3-25数形结合思想

高三数学二轮复习理科课件

第三部分

高考专题讲解

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第二十五讲 数形结合思想

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考情分析数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量 关系和直观的图形结合起来，它在解选择题和填空题的 时候非常有用，在解答高考大题的时候也可以帮助打开 思路.数形结合作为一种重要的数学思想方法，历年来

一直是高考考查的重点之一，纵观近两年的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题， 可起到事半功倍的效果.从目前高考“注重通法，

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考情分析淡化技巧”的命题原则来看，应重点关注解析几何中图 象的几何意义以及函数图象的充分利用.

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要点串讲数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两 个方面，其应用大致可以分为两种情形：一种是借助形 的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手 段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函 数的性质；另一种是借助于数的精确性和规范严密性来 阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如 应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

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在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三 点： 1.要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线 的代数特征， 对题目中的条件和结论既分析其几何意义又 分析其代数意义； 2.恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以 形想数，做好数形转化；

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3.正确确定参数的取值范围. 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位. 近几年 的高考题中的解析几何问题、 函数与不等式问题、 参数范 围问题、 集合问题、 立体几何问题等都用到了数形结合的 思想方法.数形结合思想不仅是我们解题的一种思想方 法，还是我们进一步学习、研究数学的有力武器.

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应用数形结合思想方法解题，通常可以从以下几个 方面入手： 1.函数式与函数图象. 2.不等式与函数图象. 3.圆与方程. 4.参数本身的几何意义.

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5.代数式的结构特点. 6.概念自身的几何意义. 7.可行域与目标函数的最值. 8.利用向量的两重性.

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高频考点类型一 数形结合解决函数问题

【例 1】 已知 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数， 当 0<x<3 时 ，

f(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 那 么 不 等 式 f(x)cosx<0 的解集是( )

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π π A. -3,- ∪(0,1)∪ ,3 2 2 π π B. - ,-1 ∪(0,1)∪ ,3 2 2

C.(-3,1)∪(0,1)∪(1,3) π D. -3,- ∪(0,1)∪(1,3) 2

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[分析] 在同一坐标系内， 画出(-3,3)上的 f(x)及 y=cosx 的图象，利用图象确定解集. 在同一坐标系内画出 将f x cosx<0转化 确定不等 y=f x 及y=cosx → → 为等价的不等式组 式的解集 在 -3,3 上的图象

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[解析] 不等式 f(x)cosx<0 等价于 f x >0, cosx<0, f x <0, 或 cosx>0.

画出 f(x)在(-3,3)上的图象，cosx 的图象又熟知，运 用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在 x π 轴上、下部分的对应“数”的区间为 - ,-1 ∪(0,1)∪ 2 π ,3 .故选 2

B.

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[答案] B

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[点评] (1)有关数的问题可借助图形的性质， 使问题 直观化. (2)f(x)在 y 轴左边的图象是利用奇函数的图象关于原 点对称画出的，体现了数学对称的思想方法.

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【探究 1】

3x+6, y=f(x)= -6-3x,

x≥-2 ,若不等 x<-2

式 f(x)≥2x-m 恒成立，求实数 m 的取值范围.

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解：在同一坐标系中分别画出函数 y=2x-m 及 y= f(x)的图象(如图),由于不等式 f(x)≥2x-m 恒成立，所以 函数 y=2x-m 的图象应总在函数 y=f(x)图象的下方， 因 此，当 x=-2 时，y=-4-m≤0,所以 m≥-4,所以 m 的取值范围是[-4,+∞).

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点评： 此题属于不等式恒成立问题， 先利用图象的上、 下位置关系确定直线的位置， 然后再还原即可. 解不等式 或证明不等式问题经常联系函数的图象， 根据不等式中量 的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图 象的上、下位置关系来确定不等式的解集或证明不等式.

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类型二

数形结合解决方程问题

【例 2】 已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶 点且过点(1,1), 反比例函数 y=f2(x)的图象与直线 y=x 的 两个交点间的距离为 8,f(x)=f1(x)+f2(x). (1)求函数 f(x)的表达式； (2

)证明：当 a>3 时，关于 x 的方程 f(x)=f(a)有三个 实数解.

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[分析] 利用待定系数法求出 f(x),借助图形或对方 程 f(x)=f(a)同解变形确定方程根的个数. 由f x =f a 构 确定方程 求出f x → → 造函数画出图形 解的个数

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