实验指导书(2013.11)

《数学实验》实验指导书

龚 劬 温罗生 肖 剑

重庆大学数学实验教学示范中心

2013年11月

数学实验课程实验指导

目 录

预备实验——桥梁分析................................................................................................ 3 实验1 MATLAB软件入门............................................................................................ 8 实验2 方程模型及其求解算法............................................................................... 25 实验3 收敛与混沌——迭代................................................................................... 30 实验4 微分方程模型、求解及稳定性分析........................................................... 33 实验5 插值方法....................................................................................................... 38 实验6 数据拟合及参数辨识方法........................................................................... 41 实验7 回归分析模型、求解及检验....................................................................... 44 实验8 连续系统与离散系统的计算机模拟........................................................... 47 实验9 线性规划模型、求解及灵敏度分析............................................................. 49 实验10 非线性规划与多目标规划模型及其求解................................................. 55 实验11 如何表示二元关系—图的模型及矩阵表示............................................. 61 实验12 改进技术的最佳实施问题——综合实验................................................. 64 实验13 人口增长模型及其数量预测——综合实验............................................. 66 实验14 River-bay系统水污染问题_____综合实验............................................ 68 实验15 炮弹发射角的确定———综合实验......................................................... 70 实验16 探究实验..................................................................................................... 71 实验17 开采沙子——综合实验............................................................................. 72 实验18 海水中提取淡水——综合实验................................................................. 75 实验19 氯仿污染——综合实验............................................................................. 79 实验20 机动车尾气排放——综合实验................................................................. 89 实验21 计算机断层扫描图像——综合实验......................................................... 97 实验22 一个有年龄结构的人口增长问题——综合实验................................... 105

2

数学实验课程实验指导

预备实验——桥梁分析

教学目的和要求：

通过桥梁分析问题，使学生：

1. 了解线性代数在土木工程中的应用；

2. 了解如何通过做一些使问题简化的假设，建立实际问题的数学模型； 3. 体会学好线性代数知识的重要性； 4. 激发学习线性代数的兴趣。

知识点：线性方程组 向量分解 必备技能：

1. 力的平衡分析； 2. 向量分解； 3. 求解线性方程组。

主要内容

1．应用场景 2．问题分析 3．建立数学模型 4．实验任务

3

数学实验课程实验指导

1．应用场景

解方程组在许多领域都有应用。下面给出一个在土木工程中的应用例子，虽然加入了一些幽默元素，但类似的情形土木工程师会经常遇到。

图1：一个危险的情况

一位货运司机正驾着卡车为一个数学家聚会运送物资，但他的卡车超载了。途中，他遇到了一个古老的桁架桥。这座桥没有标明最大承重载荷。由于注意到桥下水中有鲨鱼，他想知道自己那超重的卡车能否安全过桥，这辆卡车大约重10吨（20，000磅）。他拿出手机给你打电话，请你帮忙分析，并给出建议。图1中卡车正处于使桁架结构内力和压力最大的位置。

2．问题分析

桁架结构很坚固，是由销连接的三角形构成的。因此，桁架结构不会弯曲（变成一个微笑的或者皱眉的形状），但是可以拉伸或压扁。

两个相同的桁架对称地支撑着桥面，桥的两侧各一个（在图1中，看不见第二个桁架，它在第一个后面）。每个桁架结构承载卡车重量的一半。卡车和货物总重是20，000磅，因此每个桁架结构承重10，000磅。假设卡车前面比较重，前轮承受5720磅的重量，后轮承受4280磅，如图2所示。在铰链A处，桥被固定，当有人刹车时它不会掉进沟里。在铰链D处，桥可以自由的滑动这样在热天它可以膨胀。

4

数学实验课程实验指导

图2：其中一个构架的示意图

3.建立数学模型

为了判断该桥是否会断裂，可以用节点法。假设，当桥中桁架的任何组件断裂时，整座桥就会断裂。节点法是分析桁架每个节点的平衡条件。节点平衡要求该点所受到的所有内力和外力相互平衡，否则，桁架将会移动。

图3：节点法的应用

如图3所示，有三个未知的外力Ax,Ay和Dy，作用在桁架与地面接触的节点上。这三个外力与4280磅和5270磅的负载共同作用导致桁架组件的内力。桁架每个组件的内力可以通过对每个节点运用节点法来确定。图3是节点法在每个节点应用的示意图。注意各组件已经被“割断”，假设内力方向如箭头所示。被“割断”的组件的所有力都按张力来标示，所谓张力就是作用在桁架组件的拉力。

为了把卡车的重量从桥的中间转化为桥两端的支撑力，一些组件一定会被压缩，另一些一定会被拉伸。所以如果最终得出的力为负，则说明假设为张力是错误的，该力实际上应该是压力。在图3中具有负值的力的箭头应向内。

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4js7.html