m为整数，且4?m?40，方程x2?2?2m?3?x?4m2?14m?8?0有两个整数根，求m的值及

方程的根．

【例23】 当m为何整数时，方程2x2?5mx?2m2?5有整数解．

【例24】 已知方程ax2?3a2?8ax?2a2?13a?15?0(a是非负整数)至少有一个整数根，那么

??a? ．

【例25】 若关于x的方程?6?k??9?k?x2??117?15k?x?54?0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有

_______个．

【例26】 设方程mx2?(m?2)x?(m?3)?0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．

【例27】 已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数根，

求a的值．

【例28】 已知关于x的方程a2x2?(3a2?8a)x?2a2?13a?15?0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，

求a的值．

【例29】 已知b，c为整数，方程5x2?bx?c?0的两根都大于?1且小于0，求b和c的值．

【例30】 已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2?abx?求出来；如果没有，请给出证明．

?，且x1x2?0，【例31】 已知方程x2?bx?c?0及x2?cx?b?0分别各有两个整数根x1,x2及x1?,x2??0． x1?x2??0； ⑴ 求证：x1?0，x2?0，x1??0，x2⑵ 求证：b?1≤c≤b?1； ⑶ 求b,c所有可能的值．

1(a?b)?0是否有两个整数解？如果有，请2

【例32】 设p、q是两个奇整数，试证方程x2?2px?2q?0不可能有有理根．

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【例33】 试证不论n是什么整数，方程x2?16nx?7s?0没有整数解，方程中的s是任何正的奇数．

【例34】 求方程a3b?ab3?2a2?2b2?4?0的所有整数解．

?x?y?(a?2)x【例35】 已知a为整数，关于x,y的方程组?的所有解均为整数解，求a的值． 23?xy?(a?1)x?2a?2

【例36】 求方程

【例37】 求所有的整数对(x,y)，使x3?x2y?xy2?y3?4x2?4xy?4y2?47．

【例38】 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2?(m?1)x?1?0有有理根，求m的值．

【例39】 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都

是整数．

【例40】 a是正整数，关于x的方程x3?(a?17)x2?(38?a)x?56?0的根都是整数，求a的值及方程的整

数根．

【例41】 已知a,b是实数，关于x,y的方程组

?y?x3?ax2?bx有整数解(x,y)，求a,b满足的关系式． ??y?ax?bx?y3?的所有正整数解．

x2?xy?y27

【例42】 已知p为质数，使二次方程x2?2px?p2?5p?1?0的两根都是整数，求出所有可能的p的值．

【例43】 设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数，求满足条件的所有

实数k的值．

b为何值时，方程 x2?bx?2?0和x2?2x?b(b?1)?0有相同的整数根？并且求出它们的整数【例44】 根？

【例45】 已知关于x的方程(a?1)x2?2x?a?1?0的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________

个．

【例46】 求所有正实数a，使得方程x2?ax?4a?0仅有整数根．

【例47】 方程(x?a)(x?8)?1?0有两个整数根，求a的值．

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【例48】 求所有的正整数a，b，c使得关于x的方程

x2?3ax?2b?0,x2?3bx?2c?0,x2?3cx?2a?0的所有的根都是正整数．

【例49】 n为正整数，方程x2?(3?1)x?3n?6?0有一个整数根，则n?__________．

【例50】 求出所有正整数a，使方程ax2?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数根．

【例51】 已知方程(a2?1)x2?2(5a?1)x?24?0有两个不等的负整数根，则整数a的值是__________．

【例52】 不解方程，证明方程x2?1997x?1997?0无整数根

【例53】 已知方程x2?1999x?a?0有两个质数根，则常数a?________．

【例54】 已知方程x2?mx?m?1?0有两个不相等的正整数根，求m的值．

【例55】 当m是什么整数时，关于x的方程x2?(m?1)x?m?1?0的两根都是整数？

【例56】 设方程mx2?(m?2)x?(m?3)?0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．

【例57】 已知a是正整数，如果关于x的方程x3??a?17?x2??38?a?x?56?0的根都是整数，求a的值及

方程的整数根．

【例58】 若k为正整数，且关于k的方程k2?1x2?6?3k?1?x?72?0有两个相异正整数根，求k的值．

【例59】 设a为质数，b，c为正整数，且满足

2??9?2a?2b?c??509?4a?1022b?511c? ???b?c?2??求a?b?c?的值．

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