规划数学大作业(3)

规划数学大作业

一、问题的背景

某公司经营三项主要业务，这三项主要业务分别是：进口业务，出口业务，咨询业务。每种业务都要通过两类部门的配合才能完成，一类是业务主管部门；另一类是综合管理部门。其中业务主管部门分为进口业务部、出口业务部和咨询业务部，综合管理部门又分为综合计划部和综合财务部两个部门。其业务关系、运行成本以及资源保证情况如表所示。

表1 某公司业务运行情况简表

单项业务平均占用时间/小时 管理类别 进口 综合计划部 综合财务部 进口业务部 出口业务部 咨询业务部 每单平均直接成本 每单平均合同额 5 7 120 100 125 出口 10 9 130 80 110 咨询 2 3 150 30 50 的时间总量/小时 36000 35000 80000 90000 85000 用计划/万元 2500 2600 2800 3000 2300 各部门用于业务服务部门年运行费

我们的任务是，如何安排各类业务计划，才能使得公司获利最大。虽然这张表是一张记录了公司全部情况的表，但是，显然根据这个表，我们是无法直接进行最优业务量规划的。我们必须将这表抽象成一个线性规划模型，然后再对模型求解，最后获得最优解，并预报可能获得的税前利润总额。

二、问题的建模

第一步：设置决策变量。

因为接单（签订项目合同）的数量与时间资源相关，与利润总额相关，满足作为决策变

量的条件，因此设每年签订进口项目合同的最有数量为x1，每年签订出口项目合同的最有数量为x2，每年签订咨询项目合同的最有数量为x3。

第二步：确定资源常量。

资源常量在表1中已经明确，即倒数第二列所表示的：各部门用以业务服务的时间总量。

第三步：找出决策变量之间的关系及其与资源约束常量之间的关系。

这种关系主要围绕项目合同签订数量、每个项目完成过程中占用各部门的时间，以及各个部门总工作时间资源限制来考虑。

对各个项目占用某部门的时间数与每种业务接单的最优个数之积求和，其数值应小于或等于这个部门总的时间自愿数。

于是得到：

综合计划部的时间分配与资源限制之间的约束关系

5x1?10x2?2x3?36000

综合财务部的时间分配与资源限制之间的约束关系

7x1?9x2?3x3?35000

进口业务部的时间分配与资源限制之间的约束关系

120x1?0x2?0x3?80000

出口业务部的时间分配与资源限制之间的约束关系

0x1?130x2?0x3?90000

咨询业务部的时间分配与资源限制之间的约束关系

0x1?0x2?150x3?850000

第四步：找出决策变量的价值系数并形成目标规划函数。

因为此问题是求最大利润，所以决策变量系数的性质为价值系数。根据表1不能直接获得价值系数，需要进行一些简单的数据处理。根据本问题给出的条件，价值系数=每单利润=每单平均合同额—每单平均直接成本—每单个部门分摊费用。又因为费用的发生与工作时间长短成正比，于是有：

x1的价值系数：

c1?125?100?5?(2500/36000)?7?(2600/35000)?120?(2800/80000)?19.93x2的价值系数：

c2?110?80?10?(2500/36000)?9?(2600/35000)?130?(3000/90000)?24.3

x3的价值系数：

c3?50?30?2?(2500/36000)?3?(2600/35000)?150?(2300/85000)?15.58

第五步：确定每个决策变量的取值范围。

有问题知，不存在业务总数为负数的情况，并且也没有开展业务的项数上限，因此有：

x1,x2,x3 ?0

为本问题决策变量的取值范围。

第六步：整理所得到的代数表达式，形成规范的线性规划数学模型。 目标函数 max z?19.93x1?24.3x2?15.58x3

? 5x1?10x2? 2x3?36000 (1)?? 7x1? 9x2? 3x3?35000 (2)?120x ?80000 (3) ?1约束条件 ?

? 130x2 ? 90000 (4)? 150x? 85000 (5)3???x1,x2,x3?0三、模型的计算机求解

求最优解

按照以下步骤建立线性规划问题的Excel工作表，如图1所示。

步骤1 确定目标函数系数存放单元格，并在这些单元格中输入目标函数系数。 步骤2 确定决策变量存放单元格，并任意输入一组数据。

步骤3 确定约束条件中左端项系数存放单元格，并输入约束条件左端项系数。 步骤4 在约束条件左端项系数存放单元格右边的单元格中输入约束条件左端项

的计算公式，计算出约束条件左端项对应于目前决策变量的函数值。

步骤5 在步骤4的数据右边输入约束条件中右端项（即常数项）。

步骤6 确定目标函数值存放单元格，并在该单元格中输入目标函数值的计算公式。 图1 线性规划问题的Excel工作表

其中：E4=B2*B4+C2*C4+D2*D4；E5=B2*B5+C2*C5+D2*D5； E6=B2*B6+C2*C6+D2*D6；E7=B2*B7+C2*C7+D2*D7； E8 =B2*B8+C2*C8+D2*D8。

建立了Excel工作表后，就可以利用其中的规划求解功能求相应的线性规划问题的解。求解步骤如下：

1.将光标放在目标函数值存放单元格（D9），点击“数据”（office2010）中的 “规划求解”，出现下图2所示：

由于本问题是求最大问题，故选择“最大值”。

2.在可变单元格中选择决策变量单元格B2,C2,D2，出现下图3。

3. 点击“添加”，出现下图4。

4.输入约束条件，如下图5。

5.在“无约束变量为非负数”前打“√”，选择求解方法：选择“单纯线性规划”，点击“确定”，出现下图6。

6. 点击“选项”，出现下图7。

7. 点击确定，回到规划求解对话框，点击“求解”，出现下图8所示。

8. 点击“确定”，回到Excel工作表，出现下图9所示。

由表知，最优的任务分配是：进口业务每年开展x1?666项，出口业务每年开展

x2?692项，咨询业务每年开展x3?566项，这样的话，每年可获得税前利润约为max z?38938万元。

四、利用 Excel进行线性规划的灵敏度分析

在讨论线性规划问题时，建立线性规划模型所需的数据都是已知的，这些数据被称为模型的参数实际中获取这些模型参数并不简单，需要经验和实践，需要付出时间和精力，但有时即使付出时间和精力，也只能得到模型参数粗略的估计或预测值。因此，管理者需要了解当模型参数值发生变化时最优决策方案是否会发生变化，这就是灵敏度分析问题。

图8的规划求解结果对话框除了告知得到问题的一个最优解之外，还有一个报告框，其中有一项为敏感性报告，用于报告灵敏度分析的结果，选中此项并点击确定按钮就会出现敏感性报告，如图10所示 该报告由可变单元格和约束两部分组成，分别对应于目标函数Ci 和资源限量bj变化的分析。

图 10 本例的敏感性报告及其相关参数说明

可变单元格部分共提供五栏数据，“终值”栏表明了问题的最优解，第二栏给出了降低了的成本。“目标式系数” 栏表示 C的现值，后面两栏指的是 Cj在保持最优解不

变的前提下，允许增加或减少的量。其中“1E+30”是 1?1030的科学计数法，表示无穷大，这是因计算机的精度限制而产生的。本例中，△C1的变化范围为

?19.93??C1???，则0?C1???，即进口业务的每单利润 C1的取值范围为[0，

??]，同理可得到出口业务的每单利润C2 的取值范围为[0,+∞]，咨询业务的每单利润

C3的取值范围为[0,+∞]。

同样，约束部分亦提供了五栏数据，“终值” 栏指的是当前方案下使用的资源数量，第三栏是现有的资源量，最后两栏指的是在保证最优基不变的前提下，bi允许增加或减少的量。本例中由所得数据可快速求出bj的变化范围：b1?11389.7，b2?12597.4 ，

0?b3?464043.956，0?b4?409933.333，0?b5?1205128.205。

此敏感性报告中还有一个很重要的信息—第二栏的阴影价格，通常称为影子价格。 影子价格是线性规划模型中某个约束的右端常数项增加（或减少）一个单位而导致的目标函数值的增量（或减量），影子价格的大小客观地反映了资源在系统内的稀缺程度，影子价格越高，这种资源越稀缺，而影子价格为零的约束资源为富余资源。图10中的敏感性报告中，第三个约束C的影子价格大约是0.2，说明进口业务部每增加一个单时目标函数值会增加0.2个单位影子价格，同时也是一种机会成本，对资源的购买决策具有重要的参考价值，当资源的实际市场价格低于影子价格时，可以适当购进该种资源以增加收益，当该资源的市场价格高于影子价格时可以适当售出资源，企业可以根据影子价格对有限的资源进行合理的配置，自主节约使用某些稀缺资源，使有限资源发挥更大的经济效益。以下分别通过常数项bi，目标函数系数Cj，技术系数aij的变化进行灵敏度分析。

1．资源数量变化的分析

如约束条件（1）右端常数由3600变为3500，见下图：

按照求最优解步骤求解可得：

即可得到最优解：x1?666，x2?692，x3?566，max z?38938。

提供的服务时间变为3500小时，减少了100个小时，影子价格不变，最优解也不变，这是因为在最优解不变的情况下，bi的变化在其取值范围内。 2. 目标函数中价值系数Cj的变化分析

如目标函数中 x2的系数由24.3变为30见下图：

按照求最优解步骤求解可得：

即可得到最优解：x1?666，x2?692，x3?566，max z?42885。 此时，影子价格发生变化，最大值增加了4947. 3. 技术系数αij的变化

如约束条件（2）改为 9 x1+11x2+5x3≤35000，见下图：

按照求最优解步骤求解可得：

即可得到最优解：x1?666，x2?692，x3?566，max z?38938。 五、结语

线性规划问题与我们的生活密切相关，只利用单纯形法手工计算线性规划问题是很麻烦的。通过Excel求解软件的使用，可以很容易的解决一些线性规划问题，尤其是一些大型的手算起来较麻烦的问题，为我们带来了很大的方便。特别是对于灵敏度分析的问题是特别清晰明白的！

通过对原问题进行灵敏度分析，可以得到当原约束条件或系数变化时最优解的变化情况，为现实生活中根据经济效益选取最优方案提供了很好的参照。

通过上述步骤可看出，利用 Excel 进行线性规划模型的求解简便快捷，表中数值可根据用户要求自行设置，除了在合理安排企业各部门决策可使用外，对于研究如何合理使用企业各项经济资源，以及研究如何统筹安排，对人、财、物等现有资源进行优化组合，实现最大效能等均可参照使用，能有效地提高组织决策的速度及准确性，而Excel办公软件的普遍性优点使之更适合于促进科学决策的信息化水平。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4jqp.html